學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精滾動(dòng)訓(xùn)練二（§1～§4)一、選擇題1．下面幾種推理是合情推理的是（)①由正三角形的性質(zhì)類比出正三棱錐的有關(guān)性質(zhì)；②由正方形、矩形的內(nèi)角和為360°,歸納出所有四邊形的內(nèi)角和都是360°；③三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°,五邊形內(nèi)角和是540°,由此得出凸n邊形內(nèi)角和是（n－2)·180°；④小李某次數(shù)學(xué)模塊考試成績是90分，由此推出小李的全班同學(xué)這次數(shù)學(xué)模塊考試的成績都是90分．A．①② B．①②③C．①②④ D．②③④考點(diǎn)合情推理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)合情推理的判別答案B2．用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）有有理數(shù)根,那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)．用反證法證明時(shí),下列假設(shè)正確的是(）A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b,c至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)a,b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B解析根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定“至少有一個(gè)”的否定“都不是"，即假設(shè)正確的是：假設(shè)a,b，c都不是偶數(shù)，故選B。3．演繹推理“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax(a〉0，且a≠1)是增函數(shù)，而函數(shù)y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2））)x是指數(shù)函數(shù)，所以y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）)）x是增函數(shù)”所得結(jié)論錯(cuò)誤的原因是(）A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤 D．大前提和小前提都錯(cuò)誤答案A解析指數(shù)函數(shù)y＝ax（a>0，且a≠1），當(dāng)a〉1時(shí)是增函數(shù),當(dāng)0<a〈1時(shí)是減函數(shù)，故大前提錯(cuò)誤．4．“已知實(shí)數(shù)x,y滿足(x－1）2＋（y－1）2＝1,求eq\r(x2＋y2)的最大值"時(shí)，可理解為在以點(diǎn)（1,1）為圓心,以1為半徑的圓上找一點(diǎn)，使它到原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)問題，據(jù)此類比到空間，試分析：已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足（x－1）2＋(y－1)2＋（z－1）2＝1，求eq\r(x2＋y2＋z2）的最大值是()A.eq\r（2）＋1B。eq\r（2)－1C。eq\r（3)＋1D.eq\r（3）－1考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案C解析由題意,根據(jù)類比思想,(x－1）2＋（y－1)2＋(z－1）2＝1,球心（1，1，1)到原點(diǎn)的距離為eq\r(3)，∴eq\r（x2＋y2＋z2)的最大值是球心（1，1,1）到原點(diǎn)的距離加上半徑，即eq\r(3)＋1,故選C。5．分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a〉b>c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r（b2－ac)<eq\r(3)a"索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b〉0 B．a(chǎn)－c>0C．（a－b)(a－c）>0 D．（a－b)(a－c）<0考點(diǎn)分析法及應(yīng)用題點(diǎn)尋找結(jié)論成立的充分條件答案C解析由a>b〉c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c,a〉0，c<0。要證eq\r（b2－ac）<eq\r（3）a，只要證(－a－c)2－ac〈3a2，即證a2－ac＋a2－c2>0，即證a(a－c）＋(a＋c)（a－c）〉0，即證a（a－c）－b(a－c)>0，即證（a－c）(a－b)>0.故求證“eq\r（b2－ac)〈eq\r（3）a”索的因應(yīng)是（a－c)（a－b）〉0，故選C.6．中國有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長的小竹棍在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式,如圖，當(dāng)表示一個(gè)多位數(shù)時(shí),像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣,把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位,千位，十萬位用橫式表示，以此類推．例如6613用算籌表示就是，則8335用算籌可表示為()A. B。C. D.考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)類比推理在圖形中的應(yīng)用答案B解析由題意各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬位用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示,則8335用算籌可表示為，故選B.7．已知f（x）＝x3＋x，a，b∈R，且a＋b〉0，則f(a）＋f（b）的值一定（)A．大于零 B．等于零C．小于零 D．正負(fù)都有可能考點(diǎn)綜合法及應(yīng)用題點(diǎn)利用綜合法解決不等式問題答案A解析∵f(x)＝x3＋x，∴f(x）是增函數(shù)且是奇函數(shù)．∵a＋b〉0，∴a〉－b,∴f（a）〉f(－b)，∴f(a）＋f（b)>0.二、填空題8．如圖所示的是一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排,那么第36顆珠子的顏色是________色．考點(diǎn)題點(diǎn)答案白解析通過觀察發(fā)現(xiàn)，每5顆珠子為一組,前3顆為白色，后2顆為黑色，所以36＝35＋1＝5×7＋1，得第36顆珠子一定為白色．9．在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的過程中，我們使用了倒序相加的方法，類比可求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)類比推理的方法、形式和結(jié)論答案44.5解析設(shè)S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，則S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，兩式倒序相加,得2S＝(sin21°＋sin289°）＋(sin22°＋sin288°)＋…＋（sin289°＋sin21°）＝（sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°）＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89,∴S＝44。5。10．若三棱錐S－ABC中,SA⊥BC,SB⊥AC，則S在底面ABC上的射影為△ABC的________．(填重心、垂心、內(nèi)心、外心之一）考點(diǎn)題點(diǎn)答案垂心解析如圖，設(shè)S在底面ABC上的射影為點(diǎn)O，∴SO⊥平面ABC，連接AO，BO.∵SA⊥BC,SO⊥BC,SA∩SO＝S，∴BC⊥平面SAO，∴BC⊥AO.同理可證，AC⊥BO.∴O為△ABC的垂心．11．如圖，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有n（n>1，n∈N＋)個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an，則eq\f(9，a2a3)＋eq\f(9，a3a4）＋…＋eq\f（9,a2017a2018）＝________。考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案eq\f（2016,2017)解析根據(jù)分析，可得a2＝3＝3×(2－1)，a3＝6＝3×(3－1），a4＝9＝3×(4－1)，a5＝12＝3×(5－1）,…，an＝3(n－1）,數(shù)列{an｝是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)為an＝3（n－1）（n≥2)，所以eq\f（1,anan＋1)＝eq\f（1,3n－1·3n）＝eq\f（1，9）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,n－1）－\f（1，n）)）,則eq\f(9,a2a3）＋eq\f（9,a3a4)＋…＋eq\f(9,a2017a2018)＝9×eq\f(1，9)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（1，2）＋\f(1,2）－\f(1,3）＋…＋\f(1，2016）－\f(1，2017）)）＝1－eq\f（1，2017)＝eq\f（2016，2017）.三、解答題12．已知a，b是正實(shí)數(shù)，求證：eq\f(a，\r（b））＋eq\f（b，\r（a))≥eq\r（a）＋eq\r（b).考點(diǎn)分析法及應(yīng)用題點(diǎn)分析法解決不等式問題證明方法一(分析法）已知a,b是正實(shí)數(shù)，要證eq\f（a，\r（b）)＋eq\f（b，\r(a）)≥eq\r(a)＋eq\r（b)，只需證aeq\r(a）＋beq\r(b)≥eq\r(ab）(eq\r（a)＋eq\r（b)），即證(a＋b－eq\r（ab))（eq\r(a)＋eq\r（b））≥eq\r(ab）(eq\r(a）＋eq\r（b）），即證a＋b－eq\r(ab）≥eq\r（ab)，就是要證a＋b≥2eq\r(ab).顯然a＋b≥2eq\r（ab）恒成立，所以eq\f（a,\r(b）)＋eq\f(b,\r（a)）≥eq\r(a)＋eq\r（b).方法二(作差法）因?yàn)閍,b是正實(shí)數(shù),所以eq\f（a,\r(b))＋eq\f（b,\r（a)）－eq\r（a）－eq\r(b）＝eq\f（b－a，\r（a)）＋eq\f(a－b,\r(b))＝eq\f（a－b\r(a）－\r（b）,\r（ab））＝eq\f（\r(a）－\r（b）2\r(a)＋\r（b)，\r(ab））≥0，所以eq\f（a,\r(b））＋eq\f(b，\r（a））≥eq\r(a）＋eq\r(b）。方法三(綜合法)因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù),所以eq\f(a，\r（b))＋eq\r(b）＋eq\f（b，\r（a))＋eq\r（a)≥2eq\r(\f(a，\r(b)）·\r（b）)＋2eq\r（\f(b,\r（a)）·\r(a)）＝2eq\r（a）＋2eq\r(b)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，所以eq\f(a，\r（b）)＋eq\f（b,\r（a））≥eq\r(a)＋eq\r（b)。方法四（綜合法)因?yàn)閍,b是正實(shí)數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a，\r(b））＋\f(b，\r（a））））（eq\r（a)＋eq\r（b))＝a＋b＋eq\f（a\r(a),\r（b)）＋eq\f(b\r(b)，\r（a））≥a＋b＋2eq\r（\f(a\r(a),\r（b））·\f（b\r（b),\r(a)））＝a＋b＋2eq\r(ab）＝（eq\r(a)＋eq\r(b))2,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，所以eq\f(a，\r（b））＋eq\f(b,\r(a）)≥eq\r(a)＋eq\r（b）.13．求證：不論x，y取何非零實(shí)數(shù),等式eq\f(1,x)＋eq\f(1，y）＝eq\f(1，x＋y）總不成立．考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)x,y使得等式eq\f（1,x）＋eq\f（1，y）＝eq\f（1,x＋y）成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y）＝xy，即x2＋y2＋xy＝0，即eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（y，2))）2＋eq\f(3,4）y2＝0。即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，，x＋\f（y，2）＝0，)）所以x＝y(tǒng)＝0，這與已知x，y為非零實(shí)數(shù)矛盾，所以原命題成立．四、探究與拓展14．將自然數(shù)按如下規(guī)則排列在平面直角坐標(biāo)系中：①每一個(gè)自然數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；②0在原點(diǎn)，1在（0,1），2在（1，1)，3在(1，0）,4在（1,－1），5在(0，－1)，9在（－1，2），…，所有自然數(shù)按順序順時(shí)針“纏繞"在以“0”為中心的“樁”上且所有整點(diǎn)上均有自然數(shù)，則數(shù)字（2n＋1)2（n∈N＋)的坐標(biāo)為__________．考點(diǎn)題點(diǎn)答案（－n,n＋1)解析9的坐標(biāo)為（－1,2)，且9＝(2×1＋1）2,25的坐標(biāo)為(－2,3)，且25＝(2×2＋1)2，49的坐標(biāo)為（－3，4），且49＝(2×3＋1)2,…，所以（2n＋1）2的坐標(biāo)為(－n，n＋1)．15．請(qǐng)你把不等式“若a1,a2是正實(shí)數(shù)，則有eq\f（a\o\al(2,1），a2)＋eq\f(a\o\al(2,2)，a3)≥a1＋a2”推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論．解推廣的結(jié)論:若a1，a2,…,an都是正實(shí)數(shù)，則有eq\f（a\o\al(2,1）,a2）＋eq\f（a\o\al（2,2),a3)＋…＋eq\f（a\o\al（2，n－1),an)＋eq\f（a\o\al（2,n),a1)≥a1＋a2＋…＋an。證明:∵a1，a2,…，an都是正實(shí)數(shù)，∴eq\f（a\o\al(2，1），a2)＋a2≥2a1；eq\f（a\o\al(