關于激光工作物質及基本原理第一頁，共七十九頁，2022年，8月28日2§2.1黑體輻射與普朗克公式普朗克能量子假說黑體輻射第二頁，共七十九頁，2022年，8月28日3熱輻射現象熱輻射現象是是物體由于自身溫度高于環(huán)境溫度（分子、原子受到熱激發(fā)）而產生的向外輻射電磁波的現象。物體在任何溫度下都會輻射能量。并且其輻射能量的大小及輻射能量按波長的分布都與溫度有關。物體既會輻射能量，也會吸收能量。物體在某個頻率范圍內發(fā)射電磁波能力越大，則它吸收該頻率范圍內電磁波能力也越大。輻射和吸收的能量恰相等時稱為熱平衡。此時溫度恒定不變。第三頁，共七十九頁，2022年，8月28日4黑體與黑體輻射絕對黑體是指在任何溫度下，全部吸收任何波長的輻射的物體。絕對黑體是一種理想的模型，開有小孔的不透光空腔可視成黑體。絕對黑體既是完全的吸收體，也是理想的發(fā)射體。小孔的不透光空腔第四頁，共七十九頁，2022年，8月28日5黑體熱輻射能譜實驗曲線

每一條曲線都有一個極大值。

隨著溫度的升高，黑體的單色輻出度迅速增大，并且曲線的極大值逐漸向短波方向移動。第五頁，共七十九頁，2022年，8月28日6維恩（Wien）位移定律在短波部分與實驗結果吻合與實驗結果吻合得很好，但長波卻不行。瑞利—金斯（Rayleigh-Jeans）定律在長波部分與實驗結果比較吻合。但在紫外區(qū)竟算得單色輻出度為無窮大—所謂的“紫外災難”。利用經典理論無法解釋黑體輻射現象。正如1900年開耳文指出的晴朗的物理學理論大廈上空，飛來“兩朵烏云”之一，它動搖了經典物理的基礎。T=1646K實驗曲線Wien理論Rayleigh-Jeans第六頁，共七十九頁，2022年，8月28日71900年，德國物理學家普朗克（Plank）提出量子假說1918年獲Nobel獎）：式中：k為玻爾茲曼常數，h稱為普朗克常數。普朗克能量子假說T=1646K普朗克理論值實驗曲線空腔輻射體的單色輻出度與波長的能譜曲線第七頁，共七十九頁，2022年，8月28日8Plank量子假說對黑體輻射的解釋絕對黑體空腔內的光以駐波的形式存在，并且空腔中的駐波是一系列的諧振子，只能取一些分立的能量，即，Plank常數h＝6.626×10-34J·S其中，單位體積內頻率在υ到υ+dυ之間的駐波數為空腔內每一個駐波，即每一個諧振子的平均能量為因此黑體輻射的單色輻照度即單位體積單位頻段內輻射的能量為：第八頁，共七十九頁，2022年，8月28日9§2.2光和物質的三種相互作用及愛因斯坦關系式受激輻射受激吸收自發(fā)輻射第九頁，共七十九頁，2022年，8月28日10一.自發(fā)輻射處于高能級的激發(fā)態(tài)原子激發(fā)態(tài)原子自發(fā)的從高能級躍遷到低能級釋放光子自發(fā)輻射具有偶然性，是一種只與原子本身特性有關的隨機過程。第十頁，共七十九頁，2022年，8月28日11自發(fā)輻射躍遷幾率A21

定義：單位時間內高能態(tài)上的原子（設為n2個）中發(fā)生自發(fā)輻射的原子數(dn21/dt)sp與n2的比值，也稱為自發(fā)輻射愛因斯坦系數。可以證明，A21為原子在E2能級上平均壽命（自發(fā)輻射壽命）τs的倒數，即第十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日12二.受激吸收外來光子通過處于低能級的原子系統原子吸收光子hυ從低能級躍遷到高能級受激吸收不僅與原子本身特性有關，同時還受來自輻射光場的影響。第十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日13

受激吸收躍遷幾率W12

定義：單位時間從低能級向高能級躍遷的原子數與低能級原子數n1的比值，即W12另一表示公式：B12為受激吸收愛因斯坦系數，為輻射光場的能量密度第十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日14三.受激輻射外來光子經過處于高能級的激發(fā)態(tài)原子系統高能級原子受激發(fā)躍遷到低能級輻射出光子hυ，產生光放大第十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日15

受激輻射躍遷幾率W12

定義：單位時間從高能級向低能級發(fā)生受激輻射躍遷的原子數與高能級原子數的比值，即W21另一表示公式：B21為受激輻射愛因斯坦系數，為輻射光場的能量密度第十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日16四.愛因斯坦關系式根據粒子數守恒與plank黑體輻射能量密度公式導出愛因斯坦關系式g1和g2為原子處于能級E1和E2的幾率第十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日17§2.3譜線加寬及譜線寬度綜合加寬均勻加寬線型函數非均勻加寬第十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日18自發(fā)輻射功率是頻率的函數自發(fā)輻射的中心頻率為υ0，在υ~υ+dυ范圍內的自發(fā)輻射功率為P(υ)dυ

，于是自發(fā)輻射總功率P為線型函數圖2.3自發(fā)輻射的頻率分布線型函數的定義：第十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日19譜線半寬Δυ即譜線加寬的線寬為：半極大值對應的頻率差值（參見右圖）線寬第十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日20一.均勻加寬1.自然加寬根據經典電子理論，原子可以視為電偶級子當正負電子中心做頻率為0的相對諧振運動時候，電偶級子就會發(fā)射頻率為0的電子波，由于電偶級子發(fā)射電磁波的同時，本身的能量隨時間t指數衰減，因此電磁波在空間的電矢量為：做傅立葉變換，得到頻域內的振幅第二十頁，共七十九頁，2022年，8月28日21電偶級子發(fā)出的光強與其振幅平方成正比。因此頻率在～+d之間自發(fā)輻射功率為根據式（2.23）及線寬的定義，可得自然加寬的線寬根據線型函數的定義，可得自然加寬的線型函數第二十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日由歸一化條件可得積分A=γ-1

第二十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日23從量子理論出發(fā)，推導阻尼系數與自發(fā)輻射壽命s之間的關系，并得到線寬設t=0為初始時刻，E2能級上的原子數密度n2=n20，t＞0時，n2將減少，假設n2的減少僅僅由自發(fā)輻射引起，則對比(2.24)和(2.25)，得因此自然加寬線寬又可寫為積分得到，每躍遷一個原子即可發(fā)射一個光子，因此自發(fā)輻射功率為根據經典諧振子模型，多個諧振子輻射功率功率隨時間變化為第二十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日24自然加寬線型函數為洛侖茲線型：圖2.4自然加寬洛侖茲線型函數當＝0時，線型函數值為：第二十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日252.碰撞加寬大量原子或分子的無規(guī)則碰撞使粒子振蕩偏離了諧振子振蕩，進而導致粒子發(fā)射的電磁波中斷產生不完全波列，引起光譜線的進一步加寬，這種加寬即為碰撞加寬。碰撞加寬的線型函數與線寬在氣壓不太高時，碰撞加寬線寬與氣壓成正比第二十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日263.均勻加寬線型函數與線寬氣體介質中均勻加寬包括自然加寬和碰撞加寬，其線型函數為洛侖茲線型。晶體介質中均勻加寬除了自然加寬外，還存在晶格熱振動加寬。（2.32）第二十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日27二.非均勻加寬非均勻加寬機制指的是介質中每個發(fā)光的原子只是對光譜線內的某一特定的頻率有貢獻，即非均勻加寬譜線上某一頻率范圍的光只與某些特定的原子有關。氣體介質中非均勻加寬主要是多普勒加寬。固體介質中的非均勻加寬主要是晶格缺陷加寬。第二十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日28式中規(guī)定：當原子朝著接收器運動（或沿光傳播方向運動）時，

z＞0；反之，當原子離開接收器運動（或沿光傳播方向運動）時，z＜01.多普勒(Doppler)加寬假定接收器固定在實驗室坐標系中，設一發(fā)光原子（光源）靜止時的中心頻率為0，當發(fā)光原子相對于接收器以z速凍運動時，由于多普勒效應，接收器接收到的光波的頻率為圖2.6光學多普勒效應第二十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日29多普勒線型函數的導出根據分子運動論，氣體原子或分子作無規(guī)則熱運動，在熱平衡條件下，原子數按照速率分布遵從麥克斯韋分布規(guī)律，假設只考慮沿z方向的速度分量，則單位體積內速度分量在vz~(vz+dvz)之間的原子數為式中，n為單位體積工作物質內的總原子數，k為波爾茲曼常數，T為熱平衡時的絕對溫度，m為原子或者分子的質量第二十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日30對（2.35）式作變量代換，得根據多普勒效應將頻率公式取微分，得,令若E1和E2能級上的原子數分別為n1和n2，則它們在分量在vz~(vz+dvz)之間的原子數為區(qū)間內的原子數分別為（2.35）(2.36)第三十頁，共七十九頁，2022年，8月28日31多普勒線型函數為的半寬表示由于~(+d)間的自發(fā)輻射功率正比于n2()d，根據線型函數的定義，得自發(fā)輻射的線型函數為（2.37）多普勒線型函數為高斯函數，當=0時，其半寬為其中，M為相對原子或者分子量，m(kg)=1.66×10-27M（2.39）（2.40）第三十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日32多普勒效應對受激輻射的影響假設有一頻率為的單色光沿z方向入射到氣體介質中，與中心頻率為0的運動原子相互作用。此時，單色光可視為某一假想光源發(fā)出，原子可視為運動的光波接收器，由于多普勒效應，原子感受到的光波頻率為第三十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日33如果譜線加寬只是由于多普勒效應引起，則只有滿足=0條件時才有最強的共振相互作用，此時受激輻射躍遷幾率最大。因此，可以得到入射光頻率與原子中心頻率0滿足：（2.41）上式表明當運動原子與光波相互作用時，原子表現出來的中心頻率變?yōu)槠渲?又稱為表觀中心頻率，vz為運動原子的速度，當原子運動方向與光波傳播方向相同時vz>0，反向時vz>0（2.42）第三十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日34受激輻射多普勒加寬的線型函數也為高斯型，用替代公式（2.40）中即可得到其線型函數：不同速率的原子表觀中心頻率不同。原子體系中每個原子只對多普勒加寬譜線內與原子表觀中心頻率相同的部分有貢獻。即多普勒加寬中不同譜線對于不同表觀中心頻率的原子。氣體工作物質中的多普勒加寬屬于非均勻加寬。2.晶格缺陷加寬：線型函數一般由實驗測出第三十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日35三.綜合加寬實際譜線的加寬是均勻加寬和非均勻加寬的綜合結果。當兩者作用可以比擬的時候，就必須同時考慮兩中加寬因素來確定綜合加寬線型函數。②當D<<H時，綜合加寬表現均勻加寬極限情況下，①當H<<D時，綜合加寬表現非均勻加寬(2.43)第三十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日在求頻率處于υ~υ+dυ范圍內的自發(fā)輻射光功率P(υ)dυ時，要同時考慮原子按表觀中心頻率的分布和每個原子發(fā)光的均勻展寬。表觀中心頻率處在υ0’~υ0’+dυ

0’范圍內的高能級原子數為:由于均勻加寬這部分原子將發(fā)出頻率為υ的自發(fā)輻射，它們對P(υ)dυ的貢獻為由于具有不同表觀頻率υ0’的n2個原子對P(υ)dυ都有貢獻，因此n2個原子的總貢獻應該是上式對的υ0’積分在整個譜線范圍內都有υ=υ0所以可用hυ0代替hυ，于是根據線型函數定義，可以求出綜合加寬線型函數為：第三十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日37因此，在輻射場的作用下，總受激輻射幾率W21中，分配在頻率處單位頻帶內的受激躍遷幾率為四.愛因斯坦系數的修正線型函數為躍遷幾率按頻率分布的函數?？紤]了譜線加寬后，單一頻率的自發(fā)輻射光功率可以寫為其中，根據愛因斯坦關系，有該式表示總自發(fā)躍遷幾率A21中，分配在頻率處的自發(fā)躍遷幾率?？梢宰C明由于譜線加寬，單位時間內自發(fā)輻射躍遷的原子數表達式不變（2.44）（2.45）（2.46）第三十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日38討論：1）原子與連續(xù)譜輻射場的相互作用同理可得，原子在連續(xù)輻射場作用下，單位時間內發(fā)生受激吸收的原子數為輻射場分布在很寬的頻帶內，其寬度遠遠大于原子輻射譜線寬度，原子發(fā)光的中心頻率為0，在輻射場的作用下，單位時間內發(fā)生受激輻射的原子數為（2.48）圖2.11原子與連續(xù)譜輻射場的相互作用（2.47）（2.50）（2.49）或者，結論：原子與連續(xù)譜輻射場的相互作用，只有接近中心頻率的輻射光才對原子躍遷起作用。第三十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日39如圖2.12，假設準單色場的能量密度為中心頻率為，其譜線寬度遠遠小于原子譜線寬度。由圖可見，原子譜線的線型函數在附近極窄的范圍內可視為常數在激光振蕩過程中，光波場與工作物質內粒子的相互作用，就可理解為粒子與準單色輻射場的相互作用。圖2.12原子和準單色輻射場的相互作用討論：2）原子與和準單色輻射場的相互作用準單色能量密度為函數形式：根據函數的性質，得原子在準單色輻射場作用下，單位時間內發(fā)生受激輻射的原子數為（2.52）（2.51）第三十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日40同理可得，原子在準單色輻射場作用下，單位時間內發(fā)生受激吸收的原子數為即結論：由于譜線加寬和原子相互作用的單色光頻率并不一定等于原子發(fā)光的中心頻率0才能發(fā)生受激躍遷，而是在=0附近的一個頻帶內都能發(fā)生受激躍遷，受激躍遷幾率按照線型函數分布。=0時，躍遷幾率最大（2.53）（2.54）第四十頁，共七十九頁，2022年，8月28日41五.受激輻射截面和吸收截面若激光器內第l模的光子數密度為Nl，則單色光能量密度與Nl的關系為利用愛因斯坦關系，受激吸收和受激輻射與Nl的關系為：其中，v為工作物質中的光速，21(,0)和12(,0)分別為受激輻射截面積和受激吸收截面積，具有面積的量綱，其表示式為：（2.55）（2.56）（2.57）第四十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日42§2.4激光器速率方程多模速率方程四能級系統單模速率方程三能級系統單模速率方程第四十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日43一、三能級系統單模速率方程圖2.13三能級系統工作物質E1為基態(tài)能級E3為抽運能級E2為亞穩(wěn)態(tài)能級W13為抽運幾率，A31和A21均為自發(fā)輻射幾率，S32、S31和S21均為無輻射躍遷幾率，W12受激吸收幾率，W21受激輻射幾率。

第四十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日44對E3能級，單位時間粒子數密度變化為：對E2能級，單位時間粒子數密度變化為：將代入上式，得（2.60）（2.61）第四十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日45由總粒子數守恒設工作物質長度等于腔長L，第ι個模式的光子數密度為Nι，則（2.62）（2.63）第四十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日46（2.64）速率方程第四十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日47二、四能級系統單模速率方程圖2.14四能級系統工作物質E0為基態(tài)能級E3為抽運能級E2為亞穩(wěn)態(tài)能級E1為空能級（激光產生下能級）W03為抽運幾率，A30和A21均為自發(fā)輻射幾率，S30

S32、S21和S10均為無輻射躍遷幾率，W12受激吸收幾率，W21受激輻射幾率。

第四十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日48速率方程（2.65）第四十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日49§2.5增益系數與增益飽和非均勻加寬增益機制均勻加寬增益機制增益系數第四十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日50一.增益系數定義圖2.16光在增益介質中的放大如圖，有一增益介質，光強為I0的準單色光自端面z=0處入射，由于受激輻射，在傳播過程中光強將不斷增大。通常用增益系數來描述光通過單位長度增益介質后光強增長的百分數。根據定義，設在z處的光強為I(z)，在z+dz處的光強為I(z)+dI(z)，則介質對光的增益系數為：第五十頁，共七十九頁，2022年，8月28日51增益系數表達式單模激光器的光子數密度速率方程為（2.67）（2.68）（2.69）其中，只考慮增益而忽略損耗（2.67）簡化為將I=Nhv,dz=vdt代入上式，得因此，增益系數的表示式為第五十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日52二.均勻加寬工作物質的增益機制在連續(xù)激光器或長脈沖激光器中，認為各能級上的粒子數達到穩(wěn)定工作狀態(tài)，因此上節(jié)得出的四能級系統速率方程組（2.65）應有由于S32>>A30,所以，在穩(wěn)態(tài)情況下速率方程組式（2.66）中的第一個方程可改寫為因為一般四能級系統中S32>>W03，故有n3=0。由速率方程組（2.65）中第三個方程可得（2.70）（2.72）（2.71）第五十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日53反轉粒子數密度方程組（2.65）中E2能級粒子數密度變化的速率方程可改寫為反轉粒子數密度的速率方程。式中τ2為E2的能級壽命。在穩(wěn)態(tài)時，應有dΔn/dt=0，并考慮到四能級系統中大量粒子聚集在基態(tài)，n0=n,則（2.74）（2.73）第五十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日54將線型函數（2.34）、發(fā)射截面（2.57）及N=I/hυv代入上式，整理后可得四能級系統的飽和光強表達式為（2.75）（2.76）第五十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日55小信號情況所謂小信號情況，是指當入射光強Iυ1<<IS

，此時Δn＝Δn0工作物質內受激輻射很微弱，因此可忽略受激輻射項，于是由式(2.74)可得四能級系統小信號情況下的反轉粒子數密度:可見，小信號反轉粒子數密度Δn0與入射光強無關，其大小取決于激發(fā)幾率和受激輻射上能級壽命。（2.77）第五十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日56大信號情況當Iυ1足夠強時（即大信號情況），由式（2.75）可知，將會出現Δn<Δn0

。這是由于，隨著Iυ1的增大，受激輻射作用增強，導致上能級粒子數急劇減少，Iυ1越強，反轉粒子數減少得越多。這種現象稱為反轉粒子數飽和。式（2.75）還表明，不同頻率的入射光對反轉粒子數飽和的影響不同。在入射光強相同情況下，當入射光頻率等于中心頻率時，反轉粒子數飽和最強，這是由于在中心頻率處受激輻射幾率最大，入射光造成的反轉粒子數的減少越嚴重。第五十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日57當入射光頻率等于中心頻率時，式（2.75）可簡化為當入射光強等于飽和光強時,反轉粒子數減少了一半。通常認為，入射光頻率在以下范圍內才會引起顯著的飽和作用：（2.79）第五十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日58增益系數與增益飽和效應由式（2.69）已知增益系數G與反轉粒子數Δn成正比關系。若入射頻率為υ1，強為Iυ1的光入射到均勻加寬工作物質，其增益系數G為將(2.75)及線型函數代入上式，整理后可得（2.80）（2.81）其中，GH0(υ0)為中心頻率處的小信號增益系數第五十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日59小信號情況在Iυ1<<IS的小信號情況下，均勻加寬工作物質的小信號增益為中心頻率處的小信號增益系數可表示為(2.82)(2.83)第五十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日60結論當Iυ1<<IS時，反轉粒子數和增益系數均與入射光強無關，若激光上能級壽命越長，激勵越強，小信號增益系數越大。小信號增益系數與入射光頻率有關，即對不同頻率的光，有不同的增益系數。對應于激光器中不同的縱模，其小信號增益系數是不同的。第六十頁，共七十九頁，2022年，8月28日61小信號增益曲線通常，把小信號增益系數與入射光頻率υ1的關系曲線稱為小信號增益曲線，其形狀完全取決于線型函數，如圖2.17所示。圖2.17小信號增益曲線第六十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日62大信號情況當Iυ1足夠強時（即大信號情況），

GH(υ1,Iυ1)值也將隨光強Iυ1的增強而減小，這就是增益飽和現象。綜上所述,產生增益飽和的物理原因：因增益系數正比于介質內的反轉粒子數，由于Iυ1光在介質中傳輸時，通過受激輻射獲得增益的同時消耗了大量反轉粒子數，反轉粒子數的飽和致使增益系數也發(fā)生飽和。當υ1=υ0時,中心頻率光強等于飽和光強時，大信號增益系數是小信號增益系數的二分之一。在相同光強情況下，υ1偏離中心頻率越遠，飽和效應越弱。第六十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日63兩不同頻率、不同光強的光同時存在時在均勻加寬激光器中，開始起振時有多個縱模頻率滿足閾值條件，在激光腔內振蕩、放大，而最靠近中心頻率的縱模由于小信號增益系數大，光強增長最快（成為強光），首先達到飽和光強，引起飽和效應，現討論該縱模飽和時對其它尚未達到飽和光強的縱模（稱之為弱光）的增益系數的影響。第六十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日64假設強光的頻率為υ1，光強為Iυ1

；弱光的頻率為。根據式（2.69）和(2.75)，弱光增益系數(2.85)第六十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日65從上式可見，當強光頻率υ1及光強Iυ1一定時，弱光在強光作用下的增益系數與其小信號增益系數的比值在頻域上處處相等。其物理原因是：由于強光Iυ1通過受激輻射消耗了大量激發(fā)態(tài)上的粒子，對于均勻加寬工作物質而言，由于激發(fā)態(tài)上的每個粒子對譜線中不同頻率光的增益都有貢獻，激發(fā)態(tài)粒子數的減少就意味著對其它頻率有貢獻的粒子數也減少，即對應于其它頻率光的增益系數也下降，且都以同一比值下降，即整個增益曲線均勻地下降。如圖2.18所示。第六十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日66因此，在均勻加寬激光器中，當靠近中心頻率的模率先達到飽和時，會使其它模的增益降低，當這些模的增益系數低于閾值增益系數時，便會自動熄滅。圖2.18在強光作用下，均勻加寬工作物質增益曲線第六十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日67三、非均勻加寬工作物質的增益系數和增益飽和假設小信號情況下的反轉粒子數密度為Δn0，則表觀中心頻率為υ0’~(υ0’+dυ0’)范圍內的反轉粒子數密度為若有頻率為υ1,光強Iυ1的光入射，則這部分粒子對增益的貢獻dG可按均勻加寬增益系數的表示式來計算，可得第六十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日68從數學上來說,我們可將υ0’的取值范圍看作0→∞，所以增益系數為在非均勻加寬情況下ΔυD>>ΔυH

，于是式（2.86）可簡化為（2.86）（2.87）第六十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日69在Iυ1<<IS時，由上式求得小信號情況下非均勻加寬介質的增益系數可表示為其中，G0i(υ0)為小信號增益系數，由上可知，小信號增益系數G0i(υ0)與光強無關，而小信號增益系數與頻率的關系（即增益曲線）取決于非均勻加寬線型函數。（2.88）（2.89）第六十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日70將式（2.89）及線型函數代入，式（2.87）可改寫為在小信號情況下，可見，非均勻加寬介質的小信號增益曲線為高斯線型，同時由式（2.90）可以看到，非均勻加寬情況下，增益飽和的強弱只與光強Iυ1有關，與頻率無關。（2.90）（2.91）第七十頁，共七十九頁，2022年，8月28日71燒孔效應當入射光頻率為υ1

，且光強Iυ1有足夠強時，該入射光造成表觀中心頻率υ1＝υ1對應的那部分粒子飽和，由于飽和效應，表觀中心頻率為υ1的反轉粒子數密度將由原來的A點下降到A1點，見圖2.19。圖2.19非均勻加寬工作物質中反轉粒子數和頻率的關系實線表示小信號情況第七十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日72若此入射光頻率υ1相當于均勻加寬中的中心頻率，此時引起的反轉粒子數飽和可表示為對于表觀中心頻率為υ2的粒子，由于入射光頻率υ1偏離粒子的表觀中心頻率υ2

，引起的飽和效應較小，所以在圖2.19中可見，反轉粒子數密度由B點下降到B1點。第七十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日73對于表觀中心頻率為υ3的粒子，由于入射光頻率υ1與υ3偏離太遠，所以飽和效應可以忽略。由以上分析可知，頻率為υ1的強光，只與表觀中心頻率υ1附近，寬度約為范圍內的粒子數相互作用，引起反轉粒子數飽和，形成