.@:第6頁北京市第二十七中學(xué)2019-2019學(xué)年第一學(xué)期期中試卷高三數(shù)學(xué)〔文科〕一、選擇題〔本大題共8小題，每題5分，總分值40分〕1．假設(shè)集合，，那么等于〔〕． A． B． C． D．【答案】A【解析】∵集合，，∴．應(yīng)選．2．設(shè)，，為不同的直線，，為不同的平面，那么正確的命題為〔〕． A．假設(shè)，，那么 B．假設(shè)，，那么C．假設(shè)，，那么 D．假設(shè)，且，那么【答案】D【解析】選項，假設(shè)，，那么或，故錯誤；選項，假設(shè)，，那么與相交，平行或，故錯誤；選項，假設(shè)，，那么與相交，平行或異面，故錯誤；選項，因為，，所以，又，所以，故正確．綜上所述，應(yīng)選．3．非零平面向量，，“〞是“〞的〔〕． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】．所以“〞是“〞的充分必要條件．應(yīng)選．4．平面向量與的夾角為，，，那么〔〕． A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，，，所以，．應(yīng)選．5．實數(shù)，，的大小關(guān)系正確的選項是〔〕． A． B． C． D．【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：∴．應(yīng)選．6．?dāng)?shù)列的前項和為，且，，那么取最小值時，的值是〔〕． A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以是以為公差的等差數(shù)列，且，令，解得，所以，，當(dāng)時，獲得最小值．應(yīng)選．7．假設(shè)函數(shù)存在極值，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕． A． B． C． D．【答案】A【解析】，∵函數(shù)有極值，∴，即有實根，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，此時不存在極值；同理，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減，此時不存在極值；綜上所述，的取值范圍是．應(yīng)選．8．設(shè)，定義區(qū)間的長度為，函數(shù)的定義域為，值域為，那么區(qū)間的長度的最大值與最小值的差為〔〕． A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象，如下圖：假設(shè)，那么，假設(shè)，那么或，因為函數(shù)的定義域為，值域，∴，，或，，∴當(dāng)，或，時，區(qū)間的長度最小為，當(dāng)，時，區(qū)間的長度最小為，所以區(qū)間的長度的最大值與最小值的差為．應(yīng)選．二、填空題〔共6小題，每題5分，共30分〕9．為虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)__________．【答案】【解析】．10．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，那么的公比的值為__________．【答案】【解析】因為是等比數(shù)列，，所以，即，所以，解得〔舍去〕或．故的公比為．11．下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著?九章算術(shù)?中的“更相減損術(shù)〞．執(zhí)行該程序框圖，假設(shè)輸入的，分別為，，那么輸出的__________．【答案】【解析】當(dāng)，時，滿足，但不滿足，執(zhí)行后，，，當(dāng)，時，滿足，且滿足，執(zhí)行后，，，當(dāng)，時，滿足，且滿足，執(zhí)行后，，，當(dāng)，時，滿足，且不滿足，執(zhí)行后，，，當(dāng)，時，滿足，且不滿足，執(zhí)行后，，，當(dāng)，時，不滿足，輸出的值．12．某三棱錐的三視圖如下圖，那么其體積為__________．【答案】【解析】由三視圖可知，三棱錐如下圖，平面平面，且，的高為，的高為，故三棱錐和體積．13．在中，，分別是，的中點，是上一點，且向量，假設(shè)，那么__________，__________．【答案】；【解析】，又∵，∴，．14．定義在上的函數(shù)滿足：①當(dāng)，；②．〔〕__________．〔〕假設(shè)函數(shù)的零點從小到大依次記為，，，，，那么當(dāng)時，__________．【答案】〔〕〔〕【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，，故當(dāng)時，．〔〕當(dāng)時，，由可知：，同理，當(dāng)時，，因此不必要考慮，當(dāng)時，由，可得，，同理時，由，可得，；此時，，作出直線，，那么在區(qū)間和各有一個零點，分別為，且滿足，依次類推：，．∴當(dāng)時，．三、解答題〔共6小題，共80分〕15．〔本小題總分值分〕函數(shù)．〔Ⅰ〕求的最小正周期．〔Ⅱ〕求在區(qū)間上的取值范圍．【答案】見解析【解析】〔Ⅰ〕∴的最小值正周期．故在區(qū)間上的取值范圍是：．16．〔本小題總分值分〕等比數(shù)列滿足，．〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項公式．〔Ⅱ〕假設(shè)，求數(shù)列的前項和公式．【答案】見解析【解析】〔Ⅰ〕設(shè)等比數(shù)列的公比為，那么由，得：，兩式相比，解得，，∴數(shù)列的通項公式為：．易知數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．所以的前項和．17．〔本小題總分值分〕如圖，直三棱柱中，，為的中點，．〔Ⅰ〕求證：平面．〔Ⅱ〕求證：．【答案】見解析【解析】〔Ⅰ〕連結(jié)交于，連結(jié)，那么是中點，∵在中，是的中點，是的中點，又平面，平面，∴平面．〔Ⅱ〕證明：連結(jié)∴是正方形，又由直三棱柱性質(zhì)可得：平面，∴平面，∴平面，18．〔本小題共13分〕函數(shù)．〔Ⅰ〕當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．〔Ⅱ〕求的單調(diào)區(qū)間．〔Ⅲ〕假設(shè)函數(shù)沒有零點，求的取值范圍．【答案】見解析【解析】〔Ⅰ〕當(dāng)時，，，∴曲線在點處的切線方程，即．〔Ⅱ〕函數(shù)，，，當(dāng)時，在時，，∴的單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時，令時，，令，那么，∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可以知道，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且有，，此時函數(shù)有零點，不符合題意；②當(dāng)時，函數(shù)，在定義域上沒有零點，符合題意；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)，即時，函數(shù)沒有零點，綜上所述，當(dāng)時，沒有零點．故假設(shè)沒有零點，那么的取值范圍是．19．〔本小題總分值分〕如圖，在多面體中，底面是邊長為的正方形，四邊形是矩形，平面平面，，和分別是和的中點．〔Ⅰ〕求證：平面．〔Ⅱ〕求證：平面平面．〔Ⅲ〕求多面體的體積．【答案】見解析【解析】〔Ⅰ〕證明：∵四邊形是正方形，又∵平面平面，平面平面，且平面，∴平面，〔Ⅱ〕證明：在中，，分別是和的中點，又∵平面，平面，∴平面，設(shè)，連接，∵在中，是的中點，是的中點，又∵平面，平面，∴平面，又∵，、平面，∴平面平面．〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕得，平面，又∵，四邊形的面積，∴四棱錐的體積，同理四棱錐的體積，故多面體的體積．20．〔本小題總分值分〕函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．〔Ⅰ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．〔Ⅱ〕當(dāng)時，求函數(shù)的最小值