第五章復(fù)數(shù)5.2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法教學(xué)目標教學(xué)目標1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運算，能夠運用法則求兩個復(fù)數(shù)的積與商．2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律．教學(xué)重難點教學(xué)重難點教學(xué)重點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除運算法則及其運算律．教學(xué)難點：復(fù)數(shù)除法的運算法則．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入情境：我們知道，兩個一次式相乘，有ax+b設(shè)計意圖：類比多項式的乘法運算，以及復(fù)數(shù)的加減法運算與多項式加法運算的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考復(fù)數(shù)乘除法運算法則．二、新知探究問題1：類比多項式的乘法，我們該如何定義兩復(fù)數(shù)的乘法呢？答案：我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的乘法法則為：設(shè)z1=a+b追問1：兩個復(fù)數(shù)的積是個什么數(shù)？它的的值唯一確定嗎？答案：通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，兩個復(fù)數(shù)的積仍是復(fù)數(shù)，它的值唯一確定．追問2：當(dāng)z1z2答案：根據(jù)法則，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=d=0時，追問3：復(fù)數(shù)的乘法類似于實數(shù)的哪種運算方法？答案：兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得結(jié)果中把i2換成-1，并且把實部與虛部分別合并即可結(jié)論：兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)，且唯一確定，運算中與實數(shù)的乘法法則保持一致，類似于兩個多項式相乘．設(shè)計意圖：與實數(shù)多項式的乘法進行類比，有利于學(xué)生理解復(fù)數(shù)的乘法法則．同時培養(yǎng)學(xué)生類比的核心素養(yǎng)．問題2：類比實數(shù)的運算律，你認為復(fù)數(shù)乘法滿足哪些運算律？請證明你的猜想．答案：猜想：對于任意對于任意z1，z2，交換律：z1結(jié)合律：z1分配律：z1證明：設(shè)z1＝a1+(1)∵z=z=又a1a2∴z1(2)z===a同理可得：z1∴z1(3)===z===∴z1設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)復(fù)數(shù)的加法滿足實數(shù)加法的運算律，大膽嘗試推導(dǎo)復(fù)數(shù)乘法的運算律．培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和勇于探索的精深．想一想：計算：(1)-2-i3+i；(2)1-2i分析：本例可以用復(fù)數(shù)的乘法法則計算，也可以用乘法公式計算．解：(1)-2-i(2)1-2i3+4i總結(jié)：按照復(fù)數(shù)的乘法法則，三個或三個以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運算或利用結(jié)合律運算，混合運算和實數(shù)的運算順序一致，在計算時，若符合乘法公式，則可直接運用公式計算．問題3：如何定義復(fù)數(shù)的乘方運算呢？答案：對于復(fù)數(shù)z，定義它的乘方zn=z?z?…?z．根據(jù)乘法的運算律，實數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，即對復(fù)數(shù)z，z1，z2和正整數(shù)m追問：i0=1，i1=i，i2=答案：i4n=1，i4n+1=i思考：計算下列各式，你發(fā)現(xiàn)其中有什么規(guī)律嗎？請將你概括出的規(guī)律與同學(xué)交流，并證明.(1)3+2i3-2i；(2)2+i2-i；(3)-22答案：(1)3+2i3-2i(2)2+i2-i(3)-2(4)3規(guī)律：互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)的乘積是實數(shù)，等于這個復(fù)數(shù)（或其共軛復(fù)數(shù)）模的平方．即若z=a+問題4：我們利用復(fù)數(shù)的減法是復(fù)數(shù)加法的逆運算，由復(fù)數(shù)的加法法則，推導(dǎo)出了復(fù)數(shù)的減法法則．同樣，復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算，嘗試利用復(fù)數(shù)的乘法法則，去推導(dǎo)復(fù)數(shù)的除法法則．答案：我們通過引入倒數(shù)來定義復(fù)數(shù)的除法．給定復(fù)數(shù)z2，若存在復(fù)數(shù)z，使得z2?z=1，則稱z是設(shè)z2=c+d所以cx-dy=1，cy+dx=0，解得x=cc2+對任意的復(fù)數(shù)z1=a+bia，b∈R和非零復(fù)數(shù)z1說明：在實際計算a+bic+di時，通常把分子和分母同乘分母c+da+bi由此可見，在進行復(fù)數(shù)除法運算是，實際上是將分母“實數(shù)化”．設(shè)計意圖：通過引入復(fù)數(shù)的倒數(shù)，將復(fù)數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成乘法，再類比實數(shù)中的分母有理化，對分母進行實數(shù)化，通過該化簡的過程，幫助學(xué)生理解復(fù)數(shù)的除法法則．滲透類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，體會數(shù)學(xué)知識的緊密聯(lián)系．三、應(yīng)用舉例例1計算：-2-3i-1+3i解：原式==2=11=11=(例2計算：11+i4解：11+22-例3求一元二次方程ax2+bx+c=0a，b，c，d∈解：使用配方法容易得到：x+b1若b2-4ac≥0，則因此x1x12若b2-4ac<0，則因此x1x1綜上所述，一元二次方程x2+bx+c=0a≠0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根x1，x例4證明：對任意的兩個復(fù)數(shù)z1，z2，若z1·解：設(shè)z1≠0，則z1≠0將z1·z2=0的左右兩邊同時乘z1，因為z12≠0例5計算：1-12i；2解：1-121+2i31+i設(shè)計意圖：在熟練應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘法除法運算法則之余，進行提升練習(xí)。讓學(xué)生先獨立思考，提高學(xué)生的建構(gòu)能力及主動發(fā)現(xiàn)問題，探究問題的能力．分層教學(xué)，讓不同能力水平的學(xué)生學(xué)有所得．四、課堂練習(xí)1．設(shè)z=i(2+i)，則zA．1+2iBC．1-2iD2．若z(1+i)=2i，則A．-1-i C．1-i D3．設(shè)復(fù)數(shù)z=1+ii，則參考答案：1.解：∵z=i(2+i)故選D．2.解：z=2i1+i=2i3.解：∵z=1+ii=五、課堂小結(jié)（1）復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則：兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得結(jié)果中把i2換成-1，并且把實部與虛部分別合并即可（2）復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則：在進行復(fù)