9.9空間距離【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握空間兩條直線的距離的概念，能在給出公垂線的條件下求出兩異面直線的距離.2.掌握點(diǎn)與直線，點(diǎn)與平面，直線與平面間距離的概念.3.計(jì)算空間距離時(shí)要熟練進(jìn)行各距離間的相互轉(zhuǎn)化.以點(diǎn)線距離，點(diǎn)面距離為主，在計(jì)算前關(guān)鍵是確定垂足，作出輔助圖形再應(yīng)用解三角形知識(shí).4.能借助向量求點(diǎn)面、線面、面面距離【知識(shí)梳理】1.點(diǎn)與它在平面上的射影間的距離叫做該點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.2.直線與平面平行，那么直線上任一點(diǎn)到平面的距離叫做這條直線與平面的距離.3.兩個(gè)平面平行，它們的公垂線段的長度叫做這兩個(gè)平面的距離.4.兩條異面直線的公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離.5.借助向量求距離（1）點(diǎn)面距離的向量公式平面α的法向量為n，點(diǎn)P是平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離d就是在向量n方向射影的絕對(duì)值，即d=.（2）線面、面面距離的向量公式平面α∥直線l，平面α的法向量為n，點(diǎn)M∈α、P∈l，平面α與直線l間的距離d就是在向量n方向射影的絕對(duì)值，即d=.平面α∥β，平面α的法向量為n，點(diǎn)M∈α、P∈β，平面α與平面β的距離d就是在向量n方向射影的絕對(duì)值，即d=.（3）異面直線的距離的向量公式設(shè)向量n與兩異面直線a、b都垂直，M∈a、P∈b，則兩異面直線a、b間的距離d就是在向量n方向射影的絕對(duì)值，即d=.【點(diǎn)擊雙基】1.ABCD是邊長為2的正方形，以BD為棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中點(diǎn)，則異面直線AE、BC的距離為A. B. C. D.1解析：易證CE是異面直線AE與BC的公垂線段，其長為所求.易證CE=1.∴選D.答案：D2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一點(diǎn)P到A、B、C的距離都是14，則P到α的距離是A.13 B.11 C.9 解析：作PO⊥α于點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB、OC，∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC.∴O是△ABC的外心.∴OA===5.∴PO==11為所求.∴選B.答案：B3.在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面MBDA.a B.a C.a D.a解析：A到面MBD的距離由等積變形可得.VA—MBD=VB—AMD.易求d=a.答案：D4.A、B是直線l上的兩點(diǎn)，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC與BD成60°的角，則C、D兩點(diǎn)間的距離是_______.解析：CD=.答案：5.設(shè)PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分別與α成45°和30°角，PA=2，則PA與BC的距離是_____________；點(diǎn)P到BC的距離是_____________.解析：作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD.∴AD是PA與BC的公垂線.易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，連結(jié)PD，則PD⊥BC，P到BC的距離PD=.答案：【典例剖析】【例1書】設(shè)A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8).求D到平面ABC的距離。【例2書】如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、O、O1分別是A1B、AC、A1C1的中點(diǎn)，且OH⊥O1B，垂足為H。求證：MO∥平面BB1C1C；分別求MO與OH的長；MO與OH是否為異面直線A1B與AC的公垂線？為什么？求這兩條異面直線的距離?！纠?書】如圖所示，已知四邊形ABCD、EADM都是邊長為a的正方形，點(diǎn)P、Q分別是ED與AC的中點(diǎn)，求：（1）PM與FQ所成的角；（2）P點(diǎn)到平面EFB的距離；（3）異面直線PM與FQ的距離?！纠?】如圖，已知二面角-l-的大小為1200，點(diǎn)A，B，ACl于點(diǎn)C，BDl于點(diǎn)D，且AC=CD=DB=1.求：ABCDl（ABCDl（2）AB與CD所成角的大小；（3）AB與CD的距離.解：設(shè)則（1），A、B兩點(diǎn)間的距離為2.（2），AB與CD所成角為600為.（3）設(shè)與AB、CD都垂直的非零向量為，由得①；由得②，令x=1，則由①、②可得z=-1，，由法則四可知，AB與CD的距離為.【說明】對(duì)于圖形是“斜”的，求夾角與距離的問題，雖然不便于建立空間直角坐標(biāo)系，同樣也可以利用平面的法向量轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算問題.【例5書】如圖，已知二面角α—PQ—β為60°，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在平面α和平面β內(nèi)，點(diǎn)C在棱PQ上，∠