4.1關(guān)于穩(wěn)定性的幾個(gè)定義4.2李亞普諾夫第一方法4.3李亞普諾夫第二方法4.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析4.5線性定常系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析4.6Lyapunov第二方法在線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Lyapunov第二方法1引言

1892年，李雅普諾夫（Lyapunov）提出了兩種用于確定由常微分方程描述的系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法：第一方法和第二方法。第一方法又稱間接法，它的基本思路是先求解系統(tǒng)的線性化微分方程，然后根據(jù)解的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。它包括了用微分方程顯式解來進(jìn)行系統(tǒng)分析的所有步驟。第二方法通過構(gòu)造一個(gè)稱之為Lyapunov函數(shù)的純量函數(shù)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以這種方法也叫做Lyapunov直接方法。它是分析線性和非線性、時(shí)變和定常的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種普遍原理，而且還可有效地應(yīng)用于系統(tǒng)分析和綜合問題的許多方面。24.1關(guān)于穩(wěn)定性的幾個(gè)定義4.1.1

平衡狀態(tài)定義動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

的平衡狀態(tài)是滿足

的那一類狀態(tài)，用表示。即

對(duì)于線性定常系統(tǒng)

如果矩陣A是非奇異的，則系統(tǒng)只存在唯一的一個(gè)平衡狀態(tài)

=0，而當(dāng)A為奇異時(shí)，則存在無限多個(gè)平衡狀態(tài)。

對(duì)于非線性系統(tǒng)，通常有一個(gè)或幾個(gè)平衡狀態(tài)。34.1.2

Lyapunov意義下的穩(wěn)定性系統(tǒng)受擾動(dòng)作用后將偏離其平衡狀態(tài)，隨后系統(tǒng)可能出現(xiàn)下列情況：（1）系統(tǒng)的自由響應(yīng)有界；（2）系統(tǒng)的自由響應(yīng)不但有界，而且最終回到平衡狀態(tài)；（3）系統(tǒng)的自由響應(yīng)無界。Lyapunov把上述三種情況分別定義為穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定。下面分別給出其定義。(1)

Lyapunov意義下的穩(wěn)定性

用下式表示以平衡狀態(tài)為圓心、半徑為k的球域：式中，

稱為歐幾里德范數(shù)，即4.1關(guān)于穩(wěn)定性的幾個(gè)定義4定義4-1對(duì)于任意給定的每個(gè)實(shí)數(shù)

，都對(duì)應(yīng)存在另一實(shí)數(shù)

，使得一切滿足不等式的任意初始狀態(tài)x0出發(fā)的系統(tǒng)響應(yīng)x，在所有時(shí)間內(nèi)都滿足則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)

在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。若

與t0選取無關(guān)，則平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。幾何含義：給定以任意正數(shù)

為半徑的球域，當(dāng)t無限增大時(shí)，從球域內(nèi)

出發(fā)的軌跡總不越出球域

，那么平衡狀態(tài)是Lyapunov

意義下穩(wěn)定的。以二維空間為例，上述定義幾何解釋如右圖所示。4.1關(guān)于穩(wěn)定性的幾個(gè)定義二維空間中穩(wěn)定平衡狀態(tài)示意圖5(2)漸近穩(wěn)定定義4-2若平衡狀態(tài)是Lyapunov意義下穩(wěn)定的，并且當(dāng)t

趨近于無窮大時(shí)，x(t)趨近于，即，則稱平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定。以二維空間為例，上述定義幾何解釋右圖所示。（3）大范圍漸近穩(wěn)定定義4-3如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，且其漸近穩(wěn)定的最大范圍是整個(gè)狀態(tài)空間，那么平衡狀態(tài)就稱為大范圍漸近穩(wěn)定。

4.1關(guān)于穩(wěn)定性的幾個(gè)定義二維空間中漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)示意圖6

很明顯，大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是整個(gè)狀態(tài)空間中只存在一個(gè)平衡狀態(tài)。

對(duì)于線性系統(tǒng)，如果其平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，那么它一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)不是大范圍漸近穩(wěn)定的，那么就要遇到一個(gè)確定漸近穩(wěn)定的最大范圍的問題，這通常非常困難。（4）不穩(wěn)定

定義4-4

如果對(duì)于某一實(shí)數(shù)

，不論

取得多么小，在內(nèi)總存在一個(gè)初始狀態(tài)x0，由此出發(fā)的軌跡最終越出

，即，則稱平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。

以二維空間為例，上述定義幾何解釋右圖所示。4.1關(guān)于穩(wěn)定性的幾個(gè)定義二維空間中不穩(wěn)定平衡狀態(tài)示意圖74.2李亞普諾夫第一方法

Lyapunov第一方法又叫間接法。它的基本思路是解系統(tǒng)方程，然后根據(jù)方程的解判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1)對(duì)于線性定常系統(tǒng)只需求出特征值就可判別其穩(wěn)定性。(2)對(duì)于非線性系統(tǒng)，則必須首先將系統(tǒng)的狀態(tài)方程線性化，然后用線性化方程（即一次近似式）的特征值來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（1）線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別定理4-1線性連續(xù)定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。例4-1試分析如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解矩陣A的特征方程為于是得矩陣A的特征值為。故系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。8定義4-5若所有的有界輸入引起的零狀態(tài)響應(yīng)的輸出是有界的，則稱系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定。

有界是指如果一個(gè)函數(shù)h(t)，在時(shí)間區(qū)間內(nèi)，它的幅值不會(huì)增至無窮大，即存在一個(gè)實(shí)常數(shù)K，使得對(duì)于內(nèi)所有，恒有

，則稱h(t)有界。定理4-2

線性連續(xù)定常系統(tǒng)

的傳遞函數(shù)為

當(dāng)且僅當(dāng)其極點(diǎn)都在S左半平面內(nèi)，則系統(tǒng)是輸入輸出穩(wěn)定。

結(jié)論：若系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則它也是輸入輸出穩(wěn)定的；若系統(tǒng)是輸入輸出穩(wěn)定的，且又是能控能觀測(cè)的，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。4.2李亞普諾夫第一方法9（2）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

設(shè)系統(tǒng)在零輸入下的狀態(tài)方程為

f(x)是與x同維數(shù)的向量函數(shù)，它對(duì)于狀態(tài)向量x是連續(xù)可微的。

將非線性向量函數(shù)f(x)在平衡狀態(tài)

附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，即4.2李亞普諾夫第一方法雅可比（Jacobian）矩陣。引入偏差向量

，即可導(dǎo)出系統(tǒng)的線性化方程，或稱一次近似式為式中10①假如矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與高階項(xiàng)無關(guān)。②如果一次近似式中矩陣A的特征值中至少有一個(gè)實(shí)部為正的特征值，那么原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。③如果一次近似式中矩陣A的特征值中雖然沒有實(shí)部為正的特征值，但有實(shí)部為零的特征值，那么原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性要由高階項(xiàng)決定。4.2李亞普諾夫第一方法11例4-3描述振蕩器電壓產(chǎn)生的Vanderpol方程為試確定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定Q的取值范圍。()解①令

，

，上式可化為

顯然，這是一個(gè)非線性方程，其平衡狀態(tài)xe為

4.2李亞普諾夫第一方法

②將狀態(tài)方程線性化，有且A的特征方程為根據(jù)Lyapunov第一方法，若原非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)xe是漸

近穩(wěn)定的，則要求

和。由于

，則欲使

，必須有即。124.3李亞普諾夫第二方法

Lyapunov第二方法又稱直接法。它不必通過對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的求解而直接確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，它是建立在用能量觀點(diǎn)分析穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上。若系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則系統(tǒng)受激勵(lì)后其貯存的能量將隨著時(shí)間推移而衰減，當(dāng)趨于平衡狀態(tài)時(shí)，其能量達(dá)到最小值。反之，如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，則系統(tǒng)將不斷地從外界吸收能量，其貯存的能量將越來越大。

Lyapunov第二方法就是用V(x)和

的正負(fù)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng)，只要能找到一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V(x),而半負(fù)定的，那么這個(gè)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的稱V(x)為系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)。本節(jié)介紹Lyapunov關(guān)于穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定的幾個(gè)定理。在介紹這些定理前先介紹一下有關(guān)標(biāo)量函數(shù)V(x)符號(hào)性質(zhì)的幾個(gè)定義。134.3.1預(yù)備知識(shí)(1)標(biāo)量函數(shù)V(x)符號(hào)性質(zhì)的幾個(gè)定義

設(shè)V(x)為由n維矢量x所定義的標(biāo)量函數(shù)，且在

x=0處，恒有V(x)=0。對(duì)所有在域

中的任何非零矢量x，①，則稱V(x)是正定的。②，則稱V(x)是半正定的。③，則稱V(x)是負(fù)定的。④，則稱V(x)是半負(fù)定的。⑤或，則稱V(x)是不定的。4.3李亞普諾夫第二方法14

(2)二次型標(biāo)量函數(shù)（3）P的各階主子行列式為

，,…,4.3李亞普諾夫第二方法15二次型函數(shù)V(x)的符號(hào)性質(zhì)可用賽爾維斯特（Sylvester）準(zhǔn)則來判斷。①二次型函數(shù)V(x)為正定的充分必要條件為矩陣P的所有主子行列式為正。②二次型V(x)為負(fù)定的充分必要條件為P的各階主子式行列式滿足③二次型V(x)為半正定的充分必要條件為P的各階主子式行列式滿足④二次型V(x)為半負(fù)定的充分必要條件為P的各階主子式行列式滿足4.3李亞普諾夫第二方法164.3.2Lyapunov第二方法的幾個(gè)定理定理4-3設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

如果存在一個(gè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，并且滿足下列條件：

①

；

②

，則平衡狀態(tài)xe漸近穩(wěn)定。

③如果隨著

，有

，則平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理應(yīng)用需要注意兩點(diǎn)：1.定理只是充分條件，不是充分必要條件。即如果所選取的正定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不是負(fù)定的，并不能斷言該系統(tǒng)不穩(wěn)定，因?yàn)楹芸赡苓€沒有找到合適的函數(shù)。2.尋找Lyapunov函數(shù)V(x)的困難在于必須是負(fù)定的，而這個(gè)條件是相當(dāng)苛刻的。能否把為負(fù)定的這個(gè)條件用為半負(fù)定來代替？4.3李亞普諾夫第二方法17例4-4某非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為xe=0是其唯一的平衡狀態(tài)，試判別平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性。解取標(biāo)量函數(shù)V(x)為顯然V(x)是正定的。V(x)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為將狀態(tài)方程代入上式，得顯然，

是負(fù)定的，函數(shù)V(x)滿足定理4-3的條件①和②，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，V(x)是系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)。由于當(dāng)

，有

，滿足定理4-3的條件③，所以系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。4.3李亞普諾夫第二方法18定理4-4設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

xe=0是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。若存在V(x)

滿足下列條件

①

；②

，

則稱系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。③對(duì)于任意的的任意初始狀態(tài)

，在時(shí)

除了在

x=0

時(shí)有

外，不恒等于零。

則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理4-5設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

xe=0是系統(tǒng)平衡狀態(tài)。如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x)，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)且滿足下列條件：

①

在原點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)是正定的；

②在同樣的鄰域內(nèi)也是正定的。

那么系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。4.3李亞普諾夫第二方法19現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)204.3李亞普諾夫第二方法例4-5設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解令

，

，求得原點(diǎn)(0,0)為給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。如仍取標(biāo)量函數(shù)V(x)為則當(dāng)

時(shí)，

，因此

不是負(fù)定的，而是半負(fù)定的，因此所選V(x)不滿足定理4-3的條件?，F(xiàn)另選取顯然V(x)是正定的。計(jì)算得

,是負(fù)定的，所以該V(x)是系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)。系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。又因?yàn)?/p>

，有

，故系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。20例4-6設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解顯然

，即原點(diǎn)為平衡狀態(tài)。選取正定的標(biāo)量函數(shù)

，則V(x)為正定的，又

也為正定的，故定理4-5的條件均滿足，因此系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。4.3李亞普諾夫第二方法214.3.3幾點(diǎn)說明

應(yīng)用Lyapunov第二方法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵在于如何找到Lyapunov函數(shù)V(x)，然而Lyapunov穩(wěn)定性理論本身并沒有提供構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般方法。下面簡略概括一下Lyapunov函數(shù)的屬性。

①

Lyapunov函數(shù)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。

②對(duì)于給定系統(tǒng)，如果存在Lyapunov函數(shù)，它不是唯一的。

③

Lyapunov函數(shù)最簡單的形式是二次型函數(shù)。即。其中P為實(shí)對(duì)稱正定陣。對(duì)于一般情況而言，Lyapunov函數(shù)不一定都是簡單的二次型函數(shù)。但對(duì)線性系統(tǒng)而言，其Lyapunov函數(shù)一定可以用二次型函數(shù)來構(gòu)造。4.3李亞普諾夫第二方法22在線性系統(tǒng)中，如果平衡狀態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的，那么該系統(tǒng)一定也是大范圍漸近穩(wěn)定的。然而在非線性系統(tǒng)中，在大范圍內(nèi)不是漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)有可能是局部漸近穩(wěn)定的。因此，線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性和非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性含義是不同的。兩種構(gòu)造非線性系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)的方法：

(1)克拉索夫斯基（Krasovskii）方法;

(2)變量梯度法。4.4.1Krasovskii方法

非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

假設(shè)xe=0。Krasovskii用狀態(tài)向量x的導(dǎo)數(shù)來構(gòu)造Lyapunov函數(shù)。即令

其中P為對(duì)稱正定矩陣。4.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析234.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析為驗(yàn)證

是否為負(fù)定，V(x)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)，有考慮到式中稱為系統(tǒng)的Jacobian矩陣。整理得

式中可以證明，若Q是負(fù)定的，則

也是負(fù)定的。244.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析結(jié)論：對(duì)于非線性系統(tǒng)若選取正定對(duì)稱矩陣P，且使為負(fù)定的，則

統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的。如果

，

有

，則系統(tǒng)在xe=0處

是大范圍漸近穩(wěn)定的。例4-7試用Krasovskii方法判別下列系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。解按照Krasovskii方法選取P=I，故有由于254.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析從而有,故有且

由Sylvester判據(jù)，知Q是負(fù)定的。則系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為顯然，當(dāng)，。所以該系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。當(dāng)非線性特性能用解析式表達(dá)時(shí)，且系統(tǒng)的階次又不太高時(shí)，用Krasovskii方法分析這類非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性還是比較方便的。它是充分條件，而非必要條件。264.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析4.4.2變量梯度法

D.G.Shultz和J.EGibson在1962年提出來的。主要思路是先假設(shè)一個(gè)旋度為零的梯度gradV，然后根據(jù)它再確定V(x)。

假設(shè)非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的，則其Lyapunov函數(shù)V(x)存在，且函數(shù)V(x)一定具有唯一的梯度gradV若Lyapunov函數(shù)V(x)是x的顯函數(shù),而不是時(shí)間t的顯函數(shù)，則V(x)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為274.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析寫成矩陣的形式為因此D.G.Shultz和J.EGibson提出，先假設(shè)gradV為某一形式，譬如為并根據(jù)為負(fù)定的要求確定gradV，進(jìn)而確定上式中的未定系數(shù)，然后由這個(gè)gradV按下式導(dǎo)出V(x)

284.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析如果求出的V(x)是正定的，這就是給定系統(tǒng)所要構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)。如果V(x)的梯度向量gradV的線積分與路徑無關(guān)的話，那就必須要求gradV的旋度為零。即要求gradV滿足如下方程

其中對(duì)于一個(gè)n階系統(tǒng)，應(yīng)有n(n-1)/2個(gè)旋度方程。如n=3，則有下列三個(gè)旋度方程。294.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析綜上所述，如果非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定，則可按如下步驟求得系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)V(x)：①按某一形式給出gradV；

②從gradV求出

，并限定它為負(fù)定或至少是半負(fù)定的；③用式旋度方程確定gradV中的未定系數(shù)；④再核對(duì)一下

，因?yàn)樯弦徊接?jì)算可能使它改變；⑤求出V(x)。例4-8試用變量梯度法判定非線性系統(tǒng)在原點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的。304.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析解設(shè)所求Lyapunov函數(shù)V(x)的梯度為如下形式于是V(x)的導(dǎo)數(shù)為試探地選取則如果，則

是負(fù)定的，將代入梯度公式有314.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析注意到滿足旋度方程，所以上面所求得的Lyapunov函數(shù)V(x)對(duì)于

的所有點(diǎn)都是正定的，所以系統(tǒng)在上述范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的。為了說明由上式所確定的Lyapunov函數(shù)不是唯一的，我們重新選擇梯度表達(dá)式中未定系數(shù)為324.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析于是，在整個(gè)狀態(tài)平面上是負(fù)定的。此時(shí)，由于顯然，若，則滿足旋度方程，所以V(x)為從這個(gè)Lyapunov函數(shù)可以看出，系統(tǒng)的原點(diǎn)在范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的范圍比前面的大，因此這次構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)優(yōu)于前者。334.5線性定常系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析主要內(nèi)容：用Lyapunov第二方法來分析線性連續(xù)定常系統(tǒng)以及線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4.5.1線性連續(xù)定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

線性連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

假設(shè)所選的Lyapunov函數(shù)為二次型函數(shù)

其中P為維實(shí)對(duì)稱正定矩陣。

V(x)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為則有欲使系統(tǒng)在原點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的，則要求是負(fù)定的，因此必須有式中

為正定對(duì)稱矩陣。34

定理4-6線性連續(xù)定常系統(tǒng)

在平衡狀態(tài)xe=0處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是給定一個(gè)正定

對(duì)稱矩陣Q，存在一個(gè)正定對(duì)稱P滿足方程上式又稱為Lyapunov方程。標(biāo)量函數(shù)是系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov

函數(shù)。

注意：如果

不恒等于零，則Q可取為半正定的

對(duì)稱矩陣。例4-9設(shè)二階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為顯然，原點(diǎn)是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解設(shè)Lyapunov函數(shù)為4.5線性定常系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析35矩陣P由下式確定上式可寫為將矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組解方程組可得下面檢驗(yàn)矩陣P的正定性，P的各階主子行列式P是正定的。因此，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定，而系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)為4.5線性定常系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析364.5.2線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

設(shè)線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為

式中，G為非奇異矩陣，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是原點(diǎn)。假設(shè)取如下正定二次型函數(shù)4.5線性定常系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析計(jì)算

有令上式稱為離散系統(tǒng)的Lyapunov方程。于是有

37定理4-7線性定常離散系統(tǒng)

漸近穩(wěn)定的充分必要條件是給定任一實(shí)正定對(duì)稱矩陣Q，存