關(guān)于數(shù)理方程與特殊函數(shù)1第一頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日2常用物理規(guī)律(二)1、熱傳導(dǎo)定律定義熱流密度：第二頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日32、牛頓冷卻定律單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)單位面積放出的熱量為：3、比熱公式第三頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日44、高斯定律第四頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日5(一)、熱傳導(dǎo)方程

截面積為A的均勻細(xì)桿，側(cè)面絕熱，沿桿長(zhǎng)方向有溫差，求桿內(nèi)溫度的變化規(guī)律。(1)、細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題xx+dxLu(x,t)xn第五頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日6在dt時(shí)間內(nèi)流入微元的熱量為：在dt時(shí)間內(nèi)放出微元的熱量為：在dt時(shí)間內(nèi)微元吸收的凈熱量為：第六頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日7由比熱公式：由熱量守恒定律得：一維齊次熱傳導(dǎo)方程第七頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日8設(shè)均勻且各向同性的導(dǎo)熱體,置于溫度比它高的熱場(chǎng)中,求物體中溫度u(x，y，z,t)的分布的規(guī)律。

(2)、三維空間中的熱傳導(dǎo)問(wèn)題導(dǎo)熱體熱場(chǎng)第八頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日9分析：(1)、[t1,t2]時(shí)間里流入導(dǎo)熱體的熱量Q1計(jì)算先要給出在[t1,t2]時(shí)間里流入導(dǎo)熱體的熱量，然后再給出在該時(shí)間中導(dǎo)熱體溫度升高所需要的熱量。dSn流入dS的熱量微元為：第九頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日10在[t1,t2]時(shí)間里流入S的熱量為：第十頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日11(2)、[t1,t2]里導(dǎo)熱體升溫需要的熱量Q2計(jì)算導(dǎo)熱體微元dV在dt時(shí)間升溫需要的熱量為：[t1,t2]里導(dǎo)熱體升溫需要的熱量Q2為：第十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日12由熱量守恒定律：Q1=Q2于是得到：三維齊次熱傳導(dǎo)方程第十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日13如果導(dǎo)熱體內(nèi)部有熱源，不難得到非齊次方程形式為：其中，f(M,t)被稱(chēng)為自由項(xiàng)。物質(zhì)擴(kuò)散與熱傳導(dǎo)現(xiàn)象相似。所以，熱傳導(dǎo)方程也稱(chēng)為擴(kuò)散方程。第十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日14(二）、穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程穩(wěn)態(tài)場(chǎng)問(wèn)題是一類(lèi)重要的典型物理問(wèn)題，主要特征是所研究的物理量不隨時(shí)間而變化。1、穩(wěn)定溫度分布三維齊次熱傳導(dǎo)方程為：熱傳導(dǎo)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)有：稱(chēng)后一方程為穩(wěn)態(tài)場(chǎng)中的拉普拉斯方程.第十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日15由靜電場(chǎng)的高斯公式：如果設(shè)：2、靜電場(chǎng)中的電勢(shì)分布規(guī)律可以得到：第十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日16靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，于是存在勢(shì)函數(shù)u(x,y,z)滿(mǎn)足：把(2)代入(1)得：這就是靜電場(chǎng)中電勢(shì)滿(mǎn)足的泊松方程如果ρ=0，則泊松方程變?yōu)槔绽狗匠?。泊松方程與拉普拉斯方程稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程。第十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日171、波動(dòng)方程：三類(lèi)典型物理方程總結(jié)2、熱傳導(dǎo)方程：3、穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程(泊松方程)：第十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日181、不含初值條件帶第一類(lèi)邊界條件：狄里赫列問(wèn)題，簡(jiǎn)稱(chēng)狄氏問(wèn)題；穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程的定解條件問(wèn)題2、邊界條件帶第二類(lèi)邊界條件：牛曼問(wèn)題；帶第三類(lèi)邊界條件：洛平問(wèn)題。穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程求解將在第六章討論！第十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日19(三）、影響物理系統(tǒng)的其它條件1、銜接條件反映兩種介質(zhì)交界處物理狀況的條件稱(chēng)為銜接條件。當(dāng)物理系統(tǒng)涉及幾種介質(zhì)時(shí)，定解條件中就要包括銜接條件。例1、寫(xiě)出由兩種不同材料,等截面積桿連接成的桿的縱振動(dòng)的銜接條件。連接處為x=x0分析：連接處面上點(diǎn)的位移相等，面上協(xié)強(qiáng)相等。x=x0Y1Y2xu1(x,t)u2(x,t)第十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日20所以，銜接條件為：例2、討論靜電場(chǎng)中電介質(zhì)表面的銜接條件設(shè)ε1，ε2與u1,u2分別表示兩種介質(zhì)的介電常數(shù)與電勢(shì)；?f表示分界面S上電荷面密度。第二十頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日21(1)、在界面處，兩種介質(zhì)中的電勢(shì)應(yīng)相等事實(shí)上：根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度的關(guān)系有：于是，若假定E為p1p2上的平均電場(chǎng)強(qiáng)度(顯然它有限)，則：兩邊對(duì)ΔL取極限得：第二十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日22(2)、在界面處，可以導(dǎo)出如下等式：事實(shí)上：根據(jù)有介質(zhì)高斯公式就可以推出上式。Qf是面S內(nèi)的總電荷有介質(zhì)高斯公式為：第二十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日23取一個(gè)包含ΔS的上下底平行的高為Δh的扁平盒：由于Δh可以很小，因此，通過(guò)側(cè)面的電通量忽略！于是由高斯公式有：而:第二十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日24所以：說(shuō)明：如果u1為導(dǎo)體的電勢(shì)，u2是絕緣體電勢(shì)，那么，因?yàn)閷?dǎo)體是等勢(shì)體，所以有：2、周期性條件在極坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球坐標(biāo)系的經(jīng)度坐標(biāo)中，實(shí)際物理量常滿(mǎn)足周期性條件，即：第二十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日25(1)、在極坐標(biāo)中：(2)、在柱坐標(biāo)中：(3)、在球坐標(biāo)中：第二十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日26例如，在靜電場(chǎng)中，由電勢(shì)的唯一性有：3、有界性條件在沒(méi)有源處，物理量一般有界。常考慮物理量在坐標(biāo)原點(diǎn)處有界。例如，在靜電場(chǎng)中，電勢(shì)在原點(diǎn)(無(wú)電荷）有界；在溫度場(chǎng)中，中心溫度有界等！4、無(wú)窮遠(yuǎn)條件或者在無(wú)窮遠(yuǎn)處u有漸進(jìn)行為f(r,t)(已知函數(shù)）第二十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日27例3、半徑為r0的球面，在0≦θ<π/2的半球上電勢(shì)為u0，在另一半球上為-u0,寫(xiě)出定解問(wèn)題。分析：空間中的電勢(shì)分布分球內(nèi)(u1)與球外(u2),由于是靜電場(chǎng)問(wèn)題，所以泛定方程為穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程。又空間中沒(méi)有分布電荷，因此方程為拉普拉斯方程。θ第二十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日28所以：其它條件：第二十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日29定解問(wèn)題的簡(jiǎn)要總結(jié)

對(duì)于一個(gè)具體物理問(wèn)題，寫(xiě)出其定解問(wèn)題，應(yīng)該分如下三步進(jìn)行：1、根據(jù)問(wèn)題背景寫(xiě)出物理方程(泛定方程);2、如果有邊界條件，要根據(jù)物理背景寫(xiě)出邊界條件，即考慮描述物理量在邊界上狀況的三類(lèi)邊界條件和銜接條件。第二十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日30除邊界條件外，由于物理上合理性的需要，有時(shí)還需要對(duì)方程中的未知函數(shù)加以一些限制。這些限制包括：周期性限制;有界性限制；無(wú)窮遠(yuǎn)限制等。上面限制條件稱(chēng)為自然邊界條件。

3、初始條件如果物理問(wèn)題涉及時(shí)間變量，則需寫(xiě)出初始條件。如果方程中對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為n階，則需要n個(gè)初始條件表達(dá)式。第三十頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日3