第五章無限期界與代際交疊模型第一節(jié)拉姆齊問題第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析第三節(jié)代際交疊中的兩期壽命第四節(jié)戴蒙德模型的動態(tài)分析第五章無限期界與代際交疊模型第一節(jié)拉姆齊問題第二引言索洛模型將儲蓄看成是一種外生變量，并且模型對技術(shù)進步不予解釋。拉姆齊-卡斯-庫普曼模型（Ramsey－Cass－Koopmans）與索洛模型的最大區(qū)別在于將經(jīng)濟總量的動態(tài)分析建立在微觀層次上。在模型中，資本存量的變動是從競爭性市場中的家庭效用最大化和廠商利潤最大化之間的相互作用中推導(dǎo)出來，這樣，儲蓄就不是外生的了。附錄－拉姆齊模型概述引言索洛模型將儲蓄看成是一種外生變量，并且模型對技術(shù)進步不第一節(jié)拉姆齊問題模型假設(shè)條件

拉姆齊提出的問題是一個國家應(yīng)當儲蓄多少，并用模型去求解，此模型就是現(xiàn)在研究資源的跨期最優(yōu)配置的原型。模型假設(shè)條件如下：

(1)存在著大量相同的廠商，每個廠商的生產(chǎn)函數(shù)為Y=F(K,AL)。廠商在競爭件要素市場上雇傭工人、租借資本，并在競爭性產(chǎn)出市場出售產(chǎn)品。與索洛模型相同，廠商將A取做給定的，A以g速率外生地增長。廠商以利潤最大化為目標。由于企業(yè)由家庭所有，因此企業(yè)利潤歸于家庭。

(2)同樣存在著大量相同的家庭。家庭的規(guī)模以n速率增長。家庭的每個成員在每個時點供給一單位的勞動。家庭將其擁有的資本租借給廠商。家庭擁有數(shù)量為K(0)／H的初始資本[其中K(0)是經(jīng)濟中的資本初始量，H為家庭數(shù)量]。假設(shè)沒有折舊。在每個時點上，家庭將其收入在消費與儲蓄之間進行分配，以服從其終生效用最大化的目標。第一節(jié)拉姆齊問題模型假設(shè)條件拉姆齊提出的問題是

上式中，C(t)是在t時刻家庭每個成員的消費。U(·)是瞬時效用函數(shù)。L(t)是經(jīng)濟的總?cè)丝?，L(t)／H是每個家庭的成員人員。是t時刻家庭的總瞬時效用。ρ是貼現(xiàn)率，ρ越大，則家庭對未來消費的估價就越小。第一節(jié)拉姆齊問題家庭效用函數(shù)設(shè)家庭具有以下效用函數(shù)：上式中，C(t)是在t時刻家庭每個成員的消費。U(·第一節(jié)拉姆齊問題家庭效用函數(shù)（續(xù)）瞬時效用函數(shù)可以采取如下的形式：

這個函數(shù)形式表現(xiàn)了使經(jīng)濟收斂于平衡的增長路徑。它就是著名的相對風險厭惡不的效用函數(shù)，這是因為該函數(shù)的相對風險厭惡系數(shù)(它被定義為)是θ，它獨立于C。第一節(jié)拉姆齊問題家庭效用函數(shù)（續(xù)）瞬時效用函數(shù)可以采取如第一節(jié)拉姆齊問題家庭效用函數(shù)（續(xù)）

由于在這個模型中不存在不確定性，因此與家庭的風險態(tài)度并不直接相關(guān)，其實θ也決定了家庭將消費在不同時期的轉(zhuǎn)移意愿：θ越小，隨著消費的上升，邊際效用的下降速度越慢，導(dǎo)致家庭越愿意允許其消費隨時間變動而變動。如果θ接近于零，這樣，效用對于C來說幾乎是線性的，這樣家庭就更愿意接受大的消費變動，這樣就可以充分利用貼現(xiàn)率與從儲蓄中獲得的報酬率之間的差額。第一節(jié)拉姆齊問題家庭效用函數(shù)（續(xù)）由于在這個模型第一節(jié)拉姆齊問題廠商行為

廠商行為相對簡單。在每個時點上，他們租用勞動與資本進行生產(chǎn)，并按這些要素各自的邊際產(chǎn)品支付報酬，并出售所生產(chǎn)的產(chǎn)出。由于生產(chǎn)函數(shù)具有不變的規(guī)模報酬，經(jīng)濟是競爭性的，廠商因此獲得正常利潤。我們知道，資本的邊際產(chǎn)品為。由于市場是競爭性的，資本只能獲得其邊際產(chǎn)品。由于不存在折舊，資本的真實報酬率等于其每單位時間的收入，因此，在t時刻，真實利率為：第一節(jié)拉姆齊問題廠商行為廠商行為相對簡單。在每個第一節(jié)拉姆齊問題廠商行為（續(xù)）

勞動的邊際產(chǎn)品為，它也等于。根據(jù)上述生產(chǎn)函數(shù)的緊湊形式，它可寫成。因此在c時刻，真實工資是：這樣，每單位有效勞動的工資是：第一節(jié)拉姆齊問題廠商行為（續(xù)）勞動的邊際產(chǎn)品為第一節(jié)拉姆齊問題家庭行為－預(yù)算約束

假設(shè)家庭對于r和w的路徑給定，家庭的預(yù)算約束是其終生消費的貼現(xiàn)值不能超過其初始的財富與其終生勞動收入的現(xiàn)值之和。設(shè)每個家庭有L(t)／H個成員，在t時刻其勞動總收人為W(t)L(t)／H，其消費支出為C(t)L(t)／H。在初姑時刻，家庭的初始財富是經(jīng)濟總初始財富的1／H，或等于K(0)／H。因此，家庭預(yù)算為：第一節(jié)拉姆齊問題家庭行為－預(yù)算約束假設(shè)家庭對于r第一節(jié)拉姆齊問題

在許多情況下，對式(5-6)進行求解是困難的。因此，我們可以用家庭的資本持有量的極限行為來表示其預(yù)算約束。為此，我們對式(5-6)整理如下：

我們可以寫出從t＝0到t=∞的積分形式作為一種極限。這樣，式(5-7)就等價于：家庭行為－預(yù)算約束（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題在許多情況下，對式(5-6)進行第一節(jié)拉姆齊問題在s時刻，家庭資本持有量為：

上式中， 表示在s時刻家庭初始財富對其總財富的貢獻。在t時刻，家庭的儲蓄是 (可以是負值)；則表明從t時刻到s時刻該儲蓄值的變動狀況。式(5-9)表達式是與式(5-8)的大括號中的表達式的乘積，預(yù)算約束寫成下式：家庭行為－預(yù)算約束（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題在s時刻，家庭資本持有量為：上式中第一節(jié)拉姆齊問題

式(5－10)就是著名的非蓬齊博弈條件(No-Ponzi-game)。蓬齊博弈是指這樣一種計劃：一些人發(fā)行債券并永久性地滾動這些債務(wù)。也就是說，當發(fā)行人通過新債券獲得借款時，他總能夠用所獲得的借款去支付舊債務(wù)。這樣，這種計劃就允許發(fā)行人擁有的終生消費現(xiàn)值超過其終生資源現(xiàn)值。從式(5-6)或式(5-10)中可以看出，這里的預(yù)算是排除這樣一種計劃的。家庭行為－預(yù)算約束（續(xù)）附錄－非蓬齊條件第一節(jié)拉姆齊問題式(5－10)就是著名的非蓬齊博第一節(jié)拉姆齊問題

理性家庭總是想在上述預(yù)算約束條件下將其終生效用最大化。定義c(t)為每單位有效勞動的消費，因此每個勞動力的消費C(t)等于A(t)c(t)。這樣，家庭的瞬時效用等于：

把式(5-11)以及在前面已提到的 代入目標函數(shù)式(5-1)和式(5-2)，得到：家庭行為－目標函數(shù)第一節(jié)拉姆齊問題理性家庭總是想在上述預(yù)算約束條件第一節(jié)拉姆齊問題

再來討論式(5-6)的預(yù)算約束。在t時刻，家庭總消費C(t)L(t)／H等于每單位有效勞動的消費乘以家庭的有效勞動數(shù)量A(t)L(t)／H。同理，在t時刻家庭的總勞動收入等于每單位有效勞動的工資w(t)乘以A(t)L(t)／H，其初始資本持有量等于0時刻每單位有效勞動的資本量k(0)乘以A(t)L(t)／H。因此，可以把式(5-6)家庭預(yù)算約束改寫成下式：

由于A(t)L(t)等于 ，將這一結(jié)果代入上式，同時兩邊除以 ，可以得到下式：家庭行為－目標函數(shù)（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題再來討論式(5-6)的預(yù)算約束。第一節(jié)拉姆齊問題

最后，由于K(s)與k(s)e(n+g)s成比例，就可以把式(5-10)預(yù)算約束的非蓬齊博弈條件表達式改寫成：

研究家庭的基本問題就是在式(5-14)的預(yù)算約束條件下，如何選擇c(t)的路徑去實現(xiàn)如式(5-12)所表示的終生效用最大化。由于消費的邊際效用總是為正，家庭將以等式滿足其預(yù)算約束?？梢岳媚繕撕瘮?shù)式(5-12)和預(yù)算約束式(5-14)來構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：家庭行為－目標函數(shù)（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題最后，由于K(s)與k(s)e(第一節(jié)拉姆齊問題家庭行為－效用最大化

在每個時點家庭選擇c，這樣就會形成無限多個c(t)。對每一單個c(t)，其一階條件是對于任意的t：

家庭行為的特征實際上就是由式(5-17)和預(yù)算約束式(5-14)來刻畫的。第一節(jié)拉姆齊問題家庭行為－效用最大化在每個時點家第一節(jié)拉姆齊問題

為了理解式(5-17)對消費行為的含義，可以對這一公式展開進一步的分析。首先給公式兩邊取對數(shù)：

式(5-18)中利用了 的定義。注意到，對于每個t，式(5-18)兩邊相等，因此給兩邊求關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)后也相等。這個條件就是：

這里利用了一個變量的對數(shù)關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)等于其增長率的概念。由式(5-19)可以求解出 ，從而得到：

式(5-20)利用了 的定義。家庭行為－效用最大化（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題為了理解式(5-17)對消費行為第一節(jié)拉姆齊問題

由于C(t)(指每個工人的消費，而不是每單位有效勞動的消費)等于c(t)A(t)，因此C的增長率等于c的增長率加上A的增長率。從式(5-20)中可以看出，式中隱含著每個工人的消費以[r(t)-ρ]／θ的速率增長。因此，式(5-20)表明：如果實際報酬超過了家庭用于貼現(xiàn)未來消費的速率，每個工人的消費將上升。如果相反的情況出現(xiàn)，則每個工人的消費將下降。θ越小，隨著消費的變化，其邊際效用的變化就越少，從而為對實際利率與貼現(xiàn)率之間的差異作出反應(yīng)，消費變動就越大。家庭行為－效用最大化（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題由于C(t)(指每個工人的消費，第一節(jié)拉姆齊問題

方程(5-20)是求解這類最大化問題的著名的歐拉方程(Eulerequation)，也就是連續(xù)時間的隨機形式(continuous-stochasticversion)。這一方程描述了在任何最優(yōu)路徑上都必須被滿足的必要條件，因此這一條件也叫作凱思斯一拉姆齊規(guī)則(KeynesRamseyruleorcondition)。直覺上，歐拉方程描述了結(jié)定c(0)時，c必須隨時間變化而變化。如果c不按照式(5-20)演化，那么家庭就會在不改變終生費用現(xiàn)值的條件下，用提高終生效用的方式重新安排其消費。這樣，c(0)的選擇就由如下條件決定：在所形成的路徑上，終生消費的現(xiàn)值等于初始財富與未來收入的現(xiàn)值之和。當c(0)被選擇得太低，沿滿足式(5-20)路徑上的消費支出并不會用盡其終生財富，因此，較高的路徑是可能的。當c(0)確定得太高，消費支出大于其可用盡的終生財富，這種路徑反而成為不可行。家庭行為－效用最大化（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題方程(5-20)是求解這類最大化第一節(jié)拉姆齊問題家庭行為－效用最大化（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題家庭行為－效用最大化（續(xù)）21可編輯21可編輯第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析C的動態(tài)變化

假定全部家庭相同，因此式(5-20)中所描述的c的演化不僅適合單個家庭，也適合擴整個經(jīng)濟。由于 ，可以把式(5—20)改寫成：第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析C的動態(tài)變化假定全部家第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析圖5-1c的動態(tài)變化C的動態(tài)變化（圖示）第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析圖5-1c的動態(tài)變化C的第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析k的動態(tài)變化

與索洛模型一樣，等于實際投資減去持平投資。由于假設(shè)不存在折舊，持平投資就是(n十g)k。實際投資是產(chǎn)出減去消費，即f(k)-c。因此就有：

對于既定的k，的c的水平是由f(k)-(n十g)k給出的。當消費等于實際產(chǎn)出與持平投資線的差額時，等于零。c這個值關(guān)于k是遞增的，一直可以增至 (即A的黃金律水平)，接著c關(guān)于k則會下降。當c超過或獲得的水平時，k開始下降；當c小于該水平時，k則上升。對于充分大的k，持平投資超過總產(chǎn)出，在此條件下，對于一切c的正值，是負的。這些信息歸納在圖5-2中，箭頭表明了k的運動方向。第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析k的動態(tài)變化與索洛模型第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析圖5-2k的動態(tài)變化k的動態(tài)變化（圖示）第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析圖5-2k的動態(tài)變化k的

可以把圖5-1和圖5-2的信息結(jié)合在圖5-3中，箭頭表明了c與k的運動方向。在軌跡的左邊與軌跡的上方，為正，為負。因為如果c在上升，k則下降，因而箭頭指向上方與左邊。圖的其他部分的箭頭依據(jù)同樣的推理推出。在與曲線上c與k中只有其中一個正在變化。例如，在處在的軌跡上，同時又處在軌跡上方c不變，而k下降，這樣，箭頭就指向左方。最后，在E點處與等于零，在這里不存在由這點開始的變動。第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析圖5-3c和k同時運行的動態(tài)變化C和k的動態(tài)變化可以把圖5-1和圖5-2的信息結(jié)合在圖5-3中，箭頭第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析

考慮到索洛模型，自然要提出的重要的問題是，這種經(jīng)濟的均衡是否代表著一個可期望的結(jié)果。微觀經(jīng)濟學和第一福利定理告訴我們，如果市場是完全競爭的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡是帕累托最優(yōu)的，也就是說，在不使其他人不惡化的條件下，使任何人得到改善是不可能的。由于第一福利定理在上述模型中成立，均衡就可視為是帕累托有效的。并且，由于所有家庭擁有相同的效用，意味著分散化均衡在對所有家庭采用相同方式的配置中會產(chǎn)生最高的可能效用。均衡的實現(xiàn)第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析考慮到索洛模型，自然要第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析

為了更清楚地理解這點，假設(shè)存在下面這種情況：一個社會計劃者可對每個時點的產(chǎn)出在消費和投資之間進行分配，并且其目標也想使代表性家庭的終生效用最大化。除了不把w與r的路徑取為固定外，計劃者考慮的問題都由k的路徑?jīng)Q定，反過來后者則由式(5-22)決定。這個問題等同于單個家庭所面臨的問題。式(5-20)和式(5-21)的連續(xù)時刻消費同樣適用于社會計劃者。在t時減少數(shù)量為Δc的c，并把該收入進行投資，這便可允許計劃者在t+Δt時刻將c增加 。因此，沿著由計劃者選擇的路徑，c(k)必須滿足式(5-21)。最后，像家庭的最優(yōu)化問題一樣，那些要求資本存量為負的路徑必定會以它們不可行的理由被排除，并且那些引致消費傾向于零的路徑也會以它們無法使家庭效用最大化而被排除在外。均衡的實現(xiàn)（續(xù)）第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析為了更清楚地理解這點，第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析資本積累的黃金律水平

索洛模型與拉姆齊-卡斯-庫普曼模型的平衡增長路徑之間的唯一顯著的差異是，擁有資本存量大于黃金律資本水平的平衡路徑在拉姆齊模型中是不可能的。我們知道，資本積累的黃金律可由以下條件描述：

這是可最大化穩(wěn)定狀態(tài)每單位資本消費量的條件。它首先由費爾普斯(Phelps，1961）引入。黃金律的主要福利含義是，它是界定資本／勞動比率的一個值，超過該值，則資本積累并不是帕累托最優(yōu)的值。這樣，從通過減少資本存量從而最大化穩(wěn)定狀態(tài)消費的角度考察，每個人都可獲得福利改善。這是由于資本存量已變得如此之大，以致其邊際生產(chǎn)力小于那個為日益增長的人口提供現(xiàn)存資本／勞動比率所必需的產(chǎn)出量的邊際生產(chǎn)力。這樣一個經(jīng)濟具有過度積累的資本，并且被認為是動態(tài)無效率的。第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析資本積累的黃金律水平索鞍點路徑第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析鞍點路徑第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析修正的黃金律資本存量

這個關(guān)系表明，長期資本／勞動比率，由此而形成的資本邊際物質(zhì)產(chǎn)品與真實利率，由時間偏好率與人門增長率之和決定。很顯然，這時的k收斂于一個低于黃金律水平的資本量。

引入修正的黃金律資本存量概念。修正的黃金律被定義為：第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析修正的黃金律資本存量這拉姆齊模型概述

在如今的多數(shù)的前沿宏觀經(jīng)濟分析的專著之中，都會出現(xiàn)拉姆齊的名字和拉姆齊模型這一術(shù)語。拉姆齊模型已成為現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟分析最有力的工具之一。弗蘭克·拉姆齊是英國劍橋大學的數(shù)學家和邏輯學家，1928年12月，他在《經(jīng)濟學雜志》上發(fā)表了《儲蓄的數(shù)學原理》一文，建立了拉姆齊模型。該模型在確定性的條件下，分析最優(yōu)經(jīng)濟增長，推導(dǎo)滿足最優(yōu)路徑的跨時條件，闡述了動態(tài)非貨幣均衡模型中的消費和資本積累原理。拉姆齊模型在其出現(xiàn)后的相當一段長的時間內(nèi)，由于其研究的思路和方法與當時的主流經(jīng)濟學不一致，而沒有得到應(yīng)有的重視。在二十世紀七十年代，當宏觀經(jīng)濟分析出現(xiàn)“理性預(yù)期革命”之后，拉姆齊模型似乎又被重新發(fā)現(xiàn)。附錄拉姆齊模型概述在如今的多數(shù)的前沿宏觀經(jīng)濟分析的專著之中，都拉姆齊模型概述

弗蘭克·拉姆齊提出的問提是一個國家應(yīng)該儲蓄多少，并用模型去求解，用模型去解出資源的跨時最優(yōu)配置，最優(yōu)消費和投資決策。中央計劃人員可以做出選擇，參照模型的結(jié)論使具有典型性的個人效用實現(xiàn)最大化?？梢宰C明這種中央計劃分配等價于競爭性經(jīng)濟（在競爭性經(jīng)濟中，個人根據(jù)相關(guān)聯(lián)的當前與預(yù)期的市場出清的工資和利率，作出最優(yōu)的消費和投資決策）。拉姆齊是要去解決一個宏觀經(jīng)濟問題－在一個動態(tài)的時間序列內(nèi)，應(yīng)該選擇怎樣的消費和資本積累路徑。然而，這個宏觀問題的求解卻是從微觀的角度出發(fā)，通過效用函數(shù)和生產(chǎn)函數(shù)的約束，在滿足最優(yōu)化的條件下,從微觀角度求解出宏觀的最優(yōu)消費和資本積累路徑。附錄拉姆齊模型概述弗蘭克·拉姆齊提出的問提是一個國家應(yīng)該儲蓄多拉姆齊模型概述

拉姆齊模型體現(xiàn)了宏觀和微觀的緊密結(jié)合，以及從靜態(tài)到動態(tài)的演變。因而，對后來重新發(fā)現(xiàn)它的經(jīng)濟學家們產(chǎn)生了雖然是遲的但卻是深遠的影響?？v觀拉姆齊以前和拉姆齊之后幾十年的經(jīng)濟思想，微觀經(jīng)濟分析和宏觀經(jīng)濟分析似乎各自獨立的向前發(fā)展著。微觀經(jīng)濟分析忽視了宏觀方面，而宏觀經(jīng)濟分析則超脫了微觀基礎(chǔ)。然而，整個經(jīng)濟就如一個有機生命體一樣，也許我們從外觀上根本就看不到有機體內(nèi)部的細胞的活動,但這個有機體的一切外部表現(xiàn)無不受到其內(nèi)部細胞的特性和活動規(guī)律的制約。宏觀經(jīng)濟學的研究正如宏觀物理學的研究不能脫離微觀粒子世界的運動規(guī)律去討論宇宙的發(fā)展、黑洞的演變一樣，宏觀經(jīng)濟學也不能脫離微觀經(jīng)濟主體的特性去討論投資，利率，資本積累等宏觀經(jīng)濟現(xiàn)象和宏觀經(jīng)濟運動。附錄拉姆齊模型概述拉姆齊模型體現(xiàn)了宏觀和微觀的緊密結(jié)合，以及從拉姆齊模型概述

當前世界經(jīng)濟的復(fù)雜聯(lián)系，市場經(jīng)濟的日益發(fā)達，使得我們不能脫離微觀經(jīng)濟基礎(chǔ)去研究宏觀經(jīng)濟。經(jīng)濟首先是人的活動，任何一個宏觀經(jīng)濟活動都是微觀經(jīng)濟主體集體活動的匯總。我們可以對微觀經(jīng)濟主體進行抽象和簡化去研究宏觀經(jīng)濟，但不能不談微觀基礎(chǔ)而超脫的去求解宏觀經(jīng)濟的答案。從西方經(jīng)濟思想史的角度來看，“邊際革命”開創(chuàng)了微觀經(jīng)濟學的基礎(chǔ)，“凱恩斯革命”則奠定了宏觀經(jīng)濟學的基礎(chǔ)。然而，兩者的發(fā)展卻是基本上各自較為獨立的在各自的領(lǐng)域內(nèi)完善。雖然“新古典綜合”在理論體系上實現(xiàn)了宏觀經(jīng)濟學和微觀經(jīng)濟學的結(jié)合，但這種結(jié)合是不完善的和不嚴謹?shù)?。正是由于該模型提供了現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟分析的思路，給后來的經(jīng)濟學家在理論和方法上都提供了寶貴的借鑒，擯棄了宏觀和微觀相互脫離的狀態(tài)，在微觀中分析宏觀，在宏觀中把握微觀，從而開創(chuàng)了在微觀基礎(chǔ)上分析宏觀問題的較早先例。附錄拉姆齊模型概述當前世界經(jīng)濟的復(fù)雜聯(lián)系，市場經(jīng)濟的日益發(fā)達，拉姆齊模型概述

在數(shù)學方法上，拉姆齊模型采用了當時前沿的數(shù)學分析方法-變分法，來處理連續(xù)時間路徑上的經(jīng)濟問題。在跨時效用函數(shù)的處理上，以積分的形式完成了對跨時效用函數(shù)的描述，從而較為精辟的概括了經(jīng)濟主體在連續(xù)時間路徑上對效用的評價。這一方法被以后的經(jīng)濟研究人員在處理連續(xù)時間上的效用函數(shù)的評價時所廣為采用，并在此基礎(chǔ)上加以發(fā)展。在對連續(xù)時間路徑上的效用函數(shù)的設(shè)定上，拉姆齊模型做了開創(chuàng)性的貢獻。拉姆齊模型的效用函數(shù)采用了加法可分的處理方法，從而對連續(xù)時間上的動態(tài)分析產(chǎn)生了很強的理論效果。但該模型沒有采用指數(shù)貼現(xiàn)的處理方法，因為拉姆齊認為當代人對未來的人的效用函數(shù)進行貼現(xiàn)是不道義的。但后來的經(jīng)濟學家還是廣泛的采用了指數(shù)貼現(xiàn)的處理方法，因為指數(shù)貼現(xiàn)和加法可分一樣都可以產(chǎn)生很強的理論效果。后來的經(jīng)濟學研究人員對這兩種假設(shè)加以拓寬，使得模型中的抽象經(jīng)濟更多地符合實際經(jīng)濟的狀況。附錄拉姆齊模型概述在數(shù)學方法上，拉姆齊模型采用了當時前沿的數(shù)學拉姆齊模型概述

在變分法被拉姆齊引入經(jīng)濟分析之后，后來的經(jīng)濟學家在分析動態(tài)最優(yōu)化問題時，廣泛的采用了變分法來分析動態(tài)最優(yōu)化問題。在拉姆齊模型當中，微觀經(jīng)濟主體的決策是跨時的，消費者選擇消費水平和儲蓄水平的行為不僅依賴于當前的經(jīng)濟狀況，而且還會依賴于消費者過去的消費儲蓄行為。而變分法在處理這一類問題時，首先將連續(xù)時間路徑上的問題化為離散時間上的問題，并采用非線性規(guī)劃的最優(yōu)方法，得出連續(xù)時間路徑上的最優(yōu)條件。目前，變分法更為廣泛地被最優(yōu)控制論所代替。最優(yōu)控制問題和變分問題是等價的，一般的能用最優(yōu)控制方法求解的問題都能用變分法來求解，但最優(yōu)控制方法顯得更為直觀。雖然，在現(xiàn)代的宏觀經(jīng)濟分析中，最優(yōu)控制方法逐漸地代替了變分方法的分析，但變分法在動態(tài)經(jīng)濟最優(yōu)問題分析中的基礎(chǔ)地位還是沒有動搖。附錄拉姆齊模型概述在變分法被拉姆齊引入經(jīng)濟分析之后，后來的經(jīng)濟拉姆齊模型概述

此外，拉姆齊為了更直觀的將經(jīng)濟最優(yōu)路徑的動態(tài)過程表現(xiàn)出來，采用了相位圖來進行圖形上的分析。相位圖就是用坐標圖形演示動態(tài)微分方程的解及其穩(wěn)定性，可以將復(fù)雜的經(jīng)濟動態(tài)過程直觀的在坐標圖形上演示出來。從而有助于人們加深對復(fù)雜經(jīng)濟變量之間關(guān)系的理解，更直觀的討論動態(tài)經(jīng)濟變量的穩(wěn)定性問題。拉姆齊綜合的運用上述方法于宏觀動態(tài)經(jīng)濟的最優(yōu)分析之中，為后來者提供了寶貴的經(jīng)驗借鑒，并被后來者廣泛的運用于宏微觀經(jīng)濟問題的分析之中，取得了很多有價值的研究成果。在許多宏觀經(jīng)濟學的高級教科書里，拉姆齊模型總是處于前兩章就要介紹的重要內(nèi)容。附錄返回－引言拉姆齊模型概述此外，拉姆齊為了更直觀的將經(jīng)濟最優(yōu)路徑的動態(tài)通常，非蓬齊對策條件限制那種債務(wù)相對于家庭的規(guī)模而言擴大得極端嚴重的情況，比如說：債務(wù)的增長速度超過指數(shù)函數(shù)的速度的情況。蓬齊對策的實質(zhì)其實就是主張以新債抵舊債，靠高額負債的方法而致富。例如，一個消費者如果每年需要￥10000元人民幣(c)用于消費，而且還計劃每年都以一個不變的速率20%(g)提高消費水平。假設(shè)允許消費者任意地借貸，利率為10％(r)的話，那么，他可以選擇第一年借入￥10000元人民幣用于消費；第二年借入￥23000元，將其中的￥12000元用于第二年的消費，其中的￥11000元用于還本付息；第三年他必須借入￥39700，將其中的￥14400元用于第三年的消費，其小的￥25300元用于還本付息……，第t年他需要借入元。附錄非蓬齊條件通常，非蓬齊對策條件限制那種債務(wù)相對于家庭的規(guī)模而言擴大得極連鎖信的游戲與這種借貸消費的增長方式，在本質(zhì)是一致的。波士頓的兒子查爾斯·蓬齊在本世紀的20年代發(fā)明了連鎖信這種游戲，并靠玩這個游殘發(fā)了財。但是，連鎖信的缺陷是顯而易見的，因為在有限的人群中這套戲法無法永遠繼續(xù)下去。因為當你在某一個吞光明媚的早上一覺醒來，真的以為前些時候所發(fā)出的20封信而一下子收到320萬美元的話，很難想像你會再將這個游戲繼續(xù)下去。玩家的數(shù)日是有限的，如果你真的有誠意，你就要做好這樣的思想堆備：在接到從天而降的飛來橫財后的某一天，你可能會一下子接到6400萬封信。例霉的還不只是它們都在諄諄教誨你為名單上的每一個人都寄上1美元，并隱晦地警告你說不這樣做的后果。更糟糕的是你為了繼續(xù)這個游戲，就不得不給12.8億個你認識的或者不認識的人寫同一封信。在高科技飛速發(fā)展的今天，復(fù)印機可能會幫上你這個忙，但是你的錢袋很有可能會幫不上你這個忙……從60年代以后，在跨時經(jīng)濟增長模型中開始出現(xiàn)以與上述對策相反的原則作為增長路徑收數(shù)、有穩(wěn)定解存在的條件，即非蓬齊對策條件，經(jīng)濟學家們試圖避免使具有投機色彩的家庭甚至是政府走入這條靠借貸來發(fā)展的歧途。非蓬齊條件（續(xù)）附錄返回－家庭行為（預(yù)算約束）連鎖信的游戲與這種借貸消費的增長方式，在本質(zhì)是一致的。波士頓41可編輯41可編輯第五章無限期界與代際交疊模型第一節(jié)拉姆齊問題第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析第三節(jié)代際交疊中的兩期壽命第四節(jié)戴蒙德模型的動態(tài)分析第五章無限期界與代際交疊模型第一節(jié)拉姆齊問題第二引言索洛模型將儲蓄看成是一種外生變量，并且模型對技術(shù)進步不予解釋。拉姆齊-卡斯-庫普曼模型（Ramsey－Cass－Koopmans）與索洛模型的最大區(qū)別在于將經(jīng)濟總量的動態(tài)分析建立在微觀層次上。在模型中，資本存量的變動是從競爭性市場中的家庭效用最大化和廠商利潤最大化之間的相互作用中推導(dǎo)出來，這樣，儲蓄就不是外生的了。附錄－拉姆齊模型概述引言索洛模型將儲蓄看成是一種外生變量，并且模型對技術(shù)進步不第一節(jié)拉姆齊問題模型假設(shè)條件

拉姆齊提出的問題是一個國家應(yīng)當儲蓄多少，并用模型去求解，此模型就是現(xiàn)在研究資源的跨期最優(yōu)配置的原型。模型假設(shè)條件如下：

(1)存在著大量相同的廠商，每個廠商的生產(chǎn)函數(shù)為Y=F(K,AL)。廠商在競爭件要素市場上雇傭工人、租借資本，并在競爭性產(chǎn)出市場出售產(chǎn)品。與索洛模型相同，廠商將A取做給定的，A以g速率外生地增長。廠商以利潤最大化為目標。由于企業(yè)由家庭所有，因此企業(yè)利潤歸于家庭。

(2)同樣存在著大量相同的家庭。家庭的規(guī)模以n速率增長。家庭的每個成員在每個時點供給一單位的勞動。家庭將其擁有的資本租借給廠商。家庭擁有數(shù)量為K(0)／H的初始資本[其中K(0)是經(jīng)濟中的資本初始量，H為家庭數(shù)量]。假設(shè)沒有折舊。在每個時點上，家庭將其收入在消費與儲蓄之間進行分配，以服從其終生效用最大化的目標。第一節(jié)拉姆齊問題模型假設(shè)條件拉姆齊提出的問題是

上式中，C(t)是在t時刻家庭每個成員的消費。U(·)是瞬時效用函數(shù)。L(t)是經(jīng)濟的總?cè)丝?，L(t)／H是每個家庭的成員人員。是t時刻家庭的總瞬時效用。ρ是貼現(xiàn)率，ρ越大，則家庭對未來消費的估價就越小。第一節(jié)拉姆齊問題家庭效用函數(shù)設(shè)家庭具有以下效用函數(shù)：上式中，C(t)是在t時刻家庭每個成員的消費。U(·第一節(jié)拉姆齊問題家庭效用函數(shù)（續(xù)）瞬時效用函數(shù)可以采取如下的形式：

這個函數(shù)形式表現(xiàn)了使經(jīng)濟收斂于平衡的增長路徑。它就是著名的相對風險厭惡不的效用函數(shù)，這是因為該函數(shù)的相對風險厭惡系數(shù)(它被定義為)是θ，它獨立于C。第一節(jié)拉姆齊問題家庭效用函數(shù)（續(xù)）瞬時效用函數(shù)可以采取如第一節(jié)拉姆齊問題家庭效用函數(shù)（續(xù)）

由于在這個模型中不存在不確定性，因此與家庭的風險態(tài)度并不直接相關(guān)，其實θ也決定了家庭將消費在不同時期的轉(zhuǎn)移意愿：θ越小，隨著消費的上升，邊際效用的下降速度越慢，導(dǎo)致家庭越愿意允許其消費隨時間變動而變動。如果θ接近于零，這樣，效用對于C來說幾乎是線性的，這樣家庭就更愿意接受大的消費變動，這樣就可以充分利用貼現(xiàn)率與從儲蓄中獲得的報酬率之間的差額。第一節(jié)拉姆齊問題家庭效用函數(shù)（續(xù)）由于在這個模型第一節(jié)拉姆齊問題廠商行為

廠商行為相對簡單。在每個時點上，他們租用勞動與資本進行生產(chǎn)，并按這些要素各自的邊際產(chǎn)品支付報酬，并出售所生產(chǎn)的產(chǎn)出。由于生產(chǎn)函數(shù)具有不變的規(guī)模報酬，經(jīng)濟是競爭性的，廠商因此獲得正常利潤。我們知道，資本的邊際產(chǎn)品為。由于市場是競爭性的，資本只能獲得其邊際產(chǎn)品。由于不存在折舊，資本的真實報酬率等于其每單位時間的收入，因此，在t時刻，真實利率為：第一節(jié)拉姆齊問題廠商行為廠商行為相對簡單。在每個第一節(jié)拉姆齊問題廠商行為（續(xù)）

勞動的邊際產(chǎn)品為，它也等于。根據(jù)上述生產(chǎn)函數(shù)的緊湊形式，它可寫成。因此在c時刻，真實工資是：這樣，每單位有效勞動的工資是：第一節(jié)拉姆齊問題廠商行為（續(xù)）勞動的邊際產(chǎn)品為第一節(jié)拉姆齊問題家庭行為－預(yù)算約束

假設(shè)家庭對于r和w的路徑給定，家庭的預(yù)算約束是其終生消費的貼現(xiàn)值不能超過其初始的財富與其終生勞動收入的現(xiàn)值之和。設(shè)每個家庭有L(t)／H個成員，在t時刻其勞動總收人為W(t)L(t)／H，其消費支出為C(t)L(t)／H。在初姑時刻，家庭的初始財富是經(jīng)濟總初始財富的1／H，或等于K(0)／H。因此，家庭預(yù)算為：第一節(jié)拉姆齊問題家庭行為－預(yù)算約束假設(shè)家庭對于r第一節(jié)拉姆齊問題

在許多情況下，對式(5-6)進行求解是困難的。因此，我們可以用家庭的資本持有量的極限行為來表示其預(yù)算約束。為此，我們對式(5-6)整理如下：

我們可以寫出從t＝0到t=∞的積分形式作為一種極限。這樣，式(5-7)就等價于：家庭行為－預(yù)算約束（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題在許多情況下，對式(5-6)進行第一節(jié)拉姆齊問題在s時刻，家庭資本持有量為：

上式中， 表示在s時刻家庭初始財富對其總財富的貢獻。在t時刻，家庭的儲蓄是 (可以是負值)；則表明從t時刻到s時刻該儲蓄值的變動狀況。式(5-9)表達式是與式(5-8)的大括號中的表達式的乘積，預(yù)算約束寫成下式：家庭行為－預(yù)算約束（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題在s時刻，家庭資本持有量為：上式中第一節(jié)拉姆齊問題

式(5－10)就是著名的非蓬齊博弈條件(No-Ponzi-game)。蓬齊博弈是指這樣一種計劃：一些人發(fā)行債券并永久性地滾動這些債務(wù)。也就是說，當發(fā)行人通過新債券獲得借款時，他總能夠用所獲得的借款去支付舊債務(wù)。這樣，這種計劃就允許發(fā)行人擁有的終生消費現(xiàn)值超過其終生資源現(xiàn)值。從式(5-6)或式(5-10)中可以看出，這里的預(yù)算是排除這樣一種計劃的。家庭行為－預(yù)算約束（續(xù)）附錄－非蓬齊條件第一節(jié)拉姆齊問題式(5－10)就是著名的非蓬齊博第一節(jié)拉姆齊問題

理性家庭總是想在上述預(yù)算約束條件下將其終生效用最大化。定義c(t)為每單位有效勞動的消費，因此每個勞動力的消費C(t)等于A(t)c(t)。這樣，家庭的瞬時效用等于：

把式(5-11)以及在前面已提到的 代入目標函數(shù)式(5-1)和式(5-2)，得到：家庭行為－目標函數(shù)第一節(jié)拉姆齊問題理性家庭總是想在上述預(yù)算約束條件第一節(jié)拉姆齊問題

再來討論式(5-6)的預(yù)算約束。在t時刻，家庭總消費C(t)L(t)／H等于每單位有效勞動的消費乘以家庭的有效勞動數(shù)量A(t)L(t)／H。同理，在t時刻家庭的總勞動收入等于每單位有效勞動的工資w(t)乘以A(t)L(t)／H，其初始資本持有量等于0時刻每單位有效勞動的資本量k(0)乘以A(t)L(t)／H。因此，可以把式(5-6)家庭預(yù)算約束改寫成下式：

由于A(t)L(t)等于 ，將這一結(jié)果代入上式，同時兩邊除以 ，可以得到下式：家庭行為－目標函數(shù)（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題再來討論式(5-6)的預(yù)算約束。第一節(jié)拉姆齊問題

最后，由于K(s)與k(s)e(n+g)s成比例，就可以把式(5-10)預(yù)算約束的非蓬齊博弈條件表達式改寫成：

研究家庭的基本問題就是在式(5-14)的預(yù)算約束條件下，如何選擇c(t)的路徑去實現(xiàn)如式(5-12)所表示的終生效用最大化。由于消費的邊際效用總是為正，家庭將以等式滿足其預(yù)算約束?？梢岳媚繕撕瘮?shù)式(5-12)和預(yù)算約束式(5-14)來構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：家庭行為－目標函數(shù)（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題最后，由于K(s)與k(s)e(第一節(jié)拉姆齊問題家庭行為－效用最大化

在每個時點家庭選擇c，這樣就會形成無限多個c(t)。對每一單個c(t)，其一階條件是對于任意的t：

家庭行為的特征實際上就是由式(5-17)和預(yù)算約束式(5-14)來刻畫的。第一節(jié)拉姆齊問題家庭行為－效用最大化在每個時點家第一節(jié)拉姆齊問題

為了理解式(5-17)對消費行為的含義，可以對這一公式展開進一步的分析。首先給公式兩邊取對數(shù)：

式(5-18)中利用了 的定義。注意到，對于每個t，式(5-18)兩邊相等，因此給兩邊求關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)后也相等。這個條件就是：

這里利用了一個變量的對數(shù)關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)等于其增長率的概念。由式(5-19)可以求解出 ，從而得到：

式(5-20)利用了 的定義。家庭行為－效用最大化（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題為了理解式(5-17)對消費行為第一節(jié)拉姆齊問題

由于C(t)(指每個工人的消費，而不是每單位有效勞動的消費)等于c(t)A(t)，因此C的增長率等于c的增長率加上A的增長率。從式(5-20)中可以看出，式中隱含著每個工人的消費以[r(t)-ρ]／θ的速率增長。因此，式(5-20)表明：如果實際報酬超過了家庭用于貼現(xiàn)未來消費的速率，每個工人的消費將上升。如果相反的情況出現(xiàn)，則每個工人的消費將下降。θ越小，隨著消費的變化，其邊際效用的變化就越少，從而為對實際利率與貼現(xiàn)率之間的差異作出反應(yīng)，消費變動就越大。家庭行為－效用最大化（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題由于C(t)(指每個工人的消費，第一節(jié)拉姆齊問題

方程(5-20)是求解這類最大化問題的著名的歐拉方程(Eulerequation)，也就是連續(xù)時間的隨機形式(continuous-stochasticversion)。這一方程描述了在任何最優(yōu)路徑上都必須被滿足的必要條件，因此這一條件也叫作凱思斯一拉姆齊規(guī)則(KeynesRamseyruleorcondition)。直覺上，歐拉方程描述了結(jié)定c(0)時，c必須隨時間變化而變化。如果c不按照式(5-20)演化，那么家庭就會在不改變終生費用現(xiàn)值的條件下，用提高終生效用的方式重新安排其消費。這樣，c(0)的選擇就由如下條件決定：在所形成的路徑上，終生消費的現(xiàn)值等于初始財富與未來收入的現(xiàn)值之和。當c(0)被選擇得太低，沿滿足式(5-20)路徑上的消費支出并不會用盡其終生財富，因此，較高的路徑是可能的。當c(0)確定得太高，消費支出大于其可用盡的終生財富，這種路徑反而成為不可行。家庭行為－效用最大化（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題方程(5-20)是求解這類最大化第一節(jié)拉姆齊問題家庭行為－效用最大化（續(xù)）第一節(jié)拉姆齊問題家庭行為－效用最大化（續(xù)）62可編輯21可編輯第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析C的動態(tài)變化

假定全部家庭相同，因此式(5-20)中所描述的c的演化不僅適合單個家庭，也適合擴整個經(jīng)濟。由于 ，可以把式(5—20)改寫成：第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析C的動態(tài)變化假定全部家第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析圖5-1c的動態(tài)變化C的動態(tài)變化（圖示）第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析圖5-1c的動態(tài)變化C的第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析k的動態(tài)變化

與索洛模型一樣，等于實際投資減去持平投資。由于假設(shè)不存在折舊，持平投資就是(n十g)k。實際投資是產(chǎn)出減去消費，即f(k)-c。因此就有：

對于既定的k，的c的水平是由f(k)-(n十g)k給出的。當消費等于實際產(chǎn)出與持平投資線的差額時，等于零。c這個值關(guān)于k是遞增的，一直可以增至 (即A的黃金律水平)，接著c關(guān)于k則會下降。當c超過或獲得的水平時，k開始下降；當c小于該水平時，k則上升。對于充分大的k，持平投資超過總產(chǎn)出，在此條件下，對于一切c的正值，是負的。這些信息歸納在圖5-2中，箭頭表明了k的運動方向。第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析k的動態(tài)變化與索洛模型第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析圖5-2k的動態(tài)變化k的動態(tài)變化（圖示）第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析圖5-2k的動態(tài)變化k的

可以把圖5-1和圖5-2的信息結(jié)合在圖5-3中，箭頭表明了c與k的運動方向。在軌跡的左邊與軌跡的上方，為正，為負。因為如果c在上升，k則下降，因而箭頭指向上方與左邊。圖的其他部分的箭頭依據(jù)同樣的推理推出。在與曲線上c與k中只有其中一個正在變化。例如，在處在的軌跡上，同時又處在軌跡上方c不變，而k下降，這樣，箭頭就指向左方。最后，在E點處與等于零，在這里不存在由這點開始的變動。第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析圖5-3c和k同時運行的動態(tài)變化C和k的動態(tài)變化可以把圖5-1和圖5-2的信息結(jié)合在圖5-3中，箭頭第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析

考慮到索洛模型，自然要提出的重要的問題是，這種經(jīng)濟的均衡是否代表著一個可期望的結(jié)果。微觀經(jīng)濟學和第一福利定理告訴我們，如果市場是完全競爭的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡是帕累托最優(yōu)的，也就是說，在不使其他人不惡化的條件下，使任何人得到改善是不可能的。由于第一福利定理在上述模型中成立，均衡就可視為是帕累托有效的。并且，由于所有家庭擁有相同的效用，意味著分散化均衡在對所有家庭采用相同方式的配置中會產(chǎn)生最高的可能效用。均衡的實現(xiàn)第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析考慮到索洛模型，自然要第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析

為了更清楚地理解這點，假設(shè)存在下面這種情況：一個社會計劃者可對每個時點的產(chǎn)出在消費和投資之間進行分配，并且其目標也想使代表性家庭的終生效用最大化。除了不把w與r的路徑取為固定外，計劃者考慮的問題都由k的路徑?jīng)Q定，反過來后者則由式(5-22)決定。這個問題等同于單個家庭所面臨的問題。式(5-20)和式(5-21)的連續(xù)時刻消費同樣適用于社會計劃者。在t時減少數(shù)量為Δc的c，并把該收入進行投資，這便可允許計劃者在t+Δt時刻將c增加 。因此，沿著由計劃者選擇的路徑，c(k)必須滿足式(5-21)。最后，像家庭的最優(yōu)化問題一樣，那些要求資本存量為負的路徑必定會以它們不可行的理由被排除，并且那些引致消費傾向于零的路徑也會以它們無法使家庭效用最大化而被排除在外。均衡的實現(xiàn)（續(xù)）第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析為了更清楚地理解這點，第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析資本積累的黃金律水平

索洛模型與拉姆齊-卡斯-庫普曼模型的平衡增長路徑之間的唯一顯著的差異是，擁有資本存量大于黃金律資本水平的平衡路徑在拉姆齊模型中是不可能的。我們知道，資本積累的黃金律可由以下條件描述：

這是可最大化穩(wěn)定狀態(tài)每單位資本消費量的條件。它首先由費爾普斯(Phelps，1961）引入。黃金律的主要福利含義是，它是界定資本／勞動比率的一個值，超過該值，則資本積累并不是帕累托最優(yōu)的值。這樣，從通過減少資本存量從而最大化穩(wěn)定狀態(tài)消費的角度考察，每個人都可獲得福利改善。這是由于資本存量已變得如此之大，以致其邊際生產(chǎn)力小于那個為日益增長的人口提供現(xiàn)存資本／勞動比率所必需的產(chǎn)出量的邊際生產(chǎn)力。這樣一個經(jīng)濟具有過度積累的資本，并且被認為是動態(tài)無效率的。第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析資本積累的黃金律水平索鞍點路徑第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析鞍點路徑第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析修正的黃金律資本存量

這個關(guān)系表明，長期資本／勞動比率，由此而形成的資本邊際物質(zhì)產(chǎn)品與真實利率，由時間偏好率與人門增長率之和決定。很顯然，這時的k收斂于一個低于黃金律水平的資本量。

引入修正的黃金律資本存量概念。修正的黃金律被定義為：第二節(jié)拉姆齊模型的動態(tài)分析修正的黃金律資本存量這拉姆齊模型概述

在如今的多數(shù)的前沿宏觀經(jīng)濟分析的專著之中，都會出現(xiàn)拉姆齊的名字和拉姆齊模型這一術(shù)語。拉姆齊模型已成為現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟分析最有力的工具之一。弗蘭克·拉姆齊是英國劍橋大學的數(shù)學家和邏輯學家，1928年12月，他在《經(jīng)濟學雜志》上發(fā)表了《儲蓄的數(shù)學原理》一文，建立了拉姆齊模型。該模型在確定性的條件下，分析最優(yōu)經(jīng)濟增長，推導(dǎo)滿足最優(yōu)路徑的跨時條件，闡述了動態(tài)非貨幣均衡模型中的消費和資本積累原理。拉姆齊模型在其出現(xiàn)后的相當一段長的時間內(nèi)，由于其研究的思路和方法與當時的主流經(jīng)濟學不一致，而沒有得到應(yīng)有的重視。在二十世紀七十年代，當宏觀經(jīng)濟分析出現(xiàn)“理性預(yù)期革命”之后，拉姆齊模型似乎又被重新發(fā)現(xiàn)。附錄拉姆齊模型概述在如今的多數(shù)的前沿宏觀經(jīng)濟分析的專著之中，都拉姆齊模型概述

弗蘭克·拉姆齊提出的問提是一個國家應(yīng)該儲蓄多少，并用模型去求解，用模型去解出資源的跨時最優(yōu)配置，最優(yōu)消費和投資決策。中央計劃人員可以做出選擇，參照模型的結(jié)論使具有典型性的個人效用實現(xiàn)最大化?？梢宰C明這種中央計劃分配等價于競爭性經(jīng)濟（在競爭性經(jīng)濟中，個人根據(jù)相關(guān)聯(lián)的當前與預(yù)期的市場出清的工資和利率，作出最優(yōu)的消費和投資決策）。拉姆齊是要去解決一個宏觀經(jīng)濟問題－在一個動態(tài)的時間序列內(nèi)，應(yīng)該選擇怎樣的消費和資本積累路徑。然而，這個宏觀問題的求解卻是從微觀的角度出發(fā)，通過效用函數(shù)和生產(chǎn)函數(shù)的約束，在滿足最優(yōu)化的條件下,從微觀角度求解出宏觀的最優(yōu)消費和資本積累路徑。附錄拉姆齊模型概述弗蘭克·拉姆齊提出的問提是一個國家應(yīng)該儲蓄多拉姆齊模型概述

拉姆齊模型體現(xiàn)了宏觀和微觀的緊密結(jié)合，以及從靜態(tài)到動態(tài)的演變。因而，對后來重新發(fā)現(xiàn)它的經(jīng)濟學家們產(chǎn)生了雖然是遲的但卻是深遠的影響?？v觀拉姆齊以前和拉姆齊之后幾十年的經(jīng)濟思想，微觀經(jīng)濟分析和宏觀經(jīng)濟分析似乎各自獨立的向前發(fā)展著。微觀經(jīng)濟分析忽視了宏觀方面，而宏觀經(jīng)濟分析則超脫了微觀基礎(chǔ)。然而，整個經(jīng)濟就如一個有機生命體一樣，也許我們從外觀上根本就看不到有機體內(nèi)部的細胞的活動,但這個有機體的一切外部表現(xiàn)無不受到其內(nèi)部細胞的特性和活動規(guī)律的制約。宏觀經(jīng)濟學的研究正如宏觀物理學的研究不能脫離微觀粒子世界的運動規(guī)律去討論宇宙的發(fā)展、黑洞的演變一樣，宏觀經(jīng)濟學也不能脫離微觀經(jīng)濟主體的特性去討論投資，利率，資本積累等宏觀經(jīng)濟現(xiàn)象和宏觀經(jīng)濟運動。附錄拉姆齊模型概述拉姆齊模型體現(xiàn)了宏觀和微觀的緊密結(jié)合，以及從拉姆齊模型概述

當前世界經(jīng)濟的復(fù)雜聯(lián)系，市場經(jīng)濟的日益發(fā)達，使得我們不能脫離微觀經(jīng)濟基礎(chǔ)去研究宏觀經(jīng)濟。經(jīng)濟首先是人的活動，任何一個宏觀經(jīng)濟活動都是微觀經(jīng)濟主體集體活動的匯總。我們可以對微觀經(jīng)濟主體進行抽象和簡化去研究宏觀經(jīng)濟，但不能不談微觀基礎(chǔ)而超脫的去求解宏觀經(jīng)濟的答案。從西方經(jīng)濟思想史的角度來看，“邊際革命”開創(chuàng)了微觀經(jīng)濟學的基礎(chǔ)，“凱恩斯革命”則奠定了宏觀經(jīng)濟學的基礎(chǔ)。然而，兩者的發(fā)展卻是基本上各自較為獨立的在各自的領(lǐng)域內(nèi)完善。雖然“新古典綜合”在理論體系上實現(xiàn)了宏觀經(jīng)濟學和微觀經(jīng)濟學的結(jié)合，但這種結(jié)合是不完善的和不嚴謹?shù)摹Ｕ怯捎谠撃Ｐ吞峁┝爽F(xiàn)代宏觀經(jīng)濟分析的思路，給后來的經(jīng)濟學家在理論和方法上都提供了寶貴的借鑒，擯棄了宏觀和微觀相互脫離的狀態(tài)，在微觀中分析宏觀，在宏觀中把握微觀，從而開創(chuàng)了在微觀基礎(chǔ)上分析宏觀問題的較早