第一章

空間向量與立體幾何利用空間向量的方法解決立體幾何問題，關(guān)鍵是依托圖形建立空間直角坐標(biāo)系，將其他向量用坐標(biāo)表示，通過向量運算，判定或證明空間元素的位置關(guān)系，以及空間角、空間距離問題的探求.所以如何建立空間直角坐標(biāo)系顯得非常重要，下面簡述空間建系的四種方法，希望同學(xué)們面對空間幾何問題能做到有的放矢，化解自如.一、利用共頂點的互相垂直的三條棱√解析以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，反思感悟本例以長方體為背景，求異面直線所成角.顯然可以是從長方體中的共點的三條棱互相垂直關(guān)系處著手，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求兩異面直線的方向向量的夾角即可.二、利用線面垂直關(guān)系解過點B作BP垂直BB1交C1C于點P，因為AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BP，AB⊥BB1，以B為坐標(biāo)原點，分別以BP，BB1，BA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz.則各點坐標(biāo)分別為(答案不唯一)反思感悟空間直角坐標(biāo)系的建立，要盡量地使盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上，這樣建成的坐標(biāo)系，既能迅速寫出各點的坐標(biāo)，又由于坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)含有0，也為后續(xù)的運算帶來了方便.本題已知條件中的垂直關(guān)系“AB⊥平面BB1C1C”，可作為建系的突破口.三、利用面面垂直關(guān)系例3如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，M，E，F(xiàn)分別為PQ，AB，BC的中點，則異面直線EM與AF所成角的余弦值是______.解析由題設(shè)易知，AB，AD，AQ兩兩垂直.以A為原點，AB，AD，AQ所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為2，則A(0,0,0)，E(1,0,0)，M(0,1,2)，F(xiàn)(2,1,0)，又異面直線所成的角為銳角或直角，反思感悟本題求解關(guān)鍵是利用面面垂直關(guān)系，先證在兩平面內(nèi)共點的三線垂直，再構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系.四、利用底面的中心與高所在的直線，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系例4如圖所示，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求證：平面O1DC⊥平面ABCD；證明

如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)OA＝1，OA1＝a.則A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，O1(－1,0，a).∴O1C∥z軸，又z軸和平面ABCD垂直，∴O1C⊥平面ABCD，又O1C?平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD.(2)若點E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，問點F在何處時，EF⊥AD?故當(dāng)F