NBA賽程的分析與評價(jià)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2008年D題NBA是全世界籃球迷們最鐘愛的賽事之一，姚易加盟以后更是讓中國球迷寵愛有加。NBA共有30支球隊(duì)，西部聯(lián)盟、東部聯(lián)盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3個(gè)區(qū)，東部分東南、中部和大西洋3個(gè)區(qū)，每區(qū)5支球隊(duì)。對于2008~2009新賽季，常規(guī)賽階段從2008年10月29日（北京時(shí)間）直到2009年4月16日，在這5個(gè)多月中共有1230場賽事，每支球隊(duì)要進(jìn)行82場比賽，附件1是30支球隊(duì)2008~2009賽季常規(guī)賽的賽程表，附件2是分部、分區(qū)和排名情況（2007~2008賽季常規(guī)賽的結(jié)果），見對于NBA這樣龐大的賽事，編制一個(gè)完整的、對各球隊(duì)盡可能公平的賽程是一件非常復(fù)雜的事情，賽程的安排對球隊(duì)實(shí)力的發(fā)揮和戰(zhàn)績有一定的影響，從報(bào)刊上經(jīng)?？吹角騿T、教練和媒體對賽程的抱怨或評論。這個(gè)題目主要是要求用數(shù)學(xué)建模方法對已有的賽程進(jìn)行定量的分析與評價(jià)： 1）為了分析賽程對某一支球隊(duì)的利弊，你認(rèn)為有哪些要考慮的因素，根據(jù)這些因素將賽程轉(zhuǎn)換為便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的數(shù)字格式，并給出評價(jià)賽程利弊的數(shù)量指標(biāo)。2）按照1）的結(jié)果計(jì)算、分析賽程對姚明加盟的火箭隊(duì)的利弊，并找出賽程對30支球隊(duì)最有利和最不利的球隊(duì)。3）分析賽程可以發(fā)現(xiàn)，每支球隊(duì)與同區(qū)的每一球隊(duì)賽4場（主客各2場），與不同部的每一球隊(duì)賽2場（主客各1場），與同部不同區(qū)的每一球隊(duì)有賽4場和賽3場（2主1客或2客1主）兩種情況，每支球隊(duì)的主客場數(shù)量相同且同部3個(gè)區(qū)的球隊(duì)間保持均衡。試根據(jù)賽程找出與同部不同區(qū)球隊(duì)比賽中，選取賽3場的球隊(duì)的方法。這種方法如何實(shí)現(xiàn)，對該方法給予評價(jià)，也可以給出你認(rèn)為合適的方法。分析賽程對球隊(duì)利弊應(yīng)該考慮的因素背靠背比賽（即連續(xù)兩天比賽）的次數(shù),連續(xù)客場比賽的次數(shù)，連續(xù)主場比賽的次數(shù)，連續(xù)與強(qiáng)隊(duì)比賽的次數(shù)，相鄰兩場比賽間隔的均衡分配，比賽的總旅程等.所考慮的因素應(yīng)力求合理、全面。把一支球隊(duì)在整個(gè)賽季中的各個(gè)對手的平均實(shí)力（實(shí)力一般用上賽季的排名或勝率衡量）作為分析賽程對球隊(duì)的利弊時(shí)的主要因素。分析賽程對球隊(duì)利弊應(yīng)該考慮的因素論文中的問題一支球隊(duì)各個(gè)對手的平均實(shí)力“基本上”與賽程無關(guān)！同時(shí)考慮相關(guān)性很強(qiáng)的幾個(gè)因素，如連續(xù)客場比賽的次數(shù)與連續(xù)主場比賽的次數(shù)。分析賽程對球隊(duì)利弊應(yīng)該考慮的因素論文中的問題諸因素之間盡量相互獨(dú)立!背靠背比賽的次數(shù)與相鄰兩場比賽間隔的均衡性（可以用比賽間隔的均方差表示）之間有一定的相關(guān)性，二者取一還是都取？有些因素可以考慮得更精細(xì)些：背靠背比賽中將第2場是客場作為尤其不利的因素；在連續(xù)客場比賽中區(qū)分是2場、3場、4場、……。分析賽程對球隊(duì)利弊應(yīng)該考慮的因素所考慮的因素應(yīng)力求合理、全面。二.評價(jià)賽程利弊的數(shù)量指標(biāo)預(yù)備工作：將賽程轉(zhuǎn)換為便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的數(shù)字格式日期

時(shí)間星期

客隊(duì)

主隊(duì)2008-10-2908:00星期三克里夫蘭騎士

波士頓凱爾特人

2008-10-2908:30星期三密爾沃基雄鹿

芝加哥公牛

2008-10-2910:30星期三波特蘭開拓者

洛杉磯湖人

2008-10-3007:00星期四新澤西網(wǎng)

華盛頓奇才

2008-10-3007:00星期四多倫多猛龍

費(fèi)城76人

2008-10-3007:00星期四亞特蘭大老鷹

奧蘭多魔術(shù)

……

……比賽日期轉(zhuǎn)換為第幾天比賽，用0、1表示主、客場，用合適的數(shù)字表示強(qiáng)弱隊(duì).完全賽程分解成各支球隊(duì)的賽程編程檢索:背靠背比賽的次數(shù)，連續(xù)客場比賽的次數(shù)，連續(xù)與強(qiáng)隊(duì)比賽的次數(shù)，……對每一因素的原始數(shù)量指標(biāo)作預(yù)處理：二.評價(jià)賽程利弊的數(shù)量指標(biāo)利用平移和伸縮將ai歸一化到區(qū)間[0,1]內(nèi)無量綱化、標(biāo)準(zhǔn)化處理：如果直接用原始指標(biāo)ai，不做變換，在與其他指標(biāo)一起進(jìn)行綜合時(shí)就會(huì)遇到困難！常用的方法是對各因素指標(biāo)作預(yù)處理（如歸一化）后，進(jìn)行加權(quán)平均。三．綜合指標(biāo)的確定用層次分析法（AHP），對各因素的重要性做成對比較，然后得到權(quán)重；根據(jù)自己的認(rèn)識直接給出權(quán)重。主觀判斷發(fā)放了60份問卷調(diào)查，請他人對已經(jīng)列出的各因素的重要性打分，綜合后得到權(quán)重?？陀^判斷為了得到權(quán)重而作回歸分析：以最后的戰(zhàn)績（排名或勝率）為因變量，以上述各個(gè)數(shù)量指標(biāo)為自變量，建立線性回歸模型，利用上賽季的數(shù)據(jù)得到回歸系數(shù)，作為各指標(biāo)的權(quán)重。論文中的問題賽程不是影響戰(zhàn)績的主要因素，而不包含影響因變量主要因素的回歸模型是沒有意義的！三．綜合指標(biāo)的確定應(yīng)判斷各因素的分指標(biāo)是否都是極小型指標(biāo)（越小越好，如背靠背比賽的次數(shù)）如果其中有極大型指標(biāo)（越大越好），需要先作與上相反的歸一化，如論文中的問題然后可與極小型指標(biāo)一起綜合三．綜合指標(biāo)的確定近年來參加NBA常規(guī)賽的30支球隊(duì)是不變的，因而每支球隊(duì)在82場比賽中的對手也是固定的，每年是賽程中唯一不確定之處是存在與同部不同區(qū)的每一球隊(duì)賽4場和賽3場（2主1客或2客1主）兩種情況。四．關(guān)于選擇賽3場的球隊(duì)的方法題目要求根據(jù)賽程找出選擇賽3場的球隊(duì)的方法（未選擇賽3場的球隊(duì)自然是賽4場），并且可以討論其他做法。從賽程容易發(fā)現(xiàn)，與一支球隊(duì)賽3場的有4支球隊(duì)，從每一個(gè)同部不同區(qū)的5支球隊(duì)中選2支（一支2主1客，另一支2客1主）。問題集中于如何從同部不同區(qū)的5支球隊(duì)中選2支四．關(guān)于選擇賽3場的球隊(duì)的方法如：火箭（西部聯(lián)盟西南區(qū)）賽程中西北區(qū)：爵士、掘金、開拓者、森林狼、雷霆太平洋區(qū)：湖人、太陽、快船、勇士、國王2支2支只分析一個(gè)賽季的賽程，找不到從同部不同區(qū)的5支球隊(duì)中選2支的規(guī)律，認(rèn)為是隨機(jī)選擇的。轉(zhuǎn)化為分配問題：在5×5矩陣中確定使矩陣的每一行及每一列有且只有2個(gè)，如四．關(guān)于選擇賽3場的球隊(duì)的方法可以給出一種算法，用程序?qū)崿F(xiàn)。將上述分配問題構(gòu)造成0-1規(guī)劃，需要目標(biāo)函數(shù)：如從NBA聯(lián)盟的商業(yè)性運(yùn)作和比賽的觀賞性出發(fā)，認(rèn)為編制賽程時(shí)應(yīng)該讓實(shí)力相差較大的兩隊(duì)少賽一場（即賽3場）。四．關(guān)于選擇賽3場的球隊(duì)的方法在對xij的約束下極大化目標(biāo)函數(shù)，解得結(jié)果。用上賽季兩隊(duì)之間的排名或勝率差衡量兩隊(duì)實(shí)力差，以每兩隊(duì)實(shí)力差之和為目標(biāo)函數(shù)。下功夫查閱從2004~2005賽季以來共5個(gè)賽季的賽程，終于發(fā)現(xiàn)了NBA聯(lián)盟對賽3場球隊(duì)的安排：采取以5年為一個(gè)周期的特定模式循環(huán)進(jìn)行！四．關(guān)于選擇賽3場的球隊(duì)的方法黃蜂馬刺火箭小?；倚芫羰块_拓者雷霆掘金森林狼掘金森林狼開拓者雷霆爵士雷霆掘金森林狼爵士開拓者開拓者爵士掘金森林狼雷霆森林狼雷霆爵士開拓者掘金西北區(qū)西南區(qū)04~05第1，2列05~06第4，5列06~07第1，2列07~08第3，4列08~09第5，1列09~10第2，3列?√同學(xué)們掌握了用數(shù)學(xué)工具分析、研究這類實(shí)際問題的基本方法，某些做法超出了預(yù)期，如構(gòu)造0-1規(guī)劃模型及調(diào)研5個(gè)賽季賽程以發(fā)現(xiàn)規(guī)律等。在明確與把握建模目的和方法上有欠缺，以致雖然做了很多統(tǒng)計(jì)分析，但是偏離題目要求，“文不對題”。結(jié)束語NBA完全賽程的編制是一件非常復(fù)雜的工作，除了要保證一定的公平性之外，還有一些要關(guān)注的因素：盡可能每天有強(qiáng)隊(duì)之間的比賽，以提高電視收視率；兩支球隊(duì)之