中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)

第2講最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法

四川農(nóng)業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院

中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)

第2講最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法

2課程安排集合和函數(shù)微分和求導(dǎo)最優(yōu)化問(wèn)題·無(wú)約束的最優(yōu)化·等式約束下的最優(yōu)化2課程安排3集合與函數(shù)（1）集合（set）：所有對(duì)象組成的全集，集合中的每個(gè)對(duì)象稱為元素；

例子：

X={x/x=(x1,x2),x1≥0,x2≥0}凸集（convexset）：

3集合與函數(shù)（1）集合（set）：4集合與函數(shù)（2）函數(shù)（(Function）：定義域：X值域：Y對(duì)應(yīng)法則：f

表示：例子：y=f（x）=x^24集合與函數(shù)（2）函數(shù)（(Function）：5集合與函數(shù)（3）極限（Limits）：例子：f(x)=3+2x，當(dāng)x趨近于3時(shí)，f(x)的極限：5集合與函數(shù)（3）極限（Limits）：6集合與函數(shù)（4）函數(shù)的連續(xù)性（continuous）：

直覺：Afunctioniscontinuousif“small”changesinxproduces“small”changesinf(x)6集合與函數(shù)（4）函數(shù)的連續(xù)性（continuous）：7集合與函數(shù)（5）函數(shù)的連續(xù)性（continuous）：

直覺：7集合與函數(shù)（5）函數(shù)的連續(xù)性（continuous）：8集合與函數(shù)（6）函數(shù)的連續(xù)性（continuous）：

直覺：8集合與函數(shù)（6）函數(shù)的連續(xù)性（continuous）：9微分和求導(dǎo)（1）導(dǎo)數(shù)（differentiable）：

（一元函數(shù)）

練習(xí)1：練習(xí)2：

9微分和求導(dǎo)（1）導(dǎo)數(shù)（differentiable）：10微分和求導(dǎo)（2）導(dǎo)數(shù)（differentiable）：

直覺：

10微分和求導(dǎo)（2）導(dǎo)數(shù)（differentiable）：11微分和求導(dǎo)（3）求導(dǎo)法則

11微分和求導(dǎo)（3）求導(dǎo)法則12微分和求導(dǎo)（4）求導(dǎo)法則

（鏈?zhǔn)椒▌t）12微分和求導(dǎo)（4）求導(dǎo)法則13微分和求導(dǎo)（5）二階導(dǎo)數(shù)（Secondderivative）：

例子：

13微分和求導(dǎo)（5）二階導(dǎo)數(shù)（Secondderivati14微分和求導(dǎo)（5）二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值：

14微分和求導(dǎo)（5）15微分和求導(dǎo)（6）二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值：

函數(shù)存在極小值函數(shù)存在極大值15微分和求導(dǎo)（6）二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值：函數(shù)存在極小值函數(shù)16微分和求導(dǎo)（7）多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)let

練習(xí)1：練習(xí)2：

16微分和求導(dǎo)（7）多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)17微分和求導(dǎo)（8）多元函數(shù)的全微分：

經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用：

邊際替代率（）

邊際技術(shù)替代率（）17微分和求導(dǎo)（8）多元函數(shù)的全微分：18微分和求導(dǎo)（8）楊氏定理（Young’sTheorem）：

經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用：

y=f(x1,x2)

dy=f1dx1+f2dx2d2y=f11dx12+2f12dx1dx2+f22dx2218微分和求導(dǎo)（8）楊氏定理（Young’sTheorem19無(wú)約束的最優(yōu)化（1）一元函數(shù)的最優(yōu)化：

一階條件：

19無(wú)約束的最優(yōu)化（1）一元函數(shù)的最優(yōu)化：20無(wú)約束的最優(yōu)化（2）一元函數(shù)的最優(yōu)化：

二階條件：

證明：假設(shè)在x*處于最大值，即：對(duì)于任意的h，

根據(jù)泰勒展開式，

20無(wú)約束的最優(yōu)化（2）一元函數(shù)的最優(yōu)化：21無(wú)約束的最優(yōu)化（3）二元函數(shù)的最優(yōu)化：

函數(shù)形式：y=f(x1,x2)一階條件：y/x1=f1=0y/x2=f2=0二階條件

：

d2y=f11dx12+2f12dx1dx2+f22dx22<0

f11<0andf11f22-f122>0

21無(wú)約束的最優(yōu)化（3）二元函數(shù)的最優(yōu)化：22無(wú)約束的最優(yōu)化（4）二元函數(shù)的最優(yōu)化：

22無(wú)約束的最優(yōu)化（4）二元函數(shù)的最優(yōu)化：23等式約束的最優(yōu)化（1）最優(yōu)化問(wèn)題：

Method1：

替換法Method2：

拉格朗日乘子法

23等式約束的最優(yōu)化（1）最優(yōu)化問(wèn)題：24等式約束的最優(yōu)化（2）最優(yōu)化問(wèn)題：

Method2：

拉格朗日乘子法

一階條件:

24等式約束的最優(yōu)化（2）最優(yōu)化問(wèn)題：25作業(yè)（1）1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

25作業(yè)（1）1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：26作業(yè)（2）2.求x1，x2使得下列函數(shù)有最值：

26作業(yè)（2）2.求x1，x2使得下列函數(shù)有最值：27作業(yè)（3）3.請(qǐng)分別利用替換法和拉格朗日乘子法，求x1，x2使得函數(shù)出現(xiàn)最大值：MAXf(x1，x2)=x12*x23s.t2x1+3x2=1027作業(yè)（3）3.請(qǐng)分別利用替換法和拉格朗日乘子法，求x128參考資料張樹民，《中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》第2章，中國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社；E.RoyWeintraub,《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》28參考資料

中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)

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四川農(nóng)業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院

中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)

第2講最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法

30課程安排集合和函數(shù)微分和求導(dǎo)最優(yōu)化問(wèn)題·無(wú)約束的最優(yōu)化·等式約束下的最優(yōu)化2課程安排31集合與函數(shù)（1）集合（set）：所有對(duì)象組成的全集，集合中的每個(gè)對(duì)象稱為元素；

例子：

X={x/x=(x1,x2),x1≥0,x2≥0}凸集（convexset）：

3集合與函數(shù)（1）集合（set）：32集合與函數(shù)（2）函數(shù)（(Function）：定義域：X值域：Y對(duì)應(yīng)法則：f

表示：例子：y=f（x）=x^24集合與函數(shù)（2）函數(shù)（(Function）：33集合與函數(shù)（3）極限（Limits）：例子：f(x)=3+2x，當(dāng)x趨近于3時(shí)，f(x)的極限：5集合與函數(shù)（3）極限（Limits）：34集合與函數(shù)（4）函數(shù)的連續(xù)性（continuous）：

直覺：Afunctioniscontinuousif“small”changesinxproduces“small”changesinf(x)6集合與函數(shù)（4）函數(shù)的連續(xù)性（continuous）：35集合與函數(shù)（5）函數(shù)的連續(xù)性（continuous）：

直覺：7集合與函數(shù)（5）函數(shù)的連續(xù)性（continuous）：36集合與函數(shù)（6）函數(shù)的連續(xù)性（continuous）：

直覺：8集合與函數(shù)（6）函數(shù)的連續(xù)性（continuous）：37微分和求導(dǎo)（1）導(dǎo)數(shù)（differentiable）：

（一元函數(shù)）

練習(xí)1：練習(xí)2：

9微分和求導(dǎo)（1）導(dǎo)數(shù)（differentiable）：38微分和求導(dǎo)（2）導(dǎo)數(shù)（differentiable）：

直覺：

10微分和求導(dǎo)（2）導(dǎo)數(shù)（differentiable）：39微分和求導(dǎo)（3）求導(dǎo)法則

11微分和求導(dǎo)（3）求導(dǎo)法則40微分和求導(dǎo)（4）求導(dǎo)法則

（鏈?zhǔn)椒▌t）12微分和求導(dǎo)（4）求導(dǎo)法則41微分和求導(dǎo)（5）二階導(dǎo)數(shù)（Secondderivative）：

例子：

13微分和求導(dǎo)（5）二階導(dǎo)數(shù)（Secondderivati42微分和求導(dǎo)（5）二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值：

14微分和求導(dǎo)（5）43微分和求導(dǎo)（6）二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值：

函數(shù)存在極小值函數(shù)存在極大值15微分和求導(dǎo)（6）二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值：函數(shù)存在極小值函數(shù)44微分和求導(dǎo)（7）多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)let

練習(xí)1：練習(xí)2：

16微分和求導(dǎo)（7）多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)45微分和求導(dǎo)（8）多元函數(shù)的全微分：

經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用：

邊際替代率（）

邊際技術(shù)替代率（）17微分和求導(dǎo)（8）多元函數(shù)的全微分：46微分和求導(dǎo)（8）楊氏定理（Young’sTheorem）：

經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用：

y=f(x1,x2)

dy=f1dx1+f2dx2d2y=f11dx12+2f12dx1dx2+f22dx2218微分和求導(dǎo)（8）楊氏定理（Young’sTheorem47無(wú)約束的最優(yōu)化（1）一元函數(shù)的最優(yōu)化：

一階條件：

19無(wú)約束的最優(yōu)化（1）一元函數(shù)的最優(yōu)化：48無(wú)約束的最優(yōu)化（2）一元函數(shù)的最優(yōu)化：

二階條件：

證明：假設(shè)在x*處于最大值，即：對(duì)于任意的h，

根據(jù)泰勒展開式，

20無(wú)約束的最優(yōu)化（2）一元函數(shù)的最優(yōu)化：49無(wú)約束的最優(yōu)化（3）二元函數(shù)的最優(yōu)化：

函數(shù)形式：y=f(x1,x2)一階條件：y/x1=f1=0y/x2=f2=0二階條件

：

d2y=f11dx12+2f12dx1dx2+f22dx22<0

f11<0andf11f22-f122>0

21無(wú)約束的最優(yōu)化（3）二元函數(shù)的最優(yōu)化：50無(wú)約束的最優(yōu)化（4）二元函數(shù)的最優(yōu)化：

22無(wú)約束的最優(yōu)化（4）二元函數(shù)的最優(yōu)化：51等式約束的最優(yōu)化（1）最優(yōu)化問(wèn)題：

Method1：

替換法Method2：

拉格朗日乘子法

23等式約束的最優(yōu)化（1）最優(yōu)化問(wèn)題：52等式約束的最優(yōu)化（2）最優(yōu)化問(wèn)題：

Method2：

拉格朗日乘子法

一階條件:

24等式約束的最優(yōu)化（2）最優(yōu)化問(wèn)題：53作業(yè)（1）1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

25作業(yè)（1）1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：54作業(yè)（2）2.求