2021-2022學(xué)年江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若不等式對恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A

B

C

D

參考答案：B略2.甲、乙兩人參加歌唱比賽，晉級(jí)概率分別為和，且兩人是否晉級(jí)相互獨(dú)立，則兩人中恰有一人晉級(jí)的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.已知集合，若成立的一個(gè)充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.若ABCD是正方形，E是CD的中點(diǎn)，且，，則=(

)

A．

B．Ｃ．

Ｄ．參考答案：B略5.已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若AB=2，CD=4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角的度數(shù)為(

)A．90° B．45° C．60° D．30°參考答案：D【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】空間角．【分析】設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE，利用三角形中位線定理，可證出EF⊥GF且∠FEG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成角．最后在Rt△EFG中，利用正弦的定義算出∠GEF=30°，即得EF與CD所成的角的度數(shù)．【解答】解：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE，則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中線．由此可得，GF∥AB且GF=AB=1，GE∥CD，且GE=CD=2，∴∠FEG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF因此，Rt△EFG中，GF=1，GE=2，由正弦的定義，得sin∠GEF==，可得∠GEF=30°．∴EF與CD所成的角的度數(shù)為30°故選：D【點(diǎn)評】本題給出空間四邊形相對的棱長，在已知對角線的中點(diǎn)連線與一條棱垂直的情況下求異面直線所成的角，著重考查了是異面直線所成的定義及其求法等知識(shí)，屬于中檔題．本題利用三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．6.已知函數(shù)，若，有，則（i是虛數(shù)單位）的取值范圍為（

）A．(1,+∞)

B．[1,+∞)

C．(2,+∞)

D．[2,+∞)參考答案：C7.設(shè)函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則(

).（A）的最小正周期為，且在上為增函數(shù)（B）的最小正周期為，且在上為減函數(shù)（C）的最小正周期為，且在上為增函數(shù)（D）的最小正周期為，且在上為減函數(shù)參考答案：B略8.（5分）從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黒球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（） A． 至少有一個(gè)黒球與都是紅球 B． 至少有一個(gè)黒球與都是黒球 C． 至少有一個(gè)黒球與至少有1個(gè)紅球 D． 恰有1個(gè)黒球與恰有2個(gè)黒球參考答案：D考點(diǎn)： 互斥事件與對立事件．專題： 閱讀型．分析： 互斥事件是兩個(gè)事件不包括共同的事件，對立事件首先是互斥事件，再就是兩個(gè)事件的和事件是全集，由此規(guī)律對四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到答案．解答： 解：A中的兩個(gè)事件是對立事件，故不符合要求；B中的兩個(gè)事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，故不符合要求；C中的兩個(gè)事件都包含一個(gè)黑球一個(gè)紅球的事件，不是互斥關(guān)系；D中的兩個(gè)事件是互互斥且不對立的關(guān)系，故正確．故選D點(diǎn)評： 本題考查互斥事件與對立事件，解題的關(guān)鍵是理解兩個(gè)事件的定義及兩事件之間的關(guān)系．屬于基本概念型題．9.下表顯示出函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型是x45678910Y15171921232527

A

一次函數(shù)模型

B

二次函數(shù)模型

C

指數(shù)函數(shù)模型

D

對數(shù)函數(shù)模型參考答案：A略10.若如下框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為S=35，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的條件是（ ）A.k=7? B.k≤6? C.k＜6? D.k＞6?參考答案：D詳解：框圖首先給累加變量S賦值1，給循環(huán)變量k賦值10．判斷10＞6，執(zhí)行S=1+10=11，k=10﹣1=9；判斷9＞6，執(zhí)行S=11+9=20，k=9﹣1=8；判斷8＞6，執(zhí)行S=20+8=28，k=8﹣1=7；判斷7＞6，執(zhí)行S=28+7=35，k=6；判斷6≤6，輸出S的值為35，算法結(jié)束．所以判斷框中的條件是k＞6？．故答案為:D.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和為Sn，則S2012=___________。參考答案：3018

略12.若復(fù)數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則

．參考答案：13.復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之差為

參考答案：0

略14.三棱柱三視圖（主視圖和俯視圖是正方形，左視圖是等腰直角三角形）如圖所示,則這個(gè)三棱柱的全面積等于

▲

參考答案：15.若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則k的取值范圍為

．參考答案：（﹣1，1）【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由已知條件利用橢圓定義得，由此能求出k的取值范圍．【解答】解：∵橢圓表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，∴，解得﹣1＜k＜1．∴k的取值范圍為（﹣1，1），故答案為：（﹣1，1）【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．16.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），則數(shù)列{}的前10項(xiàng)的和為．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，∴an=．∴=2．∴數(shù)列{}的前n項(xiàng)的和Sn===．∴數(shù)列{}的前10項(xiàng)的和為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的“累加求和”方法、“裂項(xiàng)求和”方法、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．17.方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圓面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)是．參考答案：（0，﹣1）考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：計(jì)算題．分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程后，找出圓心坐標(biāo)與半徑，要求圓的面積最大即要圓的半徑的平方最大，所以根據(jù)平方的最小值為0即k=0時(shí)得到半徑的平方最大，所以把k=0代入圓心坐標(biāo)中即可得到此時(shí)的圓心坐標(biāo)．解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得+（y+1）2=1﹣，則圓心坐標(biāo)為（﹣，﹣1），半徑r2=1﹣當(dāng)圓的面積最大時(shí)，此時(shí)圓的半徑的平方最大，因?yàn)閞2=1﹣，當(dāng)k=0時(shí)，r2最大，此時(shí)圓心坐標(biāo)為（0，﹣1）故答案為：（0，﹣1）點(diǎn)評：本題以二次函數(shù)的最值問題為平臺(tái)考查學(xué)生掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并會(huì)根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心和半徑，是一道基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個(gè)長軸頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為，直線y=k（x﹣1）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯(lián)立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，從而可求|MN|，A（2，0）到直線y=k（x﹣1）的距離，利用△AMN的面積為，可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為，∴∴b=∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯(lián)立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直線y=k（x﹣1）的距離為∴△AMN的面積S=∵△AMN的面積為，∴∴k=±1．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確求出|MN|．19.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，點(diǎn)A(1，)在橢圓C上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)O為圓心的圓，滿足此圓與l相交兩點(diǎn)P1，P2（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線OP1，OP2的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】圓錐曲線的定值問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）利用離心率列出方程，通過點(diǎn)在橢圓上列出方程，求出a，b然后求出橢圓的方程．（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證直線OP1，OP2的斜率之積．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m與橢圓聯(lián)立，利用直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，推出m2=4k2+1，通過直線與圓的方程的方程組，設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），結(jié)合韋達(dá)定理，求解直線的斜率乘積，推出k1?k2為定值即可．【解答】（本小題滿分14分）（Ⅰ）解：由題意，得，a2=b2+c2，…又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，…解得a=2，b=1，，所以橢圓C的方程為．…（Ⅱ）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為x2+y2=5．…證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為x2+y2=r2（r＞0）．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m．…由方程組得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…因?yàn)橹本€l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即m2=4k2+1．…由方程組得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，…則．設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），則，，…設(shè)直線OP1，OP2的斜率分別為k1，k2，所以=，…將m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2為定值，則，即r2=5，驗(yàn)證符合題意．所以當(dāng)圓的方程為x2+y2=5時(shí)，圓與l的交點(diǎn)P1，P2滿足k1k2為定值．…當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由題意知l的方程為x=±2，此時(shí)，圓x2+y2=5與l的交點(diǎn)P1，P2也滿足．綜上，當(dāng)圓的方程為x2+y2=5時(shí)，圓與l的交點(diǎn)P1，P2滿足斜率之積k1k2為定值．…20.(本題滿分12分)已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值；（1）求的值；（2）求函數(shù)的極小值。

參考答案：21.（本題滿分9分）已知關(guān)于的不等式：的整數(shù)解有且僅有一個(gè)值為2．（1）求整數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，解不等式：．參考答案：解：（1）由，得。不等式的整數(shù)解為2，，又不等式僅有一個(gè)整數(shù)解，。……5分(2)即解不等式當(dāng)時(shí)，不等式為不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式為不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式為不等式的解集為，綜上，不等式的解集為22.橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P（2，1）的距離為． （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題． 【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題． 【分析】（Ⅰ）利用兩點(diǎn)間的距離公式可得c，再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出a，b； （Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D，可得kADkBD=﹣1，即可得出m與k的關(guān)系，從而得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵左焦點(diǎn)（﹣c，0）到點(diǎn)P（2，1）的距離為，∴，解得c=1． 又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3． ∴所求橢圓C的方程為：． （Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0， △=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化為3+4k2＞m2． ∴，． y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==． ∵以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)