2.4等比數(shù)列2.4等比數(shù)列如果一碗面由256根面條組成,請問需要拉面師傅拉幾次才能得到?如果一碗面由256根面條組成,請問需要拉面師傅拉幾次才能得到我國古代一些學者提出：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！比绻选耙怀咧ⅰ笨闯蓡挝弧?”，那么得到的數(shù)列是:我國銀行的定期儲蓄中有“復利”的支付利息的方式，現(xiàn)存入銀行1萬元，年利率為1.98%，那么5年內(nèi)各年末的本利和分別是:拉面時前9次拉伸成的面條根數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列:

上面數(shù)列有什么共同特點?從第二項起,每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù)。1,2,4,8,16,32,64,128,2561.0198，1.01982,1.01983,

1.01983,1.01984,1×1.01985我國古代一些學者提出：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！比缑Q等差數(shù)列等比數(shù)列定義從第2項起，每一項與它前一項的比都等于同一個常數(shù),

該數(shù)列叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，用q(q≠0)表示.從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù)，該數(shù)列叫做等差數(shù)列這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，用d表示.名稱從第2項起，每一項與它前一項的比都等于同一個常數(shù),這1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的比都等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示?；蚱鋽?shù)學表達式：1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一對等比數(shù)列的認識：（1）即等比數(shù)列的每一項都不為0；（2）即等比數(shù)列的公比不為0；（3）為非零常值數(shù)列.對等比數(shù)列的認識：（1）即等比數(shù)列的每一項都不為練一練是不是是不確定（2）４，－８，１６，－３２，64（3）－3，－3，－3，－3,……,－3（4）2,0,0,0，0（5）1,x,x2,x3,……xn-1……1、判別下列數(shù)列是否為等比數(shù)列?是練一練是不是是不確定（2）４，－８，１６，－３２，64……12.等比數(shù)列的通項公式問題：如何用和表示第項.①歸納猜想法②疊乘法這個式子相乘得

，所以

.2.等比數(shù)列的通項公式問題：如何用和表示第項.①歸等比數(shù)列的通項公式為:②函數(shù)觀點①方程思想類指數(shù)函數(shù)式解方程,知三求一等比數(shù)列的通項公式為:②函數(shù)觀點①方程思想類指數(shù)函數(shù)式解方程（1）數(shù)列：1，2，4，8，16，…1234567891024681012141618200●●●●●nan（1）數(shù)列：1，2，4，8，16，…123456789102（2）數(shù)列：12345678910123456789100●●●●●●●nan（2）數(shù)列：12345678910123456789100●（3）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●nan（3）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，…123456789（4）數(shù)列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●nan（4）數(shù)列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…123456例1、某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，若每經(jīng)過一年，剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，則這種物質(zhì)的半衰期為多少？（精確到1年）例1、某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，若每經(jīng)過一年，剩留的例2、如右邊框圖，請寫出所打印數(shù)列的前5項，并建立數(shù)列的遞推公式，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？開始n=1輸出A結(jié)束A=1n>5?n=n+1否是例2、如右邊框圖，請寫出所打印數(shù)列開始n=1輸出A結(jié)束A=1例3:

一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項.解：用表示題中公比為q的等比數(shù)列，由已知條件，有則這個數(shù)列的第1項與第2項分別是解得:

因此:例3:一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的-nmnm=qaa(等比)mndmnaa-+=（等差）)(例4：等比數(shù)列中，求-nmnm=qaa(等比)mndmnaa-+=（等差）)(例3.小結(jié)數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義同一常數(shù)通項公式性質(zhì)

an+1-an=dd叫公差

an=a1+(n-1)d

an=am+(n-m)d你還知道等差數(shù)列有什么性質(zhì)嗎?你能類比寫出等比數(shù)列的性質(zhì)嗎?q叫公比

an=a1qn-1

an=amqn-m3.小結(jié)數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義同一常數(shù)通項公式性質(zhì)

an

觀察如下的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后這三個數(shù)就會成為一個等比數(shù)列：（1）1，,9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1

如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。4、等比中項觀察如下的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后這三個思考：我們知道，等差數(shù)列{an}滿足下列公式（1）an=am+(n-m)d；（2）若m+n=p+q，則am+an

=ap+aq

那么，等比數(shù)列是否也有類似的公式呢？在等比數(shù)列{an}中，（1）an=amqn-m；（2）若m+n=p+q，則am·an

=ap·aq

特別地，若m+n=2p，則am·an

=ap2

思考：我們知道，等差數(shù)列{an}滿足下列公式在等比數(shù)列{an例5、已知{an}，{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么數(shù)列

{anbn}還是等比數(shù)列嗎？試證明你的觀點。證明：設{an}的公比為p，{bn}的公比為q，則

∵pq是一個與n無關的常數(shù)，∴{anbn}是以pq為公比的等比數(shù)列.思考：那數(shù)列是不是也是等比數(shù)列呢？{an+bn}呢？例5、已知{an}，{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么數(shù)列證探究1：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，c為常數(shù)，則下列數(shù)列是等比數(shù)列嗎？若是，公比是什么？探究2：若{an}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，則下面的數(shù)列是等比數(shù)列嗎？√√√×探究1：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，c為常數(shù)，則下列數(shù)例6、已知三數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積是64，求這三個數(shù).故這三個數(shù)為2，4，8或8，4，2.例6、已知三數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積是64，（1）證明：∵

a1=1>0∴由an+1=2an+1可知{an}是遞增數(shù)列

∴an>0，故an+1≠0∵an+1+1=2an+2=2(an+1)∴數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列.思考：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1.（1）求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式.（1）證明：∵a1=1>0∵an+1+1=2an+2=2(（2）解：∵

a1=1

∴a1+1=2∴數(shù)列{an+1}是一個首項為2，公比也為2

的等比數(shù)列

∴an+1=2×2n-1=2n

故an=2n-1思考：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1.（1）求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式.（2）解：∵a1=1思考：已知數(shù)列{an}練習：（1）在等比數(shù)列{an}中，若2a4=a5+a6，則公比q=______.（2）若a7·a12=5，則a8·a9·a10·a11=______.（3）在等比數(shù)列{an}中，若a3=4，a7=9，則a5=_______.（4）已知是等比數(shù)列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5=()A.5B.10C.15D.201或-225A6練習：1或-225A6練習：2.若lga，lgb，lgc成等差數(shù)列，則a，b，c成

數(shù)列；等比拓展：若a，b，c成等比數(shù)列，則lga，lgb，lgc是否一定成等差數(shù)列？不一定，只有當a，b，c都大于0才成立.1.若2a，2b，2c成等比數(shù)列，則a，b，c成

數(shù)列；等差練習：2.若lga，lgb，lgc成等差數(shù)列，則a，b，c成歸納總結(jié)判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法：歸納總結(jié)判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義式公差（比）定義變形

通項公式

一般形式

an+1-an=dd叫公差q叫公比an+1=an+dan+1=anqan=a1+(n-1)dan=a1qn-1an=am+(n-m)dan=amqn-m比較：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義2.4等比數(shù)列2.4等比數(shù)列如果一碗面由256根面條組成,請問需要拉面師傅拉幾次才能得到?如果一碗面由256根面條組成,請問需要拉面師傅拉幾次才能得到我國古代一些學者提出：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！比绻选耙怀咧ⅰ笨闯蓡挝弧?”，那么得到的數(shù)列是:我國銀行的定期儲蓄中有“復利”的支付利息的方式，現(xiàn)存入銀行1萬元，年利率為1.98%，那么5年內(nèi)各年末的本利和分別是:拉面時前9次拉伸成的面條根數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列:

上面數(shù)列有什么共同特點?從第二項起,每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù)。1,2,4,8,16,32,64,128,2561.0198，1.01982,1.01983,

1.01983,1.01984,1×1.01985我國古代一些學者提出：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！比缑Q等差數(shù)列等比數(shù)列定義從第2項起，每一項與它前一項的比都等于同一個常數(shù),

該數(shù)列叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，用q(q≠0)表示.從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù)，該數(shù)列叫做等差數(shù)列這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，用d表示.名稱從第2項起，每一項與它前一項的比都等于同一個常數(shù),這1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的比都等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示?；蚱鋽?shù)學表達式：1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一對等比數(shù)列的認識：（1）即等比數(shù)列的每一項都不為0；（2）即等比數(shù)列的公比不為0；（3）為非零常值數(shù)列.對等比數(shù)列的認識：（1）即等比數(shù)列的每一項都不為練一練是不是是不確定（2）４，－８，１６，－３２，64（3）－3，－3，－3，－3,……,－3（4）2,0,0,0，0（5）1,x,x2,x3,……xn-1……1、判別下列數(shù)列是否為等比數(shù)列?是練一練是不是是不確定（2）４，－８，１６，－３２，64……12.等比數(shù)列的通項公式問題：如何用和表示第項.①歸納猜想法②疊乘法這個式子相乘得

，所以

.2.等比數(shù)列的通項公式問題：如何用和表示第項.①歸等比數(shù)列的通項公式為:②函數(shù)觀點①方程思想類指數(shù)函數(shù)式解方程,知三求一等比數(shù)列的通項公式為:②函數(shù)觀點①方程思想類指數(shù)函數(shù)式解方程（1）數(shù)列：1，2，4，8，16，…1234567891024681012141618200●●●●●nan（1）數(shù)列：1，2，4，8，16，…123456789102（2）數(shù)列：12345678910123456789100●●●●●●●nan（2）數(shù)列：12345678910123456789100●（3）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●nan（3）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，…123456789（4）數(shù)列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●nan（4）數(shù)列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…123456例1、某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，若每經(jīng)過一年，剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，則這種物質(zhì)的半衰期為多少？（精確到1年）例1、某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，若每經(jīng)過一年，剩留的例2、如右邊框圖，請寫出所打印數(shù)列的前5項，并建立數(shù)列的遞推公式，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？開始n=1輸出A結(jié)束A=1n>5?n=n+1否是例2、如右邊框圖，請寫出所打印數(shù)列開始n=1輸出A結(jié)束A=1例3:

一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項.解：用表示題中公比為q的等比數(shù)列，由已知條件，有則這個數(shù)列的第1項與第2項分別是解得:

因此:例3:一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的-nmnm=qaa(等比)mndmnaa-+=（等差）)(例4：等比數(shù)列中，求-nmnm=qaa(等比)mndmnaa-+=（等差）)(例3.小結(jié)數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義同一常數(shù)通項公式性質(zhì)

an+1-an=dd叫公差

an=a1+(n-1)d

an=am+(n-m)d你還知道等差數(shù)列有什么性質(zhì)嗎?你能類比寫出等比數(shù)列的性質(zhì)嗎?q叫公比

an=a1qn-1

an=amqn-m3.小結(jié)數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義同一常數(shù)通項公式性質(zhì)

an

觀察如下的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后這三個數(shù)就會成為一個等比數(shù)列：（1）1，,9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1

如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。4、等比中項觀察如下的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后這三個思考：我們知道，等差數(shù)列{an}滿足下列公式（1）an=am+(n-m)d；（2）若m+n=p+q，則am+an

=ap+aq

那么，等比數(shù)列是否也有類似的公式呢？在等比數(shù)列{an}中，（1）an=amqn-m；（2）若m+n=p+q，則am·an

=ap·aq

特別地，若m+n=2p，則am·an

=ap2

思考：我們知道，等差數(shù)列{an}滿足下列公式在等比數(shù)列{an例5、已知{an}，{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么數(shù)列

{anbn}還是等比數(shù)列嗎？試證明你的觀點。證明：設{an}的公比為p，{bn}的公比為q，則

∵pq是一個與n無關的常數(shù)，∴{anbn}是以pq為公比的等比數(shù)列.思考：那數(shù)列是不是也是等比數(shù)列呢？{an+bn}呢？例5、已知{an}，{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么數(shù)列證探究1：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，c為常數(shù)，則下列數(shù)列是等比數(shù)列嗎？若是，公比是什么？探究2：若{an}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，則下面的數(shù)列是等比數(shù)列嗎？√√√×探究1：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，c為常數(shù)，則下列數(shù)例6、已知三數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積是64，求這三個數(shù).故這三個數(shù)為2，4，8或8，4，2.例6、已知三數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積是64，（1）證明：∵

a1=1>0∴由an+1=2an+1可知{an}是遞增數(shù)列

∴an>0，故an+1≠0∵an+1+1=2an+2=2(an+1)∴數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列.思考：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1.（1）求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式.（1）證明：∵a1=1>0∵an+1+1=2an+2=2(（2）解：∵

a1=1

∴a1+1=2∴數(shù)列{an+1}是一個首項為2，公比也為2

的等比數(shù)列

∴an+1=2×2n-1=2n

故an=2n-1思考：已知