獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用高二年級數(shù)學(xué)

某地方法院判定某煙草公司向一位女士賠償236億美元.因?yàn)檫@位女士的丈夫，長期抽煙，最終36歲就因肺癌死亡.法院是依據(jù)什么對這個案件進(jìn)行的判決呢？身高溫度考試成績性別興趣商品質(zhì)量等級結(jié)合以往我們學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的經(jīng)驗(yàn)，對于吸煙與患肺癌這個具體案例，首先要進(jìn)行數(shù)據(jù)搜集，根據(jù)這個問題的特點(diǎn)，我們都需要搜集哪些數(shù)據(jù)呢？由吸煙與患肺癌這兩個分類變量的取值特征，我們需要得到吸煙的樣本人數(shù)，患肺癌的樣本人數(shù)，吸煙且患肺癌的樣本人數(shù)，吸煙且沒有患肺癌的樣本人數(shù)，不吸煙且患肺癌的樣本人數(shù)，不吸煙且不患肺癌的樣本人數(shù)等.探究問題一對于分類變量的樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)以往處理統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)，我們要如何用表格進(jìn)行整理呢？為研究吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）

吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965那么，吸煙是否對患肺癌有影響呢？依據(jù)兩個分類變量的取值，列出的頻數(shù)分布表我們稱為2×2列聯(lián)表列分類（Y）合計(jì)未發(fā)生數(shù)（y1）發(fā)生數(shù)（y2）行分類（X）甲（x1）aba+b乙（x2）cdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+d為研究吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）

吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965在不吸煙樣本中，患肺癌的有在吸煙樣本中，患肺癌的有

吸煙群體和不吸煙群體患肺癌的可能性存在差異.等高條形圖與表格相比，圖形更能直觀的反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙1吸煙177757817≈99.46%20992148≈97.72%427817≈0.54%492148≈2.28%通過計(jì)算樣本頻率以及觀察等高條形圖，我們得到直觀判斷是“吸煙與患肺癌有關(guān)”，那么這種判斷是否可靠呢？也就是，當(dāng)把這組樣本數(shù)據(jù)的分析結(jié)果放到總體中時(shí)，我們有多大的把握判斷“吸煙與患肺癌有關(guān)”呢？在利用回歸分析研究定量變量時(shí)，我們通過最小二乘法構(gòu)建了回歸直線方程的系數(shù)公式，又通過構(gòu)建殘差這個統(tǒng)計(jì)量分析樣本對總體的擬合效果.探究問題二類比回歸分析，在研究吸煙是否對患肺癌有影響這個問題時(shí)，我們同樣需要考慮，利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建一個什么樣的統(tǒng)計(jì)量來刻畫總體的情況？我們假設(shè)吸煙與患肺癌之間沒有關(guān)系（即吸煙與患肺癌之間是相互獨(dú)立的），且用事件A表示不吸煙,事件B表示不患肺癌.

不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；|ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng).為了能夠更清楚的說明，我們將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)抽象為字母，以表示隨機(jī)樣本中的頻數(shù).并假設(shè)H0:吸煙與患肺癌之間沒有關(guān)系（即吸煙與患肺癌相互獨(dú)立）.成立，

化簡得在H0成立的條件下應(yīng)該有分析至此，可能你會提出這樣的問題：1.只考慮不吸煙且不患肺癌的情況，不考慮其他情況，可以嗎？2.怎樣衡量越大與越小，有沒有一個量化的標(biāo)準(zhǔn)？數(shù)學(xué)界被譽(yù)為統(tǒng)計(jì)學(xué)之父的英國數(shù)學(xué)家卡爾·皮爾遜（KarlPearson），也遇到了這些問題，怎么解決呢？解決了樣本可以估計(jì)總體了，而且這個統(tǒng)計(jì)量可以通過每個隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)計(jì)算出具體的值.最后我們就要解決如何利用這個值進(jìn)行推斷?探究問題三通過前面對|ad-bc|的分析，我們知道，如果H0:吸煙與患肺癌之間沒有關(guān)系成立，那么K2的取值應(yīng)該很小，通過樣本數(shù)據(jù)求得的K2觀測值k可以推斷什么呢？根據(jù)這個值如何推斷“吸煙與患肺癌有關(guān)”？P(K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828據(jù)此我們可以根據(jù)K2觀測值k≈56.632對這個問題給出推斷：在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.思考若取k0=10.828，你會對這個問題給出推斷嗎？在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.P(K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k≈56.632用隨機(jī)變量

K2的觀測值k來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).小結(jié)：回顧我們分析“吸煙對患肺癌是否有影響”這個案例的過程：我們是如何判斷兩個分類變量是否有關(guān)系？1.提出假設(shè)H0：兩個分類變量沒有關(guān)系；2.寫出2×2列聯(lián)表，并由K2的公式計(jì)算其觀測值k；3.作出推斷：確定臨界值k0，通過觀測值k與k0比較作出判斷；（1）若k≥k0，認(rèn)為k很大，推斷H0不成立，從而有[1-P(K2≥k0)]×100%的把握認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”，即：在犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)的前提下認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”；（2）若k<k0，認(rèn)為k很小，無法拒絕H0，即：樣本觀測數(shù)據(jù)沒有足夠證據(jù)證明“兩個分類變量有關(guān)系”.反證法獨(dú)立性檢驗(yàn)要證明結(jié)論A要確認(rèn)H1:“兩個分類變量之間有關(guān)系”成立假設(shè)A不成立的前提下進(jìn)行推理假設(shè)H0:“兩個分類變量之間沒有關(guān)系”成立的條件下進(jìn)行推理推出矛盾，意味著結(jié)論A成立推出小概率事件發(fā)生，意味著H1成立的可能性大，（且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率）沒有找到矛盾，意味著不能確定A成立沒有推出小概率事件發(fā)生，意味著不能確定H1成立探究問題四反證法原理與獨(dú)立性檢驗(yàn)原理有哪些異同？探究問題五直觀判斷與獨(dú)立性檢驗(yàn)有什么異同？列分類（Y）合計(jì)未發(fā)生數(shù)（y1）發(fā)生數(shù)（y2）行分類（X）甲（x1）aba+b乙（x2）cdc+d

合計(jì)a+cb+da+b+c+d直觀判斷探究問題五直觀判斷與獨(dú)立性檢驗(yàn)有什么異同？直觀判斷獨(dú)立性檢驗(yàn)假設(shè)H0:“兩個分類變量之間沒有關(guān)系”假設(shè)H0:“兩個分類變量之間沒有關(guān)系”利用頻率判斷概率是否相等利用統(tǒng)計(jì)量的觀測值與臨界值比較利用等高條形圖直觀判斷有關(guān)系利用小概率事件發(fā)生給出“判斷有關(guān)系”犯錯誤的概率【例】在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂，而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂.（1）利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系？患心臟病患其他病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437解：根據(jù)已知的數(shù)據(jù)得到如下的列聯(lián)表：禿頂與患心臟病列聯(lián)表算出禿頂和不禿頂樣本中患心臟病的頻率分別和（1）直觀判斷：因此，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系.P(K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)：根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可得：對這個問題的結(jié)論我們需要注意以下兩點(diǎn)：1.結(jié)論適用的范圍:這個問題的這組數(shù)據(jù)來源于被調(diào)查的醫(yī)院，因此這個結(jié)論只適合被調(diào)查醫(yī)院的住院病人群體；2.犯錯誤概率的含義:犯錯誤的概率不超過0.01，是指把“禿頂與患心臟病沒有關(guān)系”錯誤的推斷為“禿頂與患心臟病有關(guān)系”的概率不超過0.01.【課堂小結(jié)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其應(yīng)用問題背景分析分類變量2×2列聯(lián)表等高條形圖確定統(tǒng)計(jì)量計(jì)算觀測值圖表分析假設(shè)：兩個分類變量沒有關(guān)系確定臨界值統(tǒng)計(jì)推斷直觀判斷課堂練習(xí)1．為考察某種藥物對預(yù)防禽流感的效果，在四個不同的實(shí)驗(yàn)室取相同的個體進(jìn)行動物試驗(yàn)，根據(jù)四個實(shí)驗(yàn)室得到的列聯(lián)表畫出如下四個等高條形圖，最能體現(xiàn)該藥物對預(yù)防禽流感有效果的圖形是（）AB