《實(shí)際問題與一元二次方程》教學(xué)

龍山一中王學(xué)軍一、教學(xué)內(nèi)容分析本課的主要內(nèi)容是以列一元二次方程解應(yīng)用題為中心，深入探究傳播問題和平均變化率問題中的數(shù)量關(guān)系。活動(dòng)的側(cè)重點(diǎn)是列方程解應(yīng)用題，提高學(xué)生應(yīng)用方程分析解決問題的能力?；顒?dòng)中涉及了一元二次方程解法，列方程解應(yīng)用題的一般規(guī)律等。這些問題在現(xiàn)實(shí)世界中有許多原型，讓學(xué)生理解兩輪傳播和兩個(gè)時(shí)間段的平均變化率可以用一元二次方程作為數(shù)學(xué)模型，從而使問題得到解決。二、學(xué)情分析1、學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了用一元一次方程、二元一次方程（組）解決實(shí)際問題，本節(jié)討論如何利用一元二次方程分析解決實(shí)際問題。2、本節(jié)課是在一學(xué)生學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法后學(xué)習(xí)用一元二次方程解決實(shí)際問題的第一課時(shí)，因此學(xué)生對(duì)應(yīng)用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠踢€存在一定的問題，教學(xué)過程中要繼續(xù)加強(qiáng)練習(xí)。3、學(xué)生對(duì)列方程解應(yīng)用題的一般步驟已經(jīng)很熟悉，適合自主探究、合作交流的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。4、九年級(jí)學(xué)生具有豐富的想象力、好奇心和好勝心理，

本節(jié)從生活中的實(shí)際問題入手，容易開發(fā)他們的主觀能動(dòng)性，適合由特殊到一般的探究方式。三、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：1、會(huì)根據(jù)具體問題（按一定傳播速度傳播問題和平均增長(zhǎng)率或降低率問題）中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解．體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界某些問題的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。2、能根據(jù)問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合理．3、進(jìn)一步掌握列方程解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵．過程與方法：歷由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用一元二次方程對(duì)其進(jìn)行描述。培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：1、使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活的數(shù)學(xué)思想。2、使學(xué)生通過解決實(shí)際問題的過程感知探究學(xué)習(xí)的樂趣！四、教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生學(xué)會(huì)用列一元二次方程的方法解決有關(guān)增長(zhǎng)率的問題。五、教學(xué)難點(diǎn)：提高學(xué)生轉(zhuǎn)化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力以及分析問題、解決問題的能力。六、教學(xué)策略在本課的學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視相關(guān)內(nèi)容與實(shí)際的聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)一元二次方程是解決現(xiàn)實(shí)問題的一種數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)。分析和解決的關(guān)鍵是找出問題中的相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系，并把這樣的關(guān)系“翻譯”為一元二次方程。讓學(xué)生通過觀察、試驗(yàn)、操作、分析、猜想、發(fā)現(xiàn)其中的等量關(guān)系，從而正確的理解問題情境，最后能夠解決問題。七、教學(xué)過程：（一）總結(jié)回顧、引入新知：教師活動(dòng)：（1）列方程解應(yīng)用題分幾步呢？應(yīng)注意那些？學(xué)生活動(dòng)：回答解應(yīng)用題的步驟：審題——找數(shù)量、等量關(guān)系——設(shè)未知數(shù)列方程——解方程——檢驗(yàn)——作答【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)舊知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回顧解應(yīng)用題的步驟，讓學(xué)生自然而然地進(jìn)入新知識(shí)的探索和學(xué)習(xí)。教師活動(dòng)：出示學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、學(xué)會(huì)用列一元二次方程的方法解決有關(guān)平均增長(zhǎng)率或降低率的問題。2、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題、解決問題的能力。3、通過平均增長(zhǎng)率或降低率問題的學(xué)習(xí)能抓住問題的關(guān)鍵，揭示它的規(guī)律性，體會(huì)用方程解決應(yīng)用題方法?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過出示本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)使學(xué)生明確本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和要求，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中有的放矢。(二）合作探究、學(xué)習(xí)新知：1、探究1有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？教師活動(dòng)：（1）給學(xué)生一定時(shí)間讀題并理解題意。

（2）提出問題：這個(gè)題目的問題是求什么？應(yīng)該怎樣設(shè)未知數(shù)？學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生展示發(fā)言(設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人)教師進(jìn)一步提出問題：（1）、開始有一人患了流感，第一輪設(shè)他傳染了

x個(gè)人，則第一輪后，共有

個(gè)人患了流感。（2）、在第二輪中，這些人中的每個(gè)人又傳染了x個(gè)人，則第二輪中總共傳染了

個(gè)人。（3）、此時(shí)，共有

個(gè)人患了流感（用含有x

的式子表示）（4）、根據(jù)題目中提供的數(shù)量可列方程為

。【設(shè)計(jì)意圖】由于學(xué)生比較缺乏社會(huì)生活經(jīng)歷，不知道病毒在傳播過程中的數(shù)量關(guān)系，因此設(shè)計(jì)4個(gè)問題，由淺入深，引領(lǐng)學(xué)生分析問題的數(shù)量關(guān)系，降低了探究的難度，分散了難點(diǎn)，從而達(dá)到解決問題的目的。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生小組內(nèi)討論交流．，完成填空.教師活動(dòng)：（1）如何解這個(gè)方程：1+x+(1+x)x=121？

（2）方程的根都符合題意嗎？為什么？學(xué)生活動(dòng)：（1）學(xué)生解方程

（2）思考發(fā)言：x=-12<0，不符合題意舍去。教師巡視并進(jìn)行觀察學(xué)生的解法，會(huì)發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生用公式法解方程比較麻煩，教師在學(xué)生解答后提問，可以用直接開平方法解這個(gè)方程嗎？【設(shè)計(jì)意圖】一方面進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生解一元二次方程的熟練程度，另一方面培養(yǎng)學(xué)生的檢驗(yàn)意識(shí)。教師示范解答求解過程：解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人1+x+(1+x)x=121（1+x）2

=121

1+x=±11

x=-1±11∴x1=10，x2=-12（不符合題意舍去）答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人。教師活動(dòng)：（1）教師在出示完整解答過程后強(qiáng)調(diào)：格式、檢驗(yàn)及學(xué)生中出現(xiàn)的問題。

（2）提問：按此傳播速度，經(jīng)過三輪后共有多少人患了流感？學(xué)生列式：121+121×10=1331教師引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)方程的左邊可化為（1+a）2

，進(jìn)而可引導(dǎo)學(xué)生猜想還可以怎樣求？學(xué)生歸納：經(jīng)過三輪后共有（1+10）3=1331人患了流感，思考：若經(jīng)過10輪后有多少人患流感？學(xué)生歸納：經(jīng)過十輪后共有（1+10）10

人患了流感。教師指出：生活中象細(xì)胞的分裂、流感的傳染、信息的傳播等都是在傳播速度一定的情況下呈幾何倍數(shù)增長(zhǎng)的.【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生歸納，有利于學(xué)生類比地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的事物和事件，形成解決問題的一般策略.2、

探究2：兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？

提問：(1)如何理解年平均下降額與年平均下降率？它們相等嗎？教師明確：年平均下降額=（前一年成本—本年成本）÷前一年成本

即（5000－3000）÷2=1000（元）是表示甲的年平均下降額教師提問：乙的年平均下降額怎么計(jì)算？學(xué)生發(fā)言：（6000－3600）÷2=1200（元）教師提問：年平均下降率？它們相等嗎？學(xué)生討論發(fā)言：年平均下降率是百分?jǐn)?shù)，

年平均下降額（元）不等同于年平均下降率（百分?jǐn)?shù)）（2）若設(shè)甲種藥品年平均下降率為x，則一年后，甲種藥品的成本下降了________元，此時(shí)成本為________元；兩年后，甲種藥品下降了________元，此時(shí)成本為________元．

教師板書：

兩年前成本

一年后成本

二年后成本

5000

5000(1-x)

5000(1-x)2

（3）你能列出方程嗎？（4）請(qǐng)同學(xué)們解方程【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生整體地、系統(tǒng)地審清問題，分析問題中的各類數(shù)量間的關(guān)系，從而找出解決問題的方法。教師活動(dòng)：（1）請(qǐng)學(xué)生板演并進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

（2）你能求出乙種嗎？

（3）結(jié)合甲乙藥品年平均下降率，你能得出什么結(jié)論？學(xué)生活動(dòng)：（1）學(xué)生獨(dú)立列方程求解；

（2）對(duì)比得到結(jié)論：甲乙藥品年平均下降率相同。教師提問：平均增長(zhǎng)率(下降率)使我們現(xiàn)實(shí)生活中比較常見的問題，通過上面問題的解決過程你能發(fā)現(xiàn)什么解題規(guī)律嗎？學(xué)生討論發(fā)言教師引導(dǎo)公式的歸納：若用a表示基數(shù)，b表示實(shí)際數(shù)，x表示增長(zhǎng)率則

第1次增長(zhǎng)后的量是a(1+x)=b

第2次增長(zhǎng)后的量是a(1+x)2=b

……

第n次增長(zhǎng)后的量是a(1+x)n=b

這就是重要的增長(zhǎng)率公式.反之，若為n次降低，則平均降低率公式為；a(1-x)n=b【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)問題是常見的平均增長(zhǎng)率、下降率問題，學(xué)生初次接觸，較難理解，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生尋求實(shí)際問題中所蘊(yùn)涵的等量關(guān)系，并使學(xué)生體會(huì)到尋找等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。（三）課堂練習(xí)：

2022年我國(guó)政府工作報(bào)告指出:為解決農(nóng)民負(fù)擔(dān)過重問題,在近兩年的稅費(fèi)政策改革中,我國(guó)政府采取了一系列政策措施,2022年中央財(cái)政用于支持這項(xiàng)改革試點(diǎn)的資金約為180億元,預(yù)計(jì)到2022年將到達(dá)億元,求2022年到2022年中央財(cái)政每年投入支持這項(xiàng)改革資金的平均增長(zhǎng)率?【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生進(jìn)一步熟悉平均增長(zhǎng)率、下降率問題的解題規(guī)律。（四）課堂小結(jié)：1、平均增長(zhǎng)（降低）率公式2、注意：

（1）1與x的位置不要調(diào)換（2）解這類問題列出的方程一般用直接開平方法（3）增長(zhǎng)率>0；

0<</span>降低率<1【設(shè)計(jì)意圖】通過小結(jié)，進(jìn)一步明確本節(jié)所學(xué)知識(shí)的重要要點(diǎn)，體會(huì)解題方法，為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊。（五）布置作業(yè)：1、必做題：教材第22頁第7題2、選做題：某農(nóng)戶的產(chǎn)量糧食平均每年的增長(zhǎng)率為x，第一年的產(chǎn)量為6萬kg，第二年的產(chǎn)量為

kg，

第三年的產(chǎn)量為

kg,，三年總產(chǎn)量為

kg。【設(shè)計(jì)意圖】分層次布置作業(yè)，其中“必做題”屬于基本要求，面向全體同學(xué)；“選做題”面向部分學(xué)有余力的學(xué)生，有利于因材施教。（六）天天清：1、某農(nóng)場(chǎng)糧食產(chǎn)量是：2022年1200萬千克，2022年為1452萬千克。如果平均每年的增長(zhǎng)率為x，則可得方程

----------------------------------------(

)A.

1200(1+x)=1452

B.

1200(1+2x)=1452C.

1200(1+x%)2=1452

D.

1200(1+x%)=14522、某超市一月份的營(yíng)業(yè)額為200萬元，一月、二月、三月的營(yíng)業(yè)額共1000萬元，如果平均月增長(zhǎng)率為x，則由題意得方程為-------------------------(

)(1+x)2=1000

B.200+200×2×x=1000+200×3×x=1000

D.200+200(1+x)+200(1+x)2=1000【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)本節(jié)內(nèi)容查漏補(bǔ)缺，促進(jìn)教與學(xué)。八、教學(xué)反思（1）要充分利用教學(xué)