第27課時等腰三角形一、知識鏈接1、等腰三角形的概念定義：有相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做，腰與底邊的夾角叫做。2、等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)：〔1〕等腰三角形的兩個底角相等〔簡稱“〞〕；〔2〕等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高〔簡稱“〞〕。3、等腰三角形的判定判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等〔簡稱“〞〕。4、等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。注意：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況，它是底邊與腰相等的等腰三角形，5、等邊三角形的性質(zhì)和判定性質(zhì)：〔1〕等邊三角形的三條邊都；每一個角都等于；判定方法：〔1〕各邊都相等的三角形是等邊三角形；〔2〕各角都相等的三角形是等邊三角形；〔3〕有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形。6、線段的垂直平分線定義：經(jīng)過線段的與這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線。性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段的距離相等。判定：到一條線段兩端距離相等的點，在這條線段的上。二、基訓(xùn)熱身1．〔2022?廣安〕等腰三角形的一條邊長為6，另一邊長為13，那么它的周長為〔〕A．25B．25或32C．32D．192．〔2022?欽州〕等腰三角形的一個角是80°，那么它頂角的度數(shù)是〔〕A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．〔2022?德州〕如圖1，AB∥CD，點E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，那么∠B的度數(shù)為〔〕A．68°B．32°C．22°D．16°4．〔2022哈爾濱〕如圖2，在□ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD邊于點E，且AE=3，那么AB的長為〔〕A．4B．3C．D．2〔〔圖1〕〔圖2〕三、中考教練類型一等腰三角形性質(zhì)的運用【例1】〔2022?南充〕如圖3，在△ABC中，AB=AC，且D為BC上一點，CD=AD，AB=BD，那么∠B的度數(shù)為〔〕A．30°B．36°C．40°D．45°【點析】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運用等腰三角形的性質(zhì)得出∠BDA=∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C關(guān)系．反應(yīng)1〔2022?蘇州〕如圖4，在△ABC中，點D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，那么∠C的度數(shù)為〔〕〔圖3〕〔圖4〕A．30°B．40°C．45〔圖3〕〔圖4〕【例2】〔2022?沈陽〕如圖，中，AB=BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，,AD與BE交于點F，連接CE?！?〕求證：BF=2AE〔2〕假設(shè)，求AD的長?！军c析】此題主要考查全等三角形、等腰三角形三線合一的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)。關(guān)健是由三線合一得出AC=2AE.反應(yīng)2〔2022?荊門〕如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，點E在AD上．〔1〕求證：BE＝CE；〔2〕如圖2，假設(shè)BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC＝45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．類型二等腰三角形的判定【例3】〔2022?杭州〕在△ABC中，AB=AC，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點P．求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段．反應(yīng)3如圖9，把一張平行四邊形紙片ABCD沿BD對折，使C點落在E處，BE與AD相交于點O，那么以下三角形中一定是等腰三角形的是〔〕A．△AOB B．△BOD C．△DOE D．△BCD類型三等邊三角形的性質(zhì)與判定ABCDE【例4】如圖，E是等邊△ABC中AC邊上的點，∠ABE=∠ACDABCDE【點析】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)健是能從圖中找出全等三角形再進(jìn)一步判定等邊三角形。DAEFBCDAEFBC反應(yīng)4如圖，在等邊中，點分別在邊上，且，與交于點．〔1〕求證：；〔2〕求DAEFBCDAEFBC類型四分類討論問題【例5】〔2022?玉林〕如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是原點，A〔4，3〕，P是坐標(biāo)軸上的一點，假設(shè)以O(shè)，A，P三點組成的三角形為等腰三角形，那么滿足條件的點P共有個，寫出其中一個點P的坐標(biāo)是．【點析】此題的關(guān)健是分三種情況進(jìn)行討論，并借助圓規(guī)來找點P。反應(yīng)5(2022·廣安)等腰△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD=BC，那么△ABC底角的度數(shù)為〔〕A．45oB．75oC．45o或15oD．60o四、總分值訓(xùn)練一、選擇題1．等腰三角形的一個角是40°，那么它頂角的度數(shù)是〔〕A．40°B．70°C．40°或70°D．40°或100°2．〔2022?畢節(jié)〕等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為8，那么這個等腰三角形的周長為〔〕A．16B．20或16C．20D．123．〔2022?棗莊〕如圖1，中，AB=AC=10，BC=8，AD平分交于點，點為的中點，連接，那么的周長為〔〕A．20B．18C．14D．134．如圖2，在△ABC中AB=AC、BD=BC。假設(shè)∠A=40°，那么∠ABD的度數(shù)是〔〕〔圖2〕〔圖1〕AB〔圖2〕〔圖1〕ABCD〔圖3〕5．〔2022臺灣〕如圖〔圖3〕于P點．假設(shè)∠PBC=70°，那么∠MPC的度數(shù)為〔〕A．20 B．35 C．40 D．556．〔2022?萊蕪〕在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為〔1，〕，M為坐標(biāo)軸上一點，且使得△MOA為等腰三角形，那么滿足條件的點M的個數(shù)為〔〕A．4B．5C．6D．8二、填空題7．假設(shè)等腰三角形的一個外角為70°，那么它的底角為度。8．〔2022隨州〕等腰三角形的周長為16，其一邊長為6，那么另兩邊為_______________。9．等腰△ABC的周長為10，假設(shè)設(shè)腰長為x，那么x取值范圍是。10．〔2022·黃岡〕如圖4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線交AC點E，垂足為點D，連接BE，那么∠EBC的度數(shù)為________°.11．〔2022?黃岡〕如圖5，△ABC為等邊三角形中，BD為中線，延長BC至E，使CE=CD=1，連接DE，那么DE=．〔〔圖4〕〔圖5〕〔圖6〕12．〔2022·萊蕪〕在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，〔圖6〕那么BP的最小值是三、解答題13．〔2022·肇慶〕如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD．求證：〔1〕BC=AD；〔2〕△OAB是等腰三角形．14．如圖，E在△ABC的AC邊的延長線上，D點在AB邊上，DE交BC于點F，DF=EF，BD=CE。ABCDABCDEF15．〔2022聊城〕如圖，在等邊△ABC中，AB=6，D是BC的中點，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，求線段DE的長度。16．如圖1，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E?！?〕試探究DE與BD、CE之間的關(guān)系，并說明理由；〔2〕假設(shè)∠ABC與外角∠ACG的平分線交于點F，其它條件不變〔如圖2〕，那么〔1〕中的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立，請說明理由；假設(shè)不成立，請?zhí)骄克鼈兊年P(guān)系，并說明理由。BCBCADEF〔圖1〕ABCGDEF〔圖2〕一、知識鏈接1．兩邊，兩邊，頂角，底角2．等邊對等角，互相重合，三線合一3．等角對等邊5．相等，60°，60°6．中點，垂直，兩端，垂直平分線二、基訓(xùn)熱身1－4：CBBB三、中考教練例1．B；反應(yīng)1．B例2．證明：〔1〕∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°，∠DBF+∠ACB=∠CAD+∠ACB=90°∴∠DBF=∠CAD∵AD⊥BC，∴AD=BD在△ACD和△BDF中，∴△ACD≌△BDF∴BD＝AC∵AB=BC，BE⊥AC∴AE=CE，∴AC＝2AE∴BD＝2AE〔2〕∵△ACD≌△BDF∴DF=CD=，∴CF=2∵AE=CE，BE⊥AC∴AF＝CF=2∴AD=AF+FD=反應(yīng)2證明：〔1〕∵AB=AC，D是BC的中點，∴∠BAE=∠EAC，在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE〔SAS〕，∴BE=CE；〔2〕∵∠BAC=45°，BF⊥AF，∴△ABF為等腰直角三角形，∴AF=BF，∵AB=AC，點D是BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF，在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF〔ASA〕．例3．證明：在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE〔SAS〕，∴∠ABF=∠ACE〔全等三角形的對應(yīng)角相等〕，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∴∠ABC-∠ABF=∠ACB-ACE∴∠BCE=∠CBF∴PB=PC，∴圖中相等的線段還有PE=PF，BE=CF．反應(yīng)3．B例4．解：△ADE為等邊三角形理由：∵△ABC為等邊三角形∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝ACABCDEABCDE∴△ABE≌△ACD∴∠BAC＝∠CAD＝60°，AD＝AE∴△ADE為等邊三角形反應(yīng)4：〔1〕證明：∵為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°在△ABD和△CAE中DADAEFBC∴△ABD≌△CAE∴AD＝CE〔2〕∵△ABD≌△CAE∴∠ACE＝∠BAD∴∠DFC=∠ACE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=60°例5．滿足條件的點P有8個，分別為〔﹣5，0〕，〔5，0〕，〔0，－5〕，〔0，5〕，〔8，0〕，〔0，6〕，，．反應(yīng)5．C四、總分值訓(xùn)練1－6：DCCBBC7．358．6，4或5，59．＜x＜510．3611．12．13．證明：〔1〕∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC與△BAD是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD〔HL〕∴BC=AD。

〔2〕∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB?！唷鱋AB是等腰三角形。14．證明：過點D作DG∥AC交BC于點G，∵DG∥AC∴∠GDF=∠E，∠DGF=∠BCE在△GDF和△CEF中∠GDF=∠E，∠DGF=∠BCE，DF=EF∴△GDF≌△CEFABCDABCDEFG又∵BD=CE∴BD=DG∴∠B=∠DGB∵DG∥AC∴∠ACB=∠DGB∴∠ACB=∠B∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形15．解：∵△ABC為等邊三角形，D是BC的中點∴AD⊥BC，BD=BC=3∴由旋轉(zhuǎn)可知AD=AE，∠DA