10.2LxOyxaLPx,ydxx證明：設(shè)L ,

y

Px,ydx

y2Pa,y0dy

y20dy y LxOy面內(nèi)x軸上從點a,0到點b,0的一段直線。證明bLPx,ydxaPx,bx Ly0ab則LPxydxaPxLx2y2dx其中L為拋物線yx2上從點00到點24的一段弧Lx2y2dx2x2x4dx56

xydxL為圓周xa2y2a2a0x的整個邊界（按逆時針方向繞行x2acos2;解：圓周的參數(shù)方程為y2acossin

x0dx24a2cos3sind2acos2216a3cos4sin2d L

ydxxdyLxRcostyRsint上對應(yīng)t從020L解 ydxxdy2RsintdRcostRcostdRsint0LxydxxydyLx2y2a2（按逆時針方向繞行 x2xydxxy x22acosasindacosacosasindasin2 （5）

x2dxzdyydz其中xk,yacoszasin上對應(yīng)從0到2

2

k3 xdxzdyydz0k

dkasindacosacosdasin

a3(6)xdxydyxy1dz其中為從點1,1,1到點2,34x1:y12t;t:0z1xdxydyxy1101td1t12td12t1t12t1d13t1（7

dxdyydz,其中為有向閉折ABCA，此ABC依次為1,0,0,0,1,0,0,ABAB:y ,t:01;BC:y1t;,t:01;CA:yx1xx z

z

z1

,t:0 dxdyydz0d1tdttd10d0d1t1t 1dtd00d1t1 Lx22xydxy22xydy其中L為拋物線yx2上從點1,1到點1,1的一LLx22xydxy22xydy1x22x3dxx42x3dx2L1x22x32x54x4dx14 FdrFxyxyLxy1 LFdr

acosbsindacosacosbsindbsinL(10)Fdr其中Fxey,yL為如圖10.8由點00到點1,1的四條不同的路徑L11

Fdr1xe0dx1ydy Fdr1xex2dxx2dx21xex22x3dxe Fdr1xexdxxdx3 Fdr1ydy1xedxe1. LcosydxcosxdyL10.9 xyzdz其中yzx2y2z21zcossin2cossin2xyzdz022y22z2

;,:02

sin2 2

2y2z2dx2yzdyx2dz其中xtyt2zt3上由t0到t 解y2z2dx2yzdyx2dz1t4t6dt2t5dt2t2dt31 計算Lxydxyxdy,其中L為由點00到點1,1的下列四條不同路徑直線 y1 解：xydxyxdyxdx0dx 2拋物線 yx2;2xydxyxdyxdxxxdx11 3拋物線 xy2;3xydxyxdyydyyydy171 4立方拋物線 y4xydxyxdyxdxxxdx11 L計算xy2dx2xydyLL（1）連接O00A1,1解xy2dx2xydy1xx2dx2x2dx5 （2）連接O00B0,1A1,1解xy2dx2xydy10dy1x12dx1 L計算y22xydx2xyx2dy,其中L分別為下列兩種情形L（1）連接O00,A1,1的直線段L0解y22xydx2xyx2dy1x22x2dx2x2x2dxL0（2）連接O00,B0,1,A1,1的折線段解：y22xydx2xyx2dy10dy1122xdxLdxdydxdyxy

ABCDAA10B0,1,C10D01為頂點的AB:x1t;,t:01;BC:x

,t:01;CD:x1t;,t:0y

y1

y y1DAy1

,t:0 dxdy1d1tdt1dtd1t

x

1t

t11d1tdt1dtd1t 1t x2dy

t1 計算

,其中L為星形線xax5/3y5/

t,ya

t在第一象限中自點Aa,0B0a的一段x2dy

a2cos6tdasin3ta2sin6tdacos3t

4

5/ 5/

5/ 5/ L

t

sin L計算y2z2dx2yzdyx2dz,其中L為依參數(shù)t增加方向進行的曲線：Lxt,yt2,zt30t解y2z2dx2yzdyx2dz1t4t6dt2t5dt2t2dt31 計算Lydxxydyxzdz其中，L分別為下列兩種情形（自O(shè)0002的直線段（2）由O000B100,C1,10直到A1,1,1的折線段

y2dxxydyxzdz1t2dtt2dtt2dt x

x

x(2)OB:y0;,t:01;BC:yt;,t:01;CA:y1;,t:0z

z

z y2dxxydyxzdz10dt1tdt1tdt L 計算y2z2dxz2x2dyx2y2dzLx2y2z21在第A100B0,10再至C00,1的一段。L xcos

x ABysin02BCycos;,02z z y2z2dxz2x2dyx2y2dz2sin2dcoscos2dsin 032sin2dcoscos2dsin032F2

2y 1FyWLFdrLkx,kydx,0kacosdacoskbsindbsin計算LFdrFyzzxxyLx2y2z2yxtan

02xxacoscosLyasincoszaLF0asincosasindacoscosasinacoscosdasincosacoscosasincosdasin2a2cossinPx,y,Qx,y在光滑曲線L上連續(xù)。試證下面的估計式其中l(wèi)LML

P2Q2LPdxQdyLP,QdxdyLMds計算Lxydxyxdy其中L分別拋物線y2x上從點1,1到點42的一段弧解xydxyxdy2y2ydy2yy2dy34 從點1,1到點42的直線段；y1L:x13t;,y11Lxydxyxdy024td13t2td1t1先沿直線從點1,1到點12，然后再沿直線到點42的折線L:xy1

,t:01.x13t;,t:0y Lxydxyxdy0tdt033td13t x2t2t1yt21上從點1,1到點42解：xydxyxdy13t2t2d2t2t1t2tdt2132 一力場由沿橫軸正方向的恒力F所構(gòu)成。試求當(dāng)一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿圓周x2y2R2L0解：WF0dxdy2FdRcosL0zm的質(zhì)點從位置x1y1z1沿直線移到x2y2z2Lyy1ty2y1F00mgzztzz W Fdr mgd1

tzzmgzz

把對坐標(biāo)的曲線積分LPxydxQxydyLxOy面內(nèi)沿直線從點00到點1,1解PxydxQxydy2PxyQxy L沿拋物線yx2從點00到點1,11解：Px,ydxQx,ydy Px,