關(guān)于狀態(tài)空間分析方法第一頁，共216頁幻燈片第9章狀態(tài)空間分析方法

基本要求9-1狀態(tài)空間方法基礎(chǔ)9-2線性系統(tǒng)的可控性和可觀性9-3狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器9-4有界輸入、有界輸出的穩(wěn)定性9-5李雅普諾夫第二方法返回主目錄第二頁，共216頁幻燈片引言：前面幾章所學(xué)的內(nèi)容稱為經(jīng)典控制理論；下面要學(xué)的內(nèi)容稱為現(xiàn)代控制理論。兩者作一簡單比較。經(jīng)典控制理論(50年代前)現(xiàn)代控制理論(50年代后)研究對象單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)可以比較復(fù)雜數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)(輸入、輸出描述)狀態(tài)方程(可描述內(nèi)部行為)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)運(yùn)算微積、復(fù)變函數(shù)線性代數(shù)、矩陣?yán)碚撛O(shè)計方法的特點非唯一性、試湊成份多,經(jīng)驗起很大作用。主要在復(fù)數(shù)域進(jìn)行。設(shè)計的解析性，與計算機(jī)結(jié)合，主要在時間域進(jìn)行。第三頁，共216頁幻燈片基本要求

掌握由系統(tǒng)輸入—輸出的微分方程式、系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖、及簡單物理模型圖建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的方法。熟練掌握矩陣指數(shù)的計算方法，熟練掌握由時域和復(fù)數(shù)域求解狀態(tài)方程的方法。熟練掌握由動態(tài)方程計算傳遞函數(shù)的公式。正確理解可逆線性變換,熟練掌握可逆線性變換前、后動態(tài)方程各矩陣的關(guān)系。正確理解可控性和可觀測性的概念，熟練掌握和運(yùn)用可控性判據(jù)和可觀性判據(jù)。返回子目錄第四頁，共216頁幻燈片熟練掌握可逆線性變換矩陣的構(gòu)成方法,能將可控系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。能將不可控系統(tǒng)進(jìn)行可控性分解。正確理解對偶原理,會將原系統(tǒng)的有關(guān)可觀測性的問題轉(zhuǎn)化為對偶系統(tǒng)的可控性問題來研究。正確理解單變量系統(tǒng)零、極點對消與動態(tài)方程可控、可觀測的關(guān)系。熟練掌握傳遞函數(shù)的可控性標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)、可觀性標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)的構(gòu)成方法。正確理解狀態(tài)反饋對可控性，可觀性的影響,正確理解狀態(tài)反饋可任意配置閉環(huán)極點的充要條件。第五頁，共216頁幻燈片熟練掌握全維狀態(tài)觀測器的公式和設(shè)計方法,熟練掌握由觀測器得到的狀態(tài)估計值代替狀態(tài)值構(gòu)成的狀態(tài)反饋系統(tǒng),可進(jìn)行閉環(huán)極點配置和觀測器極點配置。正確理解系統(tǒng)齊次方程漸近穩(wěn)定和系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的概念,熟練掌握判別漸近穩(wěn)定的方法和判別系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的方法。正確理解李雅普諾夫方程正定對稱解存在的條件和解法,能通過解李雅普諾夫方程進(jìn)行穩(wěn)定性分析。第六頁，共216頁幻燈片9-1狀態(tài)空間方法基礎(chǔ)在經(jīng)典控制理論中，用傳遞函數(shù)來設(shè)計和分析單輸入、單輸出系統(tǒng)。在現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)。采用矩陣表示法可以使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡潔明了，為系統(tǒng)的分析研究提供了有力的工具。返回子目錄第七頁，共216頁幻燈片狀態(tài)：動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)可以定義為信息的集合。一、狀態(tài)空間的基本概念已知時狀態(tài)，時的輸入，可確定時任一變量的運(yùn)動狀況。狀態(tài)變量：確定動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量。第八頁，共216頁幻燈片狀態(tài)空間：由張成的n維向量空間。狀態(tài)向量：如果完全描述一個給定系統(tǒng)的動態(tài)行為需要n個狀態(tài)變量，那么狀態(tài)向量定義為X(t)對于確定的某個時刻，狀態(tài)表示為狀態(tài)空間中一個點，狀態(tài)隨時間的變化過程，構(gòu)成了狀態(tài)空間中的一條軌跡。第九頁，共216頁幻燈片例9-2設(shè)一RLC網(wǎng)絡(luò)如圖所示?；芈贩匠虨閳D9-2RLC網(wǎng)絡(luò)第十頁，共216頁幻燈片選擇狀態(tài)變量則有寫成輸出第十一頁，共216頁幻燈片寫成若選另一組狀態(tài)變量則有第十二頁，共216頁幻燈片

若給出(t=0)時的初值、、…、和時就可確定系統(tǒng)的行為。單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)選取狀態(tài)變量二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第十三頁，共216頁幻燈片（9-17）第十四頁，共216頁幻燈片或?qū)懗桑?-19）第十五頁，共216頁幻燈片系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示圖9-3第十六頁，共216頁幻燈片例9-3輸入為u，輸出為y。試求系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程?？紤]用下列常微分方程描述的系統(tǒng)第十七頁，共216頁幻燈片解：狀態(tài)方程為寫成取狀態(tài)變量第十八頁，共216頁幻燈片輸出圖9-4例9-3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖第十九頁，共216頁幻燈片多輸入-多輸出系統(tǒng)圖9-6多變量系統(tǒng)第二十頁，共216頁幻燈片………為狀態(tài)變量；為輸入量；為輸出變量。第二十一頁，共216頁幻燈片矩陣形式：式中第二十二頁，共216頁幻燈片……….輸出變量方程第二十三頁，共216頁幻燈片式中第二十四頁，共216頁幻燈片圖9-7系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第二十五頁，共216頁幻燈片三、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解式中均為列向量。（9-28）齊次向量微分方程（9-29）方程的解為1、齊次狀態(tài)方程的解第二十六頁，共216頁幻燈片可得代入方程將方程兩邊系數(shù)必相等,即第二十七頁，共216頁幻燈片我們定義（9-31）（9-32）因此，齊次狀態(tài)方程的解為將t=0代入（9-29）中得第二十八頁，共216頁幻燈片（9-33）（9-34）（9-35）為n×n矩陣，稱矩陣指數(shù)。于是齊次狀態(tài)方程的解為用拉氏變換法求解第二十九頁，共216頁幻燈片拉氏反變換后得到（9-37）（9-38）第三十頁，共216頁幻燈片最終得到與前一種解法所得結(jié)果一致。式中（9-41）第三十一頁，共216頁幻燈片狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有以下性質(zhì)：第三十二頁，共216頁幻燈片圖9-8狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性性質(zhì)3第三十三頁，共216頁幻燈片例9-5設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。第三十四頁，共216頁幻燈片解：求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為其中可以寫出方程解為第三十五頁，共216頁幻燈片例9-6設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求狀態(tài)方程的解。第三十六頁，共216頁幻燈片解：用拉氏變換求解。先求出矩陣指數(shù)第三十七頁，共216頁幻燈片狀態(tài)方程之解為將上式進(jìn)行拉氏反變換第三十八頁，共216頁幻燈片圖9-9系統(tǒng)的瞬態(tài)解（a）與相軌跡（b）第三十九頁，共216頁幻燈片改寫為用左乘等式兩邊2非齊次狀態(tài)方程的解非齊次方程（9-53）（9-54）第四十頁，共216頁幻燈片用左乘上式兩邊（9-54）則式（9-54）可以寫成（9-55）積分上式得第四十一頁，共216頁幻燈片討論非齊次狀態(tài)方程的拉氏變換解法拉氏反變換得由于由卷積定理有第四十二頁，共216頁幻燈片因此由于最后得到第四十三頁，共216頁幻燈片例9-7求下述系統(tǒng)狀態(tài)的時間響應(yīng)控制量u為單位階躍函數(shù)。第四十四頁，共216頁幻燈片解：由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第四十五頁，共216頁幻燈片若初始狀態(tài)為零狀態(tài)，則第四十六頁，共216頁幻燈片四、傳遞函數(shù)矩陣（9-58）系統(tǒng)狀態(tài)方程（9-59）輸出方程拉氏變換為第四十七頁，共216頁幻燈片解出定義傳遞函數(shù)矩陣為（9-63）第四十八頁，共216頁幻燈片所以特征方程為第四十九頁，共216頁幻燈片例9-8設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。第五十頁，共216頁幻燈片解：已知故第五十一頁，共216頁幻燈片第五十二頁，共216頁幻燈片例9-9設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。第五十三頁，共216頁幻燈片解：系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根為-1、-2和-3。矩陣A的特征值也為-1、-2和-3。兩者是一樣的。第五十四頁，共216頁幻燈片五、動態(tài)方程的可逆線性變換其中P是n×n矩陣第五十五頁，共216頁幻燈片特征多項式特征多項式?jīng)]有改變。第五十六頁，共216頁幻燈片傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣沒有改變第五十七頁，共216頁幻燈片例9-10對例9-9之系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，其變換關(guān)系為試求變換后系統(tǒng)的特征方程和特征值。第五十八頁，共216頁幻燈片解：

根據(jù)題意求變換矩陣代入第五十九頁，共216頁幻燈片特征方程為特征值為-1，-2，-3，與例9-9結(jié)果相同。可得第六十頁，共216頁幻燈片9-2線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性在狀態(tài)空間法中，對系統(tǒng)的描述可由狀態(tài)方程和輸出方程來表示。狀態(tài)方程是描述由輸入和初始狀態(tài)所引起的狀態(tài)的變化；輸出方程則是描述由于狀態(tài)變化而引起輸出的變化可控性和可觀測性的概念，就是回答“系統(tǒng)的輸入是否能控制狀態(tài)的變化’’和“狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來’’這樣兩個問題。返回子目錄第六十一頁，共216頁幻燈片一、準(zhǔn)備知識設(shè)A

是n×n矩陣,x

是n×1向量,齊次方程組若|A|=0,（9-70）式存在非零解；若|A|≠0,（9-70）式只有零解。Ax=0（9-70）1、齊次方程組的非零解第六十二頁，共216頁幻燈片2、Cayley-Hamilton定理

Cayley-Hamilton定理指出，矩陣A滿足自己的特征多項式。則A滿足（9-71）（9-72）A的特征多項式第六十三頁，共216頁幻燈片應(yīng)用Cayley-Hamilton定理（9-78）對于矩陣指數(shù)可以用來表示。第六十四頁，共216頁幻燈片例9-11解：矩陣A的特征多項式要求計算矩陣的第六十五頁，共216頁幻燈片矩陣A滿足自己的特征多項式，有本題中n=100，故有第六十六頁，共216頁幻燈片3引理的充分必要條件是：存在使（9-80）非奇異。這里A:n×n,b:n×1.第六十七頁，共216頁幻燈片若對任意狀態(tài)，存在一個有限時刻和控制量，能在時刻將狀態(tài)轉(zhuǎn)移到0，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。二、線性系統(tǒng)的可控性1定義對于任意時刻和，若存在控制向量，能將的每個初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到時刻的另一任意狀態(tài),則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。等價的定義第六十八頁，共216頁幻燈片例如圖9-10二維系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖所示系統(tǒng)可控。第六十九頁，共216頁幻燈片2可控性判據(jù)其中A(n×n),b(n×1),c(1×n),d(1×1)系統(tǒng)可控的充分必要條件是（9-84）（9-85）（9-86）單變量線性定常系統(tǒng)第七十頁，共216頁幻燈片證明：將u(t)代入式(9-54)，可得（9-87）若式(9-86)成立，由前面準(zhǔn)備知識的引理，存在t1>0，使得(1-30)式定義的W(0,t1)矩陣非奇異，取t1為可控性定義中的tf

，且在[0,tf]上定義第七十一頁，共216頁幻燈片由定義可知式(9-86)成立時，系統(tǒng)可控。第七十二頁，共216頁幻燈片再證明若系統(tǒng)可控，則式(9-86)成立根據(jù)凱萊—哈密爾頓定理（9-88）（9-89）假定系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)被控制到零狀態(tài)，即x(tf)=0。根據(jù)(9-54)式，則有第七十三頁，共216頁幻燈片把(9-89)式代入(9-88)式，得記這時（9-90）第七十四頁，共216頁幻燈片由于x(0)是任意的n維向量，(9-90)式要有解，一定有(9-86)式成立，即由上述可控性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可控性只取決于(9-84)式中的A陣和b陣。今后為了方便起見，將可控性矩陣記為S，這樣，可控的充要條件就寫成：rankS=n或detS≠0。第七十五頁，共216頁幻燈片圖9-11不可控系統(tǒng)第七十六頁，共216頁幻燈片例子系統(tǒng)可控系統(tǒng)第七十七頁，共216頁幻燈片3約當(dāng)型方程的可控性判據(jù)約當(dāng)塊的一般形式為由前面討論可知，等價變換不改變可控性。第七十八頁，共216頁幻燈片可控的充分必要條件為①同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊，即各約當(dāng)塊的特征值不同。②每一約當(dāng)塊最后一行，所對應(yīng)的b中的元素不為零。這一充分必要條件又稱為單輸入系統(tǒng)約當(dāng)形方程的可控性判據(jù)。第七十九頁，共216頁幻燈片例9-12系統(tǒng)狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)可控時，應(yīng)滿足的條件。第八十頁，共216頁幻燈片解：如果用直接計算可控性矩陣的方法也可得到同樣結(jié)果.因為A陣有兩個若當(dāng)塊，根據(jù)判據(jù)的(1)應(yīng)有，由判據(jù)的(2)，A的第二行所對應(yīng)的b中的元素b2,b4均不為零，因此系統(tǒng)可控的充要條件為第八十一頁，共216頁幻燈片4、可控標(biāo)準(zhǔn)形（9-92）則系統(tǒng)一定可控。一個單輸入系統(tǒng)，如果具有如下形式第八十二頁，共216頁幻燈片(9-92)式的形式被稱為單輸入系統(tǒng)的

可控標(biāo)準(zhǔn)形。對于一般的單輸入n維動態(tài)方程

(9-93)其中A，b分別為n×n,n×1的矩陣。成立以下定理：若n維單輸入系統(tǒng)可控，則存在可逆線性變換，將其變換成可控標(biāo)準(zhǔn)形。第八十三頁，共216頁幻燈片下面給出變換矩陣P的構(gòu)成方法計算可控性矩陣S；計算，并記的最后一行為h。構(gòu)造矩陣P令

即可求出變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程。第八十四頁，共216頁幻燈片例9-13設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。第八十五頁，共216頁幻燈片解：先判斷可控性，再計算變換矩陣，將狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。故系統(tǒng)可控。一定可將它化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。第八十六頁，共216頁幻燈片此時標(biāo)準(zhǔn)形中的系統(tǒng)矩陣的最后一行系數(shù)就是A陣特征式的系數(shù)，但符號相反。則變換矩陣為第八十七頁，共216頁幻燈片可求出第八十八頁，共216頁幻燈片5系統(tǒng)按可控性進(jìn)行分解

系統(tǒng)可控時，可通過可逆線性變換變換為可控標(biāo)準(zhǔn)形，現(xiàn)在研究不可控的情況，這時應(yīng)有下面的結(jié)果被稱為系統(tǒng)按可控性進(jìn)行分解的定理

第八十九頁，共216頁幻燈片若單變量系統(tǒng)(9-84，85)式的可控性矩陣滿足(9-103）式，則存在可逆線性變換矩陣P，使得變換后的系統(tǒng)方程具有以下形式式中是n1維向量,是n2維向量，并且（9-106）（9-107）第九十頁，共216頁幻燈片(9-106)式表明下面的動態(tài)方程是可控的：（9-107)式表明的動態(tài)方程式(9-108，109)和原來的n維動態(tài)方程式(9-84，85)具有相同的傳遞函數(shù)。或者說傳遞函數(shù)中未能反映系統(tǒng)中不可控的部分。（9-108）（9-109）第九十一頁，共216頁幻燈片證明：（9-110）考察(9-103)式，并將它重新寫出如下進(jìn)而可以證明補(bǔ)充選取線性無關(guān)的向量并使得向量組線性無關(guān)。第九十二頁，共216頁幻燈片令若將(9-104，105)式所表示的系統(tǒng)用方框圖表示，可控性分解的意義就能更直觀地體現(xiàn)出來，(9-104，105)式的系統(tǒng)方塊圖如圖9-12所示。即可證明具有定理所要求的(9-104)的形式。第九十三頁，共216頁幻燈片圖9-12系統(tǒng)按可控性分解第九十四頁，共216頁幻燈片從圖9-12中可見，控制輸入不能直接改變也不能通過影響間接改變，故這一部分狀態(tài)分量是不受輸入影響的，它是系統(tǒng)中的不可控部分。由圖上還可看出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可控部分。第九十五頁，共216頁幻燈片例9-14設(shè)有系統(tǒng)方程如下其傳遞函數(shù)為試進(jìn)行可控性分解。第九十六頁，共216頁幻燈片解：系統(tǒng)的可控性矩陣由于S的第3列是第1列與第2列的線性組合，系統(tǒng)不可控。選取第九十七頁，共216頁幻燈片計算出構(gòu)成第九十八頁，共216頁幻燈片故有因而得第九十九頁，共216頁幻燈片三、線性系統(tǒng)的可觀測性設(shè)n維單變量線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為(9-113,114)如果在有限時間間隔[0,t1]內(nèi)，根據(jù)輸出值y(t)和輸入值u(t)，能夠唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)的每一個分量，則稱此系統(tǒng)是完全可觀測的，簡稱可觀的。式中A,b,c分別為矩陣。1、可觀測性的定義第一百頁，共216頁幻燈片若系統(tǒng)中至少有一個狀態(tài)變量是不可觀測(不能被確定)的，則稱系統(tǒng)不可觀。圖9-13不可觀測系統(tǒng)第一百零一頁，共216頁幻燈片分析(9-117)式，當(dāng)知道某一時刻的輸出時，(9-117)式是n個未知量x(0)的(一個)方程，顯然不能唯一確定初值，要解出x(0)，必須要利用一段時間上的輸入和輸出的值。將(9-117)式左乘一個列向量，再從0到t1積分就可得到n個未知數(shù)x(0)的n個方程。就可利用線性方程組存在唯一解的條件來研究。(9-117)我們考慮沒有外作用的系統(tǒng)，可求出第一百零二頁，共216頁幻燈片2可觀測性判據(jù)

可觀測的充分必要條件是(9-118)(9-118)式中的矩陣稱為可觀性矩陣。并記為V。第一百零三頁，共216頁幻燈片式（9-118）又可以寫成取x(0)=α，這一非零的初始狀態(tài)引起的輸出為（9-120）根據(jù)準(zhǔn)備知識中的引理，存在第一百零四頁，共216頁幻燈片將代入上式，

得顯然α不可能由y(t)=0來確定。即系統(tǒng)不可觀測。第一百零五頁，共216頁幻燈片試判斷系統(tǒng)的可觀測性。設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為例題9-15第一百零六頁，共216頁幻燈片解：系統(tǒng)的可觀性矩陣是奇異的，故系統(tǒng)不可觀測。系統(tǒng)可觀性矩陣的秩，在對系統(tǒng)作可逆線性變換下保持不變，因而可逆線性變換不改變系統(tǒng)的可觀測性。

第一百零七頁，共216頁幻燈片事實上因為是可逆陣，所以上式兩端矩陣的秩相同。第一百零八頁，共216頁幻燈片3對偶原理上面兩個系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣之間有確定的關(guān)系，稱系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ是互為對偶的系統(tǒng)。系統(tǒng)Ⅰ系統(tǒng)Ⅱ第一百零九頁，共216頁幻燈片對偶原理

系統(tǒng)Ⅰ的可控性(可觀性)等價于系統(tǒng)Ⅱ的可觀性(可控性)。只要寫出系統(tǒng)Ⅰ的可控性矩陣(可觀性矩陣)和系統(tǒng)Ⅱ的可觀性矩陣(可控性矩陣)即可證明以上結(jié)論。利用對偶原理，可以將可控性的研究結(jié)果應(yīng)用到可觀測性的研究上。因為對對偶系統(tǒng)的可控性研究就相當(dāng)于對原系統(tǒng)的可觀性研究。第一百一十頁，共216頁幻燈片應(yīng)用：

若式(9—113)和式(9—114)的動態(tài)方程中A陣具有約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，則系統(tǒng)可觀測的充分必要條件為

①同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊。②每一約當(dāng)塊的第1列所對應(yīng)的c中的元素非零。上述條件就是約當(dāng)形動態(tài)方程的可觀測性判據(jù)。它可以由對偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)得到。第一百一十一頁，共216頁幻燈片例9-16設(shè)動態(tài)方程為試確定系統(tǒng)可觀測時應(yīng)滿足的條件。第一百一十二頁，共216頁幻燈片解：由對偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)可知，其可控的充要條件為這也就是原系統(tǒng)可觀測的條件。構(gòu)造原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)如下：第一百一十三頁，共216頁幻燈片4可觀測標(biāo)準(zhǔn)形

一個單輸出系統(tǒng)如果其A,c陣有如下的標(biāo)準(zhǔn)形式，它一定是可觀測的。（9-122）式稱為單輸出系統(tǒng)的可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。（9-122）第一百一十四頁，共216頁幻燈片通過對偶原理證明：給定系統(tǒng)方程如下（9-123）若有等價變換將其化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形式中具有(9-122)的形式。第一百一十五頁，共216頁幻燈片構(gòu)造原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)根據(jù)對偶原理，因原系統(tǒng)為可觀測，所以其對偶系統(tǒng)一定可控。化為下列的可控標(biāo)準(zhǔn)形，其變換矩陣為P.第一百一十六頁，共216頁幻燈片因此有（9-134）比較上面兩組式子，可知欲求之線性變換矩陣它可將系統(tǒng)方程化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。第一百一十七頁，共216頁幻燈片例9-17系統(tǒng)動態(tài)方程為將系統(tǒng)動態(tài)方程化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形，并求出變換矩陣。第一百一十八頁，共216頁幻燈片解：顯然該系統(tǒng)可觀測，可以化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形。寫出它的對偶系統(tǒng)的A,b陣，分別為根據(jù)A,b陣，按化可控標(biāo)準(zhǔn)形求變換陣的步驟求出P陣：第一百一十九頁，共216頁幻燈片計算可控性矩陣S由(9-128)式求出P陣由(1-60)式求出M陣第一百二十頁，共216頁幻燈片式中第一百二十一頁，共216頁幻燈片

5系統(tǒng)按可觀性進(jìn)行分解系統(tǒng)可觀測，則通過等價變換可以化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。現(xiàn)在研究系統(tǒng)不可觀的情況，它是系統(tǒng)不可控的對偶結(jié)果。若(9-113，114)的系統(tǒng)不可觀測，且第一百二十二頁，共216頁幻燈片則存在可逆矩陣P，將動態(tài)方程化為式中是n2維向量,是n-n2維向量，并且（9-137）（9-135）（9-136）第一百二十三頁，共216頁幻燈片(9-135,136)的式子也可用圖9-14表示。這可以用前面證明可觀標(biāo)準(zhǔn)形的方法論證。

(9-137)式表明n2維的子系統(tǒng)(A1b1c1)是可觀的；這部分狀態(tài)變量是不可觀的；(9-138)式表明傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可觀部分。系統(tǒng)按可觀性分解的結(jié)果(9-138)第一百二十四頁，共216頁幻燈片圖9—14系統(tǒng)按可觀測性分解由圖上可以看出傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)中不可觀測的部分。第一百二十五頁，共216頁幻燈片四、可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系（9-141）對應(yīng)的傳遞函數(shù)為（9-140）考慮單變量系統(tǒng)，其動態(tài)方程為1、可控性、可觀測性與零、極點對消問題第一百二十六頁，共216頁幻燈片式中：

N(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的零點，D(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的極點。下面是本段的主要結(jié)果。定理

動態(tài)方程式(9-140)可控、可觀測的充分必要條件是g(s)無零、極點對消，即D(s)和N(s)無非常數(shù)的公因式。第一百二十七頁，共216頁幻燈片證明：首先用反證法證明條件的必要性，若有s=s0既使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得(9-143)利用恒等式可得(9-144)第一百二十八頁，共216頁幻燈片將s=s0代入(9-144)式，并利用(9-143)式，可得(9-145)將上式前乘c、后乘b后即有（9-146）將(9-145)式前乘cA、后乘b后即有（9-147）第一百二十九頁，共216頁幻燈片依次類推可得這組式子又可寫成第一百三十頁，共216頁幻燈片出現(xiàn)矛盾，矛盾表明N(s)和D(s)無相同因子，即g(s)不會出現(xiàn)零、極點相消的現(xiàn)象。因為動態(tài)方程可觀測，故上式中前面的可觀性矩陣是可逆矩陣，故有又由于系統(tǒng)可控，不妨假定A、b具有可控標(biāo)準(zhǔn)形(9-92)的形式，直接計算可知（9-148）第一百三十一頁，共216頁幻燈片例9-18設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為不難驗證系統(tǒng)是可控、可觀測的。第一百三十二頁，共216頁幻燈片顯然N(s)和D(s)無非常數(shù)的公因式，這時傳遞函數(shù)沒有零、極點相消。事實上分別計算第一百三十三頁，共216頁幻燈片2傳遞函數(shù)的最小階動態(tài)方程實現(xiàn)已知動態(tài)方程，可以用(9-64)式計算出傳遞函數(shù)。如果給出傳遞函數(shù)如何找出它所對應(yīng)的動態(tài)方程？這一問題稱為傳遞函數(shù)的實現(xiàn)問題。如果又要求所找出的動態(tài)方程階數(shù)最低，就稱為傳遞函數(shù)的最小實現(xiàn)問題。第一百三十四頁，共216頁幻燈片設(shè)給定有理函數(shù)(9-149)(9-149)式中的d就是下列動態(tài)方程中的直接傳遞部分(9-150)所以只需討論(9-149)式中的嚴(yán)格真有理分式部分。第一百三十五頁，共216頁幻燈片給定嚴(yán)格真有理函數(shù)(9-151)要求尋找A,b,c，使得(9-152)并且在所有滿足(9-152)式的A,b,c中，要求A的維數(shù)盡可能的小。下面分兩種情況討論第一百三十六頁，共216頁幻燈片可控標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實現(xiàn)式(9-153)對(9-151)式，可構(gòu)造出如下的實現(xiàn)(A,b,c)(9-153)（1）g(s)的分子和分母無非常數(shù)公因式的情況第一百三十七頁，共216頁幻燈片(9-154)可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實現(xiàn)(9-153)式給出的(A,b,c)具有可控標(biāo)準(zhǔn)形，故一定是可控的?？芍苯佑嬎闼鼘?yīng)的傳遞函數(shù)就是(9-151)的傳遞函數(shù)。由于g(s)無零、極點對消，故可知(9-153)式對應(yīng)的動態(tài)方程也一定可觀。同樣可以說明(9-154)式是(9-151)的可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小實現(xiàn)。第一百三十八頁，共216頁幻燈片若g(s)的分母已經(jīng)分解成一次因式的乘積，通過部分分式分解，容易得到約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實現(xiàn)?，F(xiàn)用例子說明,設(shè)g(s)有以下的形式(9-155)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實現(xiàn)因為g(s)無零、極點對消，故可知上式中c1c4均不為零。第一百三十九頁，共216頁幻燈片令分別對應(yīng)于第一百四十頁，共216頁幻燈片而綜合上面各式并令x=[x1x2x3x4]T可得由若當(dāng)形方程的可控性判據(jù)和可觀測性判據(jù)可知上式是可控、可觀測的，因而它是g(s)一個最小階實現(xiàn)。第一百四十一頁，共216頁幻燈片若g(s)的分母是n階多項式，但分子和分母有相消的公因式時,這時n階的動態(tài)方程實現(xiàn)就不是最小階實現(xiàn)，而是非最小實現(xiàn)，(或是不可控的，或是不可觀的，或是既不可控也不可觀的)。g(s)的最小實現(xiàn)的維數(shù)一定小于n。（2）g(s)的分子和分母有相消因式的情況第一百四十二頁，共216頁幻燈片例9-19設(shè)g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)=，分子與分母有公因子(s+1)。仿照(9-153)式，可寫出g(s)的一個三維的可控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)無須驗證這個實現(xiàn)是可控的第一百四十三頁，共216頁幻燈片因此這一實現(xiàn)是不可觀的。同理，如果按(9-154)式構(gòu)造如下的可觀測標(biāo)準(zhǔn)形的三維實現(xiàn)，它一定是不可控的。計算可觀測性矩陣第一百四十四頁，共216頁幻燈片當(dāng)然也可以構(gòu)造出g(s)的既不可控又不可觀測的三維實現(xiàn)?，F(xiàn)在將分子和分母中的公因式消去，可得如果用上式中最后的式子，仿照(9-153)式或(9-154)式，構(gòu)造出二維的動態(tài)方程實現(xiàn)，它是g(s)的最小實現(xiàn)。第一百四十五頁，共216頁幻燈片

9-3狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器本節(jié)首先研究用狀態(tài)變量作反饋的控制方式。系統(tǒng)的動態(tài)方程如下(9-157)令(9-158)一、狀態(tài)反饋和極點配置問題式中的v是參考輸入，k稱為狀態(tài)反饋增益矩陣，這里它是1×n的向量。返回子目錄第一百四十六頁，共216頁幻燈片圖9-15(9-159)圖9-15所示的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中A-bk為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。將(9-157)式和(9-158)式用方框圖表示，見圖9-15，它是一個閉環(huán)系統(tǒng)。第一百四十七頁，共216頁幻燈片計算(9-159)式閉環(huán)系統(tǒng)的可控性矩陣，因為1狀態(tài)反饋不影響可控性第一百四十八頁，共216頁幻燈片上式中最后一個矩陣顯然是非奇異矩陣，因此有(9-160)因此有第一百四十九頁，共216頁幻燈片式(9-160)表明，若原來系統(tǒng)可控，加上任意的狀態(tài)反饋后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也可控。若原來系統(tǒng)不可控，不論用什么k陣作狀態(tài)反饋，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)仍然不可控。這一性質(zhì)稱為狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性。

狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的可觀測性。即原來可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是不可觀的。同樣，原來不可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是可觀的。狀態(tài)反饋是否改變系統(tǒng)的可觀測性，要進(jìn)行具體分析。第一百五十頁，共216頁幻燈片例9-20系統(tǒng)的動態(tài)方程如下下表列出了系統(tǒng)c陣參數(shù)、狀態(tài)增益向量k和系統(tǒng)可觀測性的關(guān)系。第一百五十一頁，共216頁幻燈片可觀任意可觀01可觀

[11]11不可觀

[12]可觀11不可觀

[01]10可觀

[11]不可觀10閉環(huán)系統(tǒng)

k原系統(tǒng)

c2

c1可觀性的變化可以從閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點變化、是否發(fā)生零極點對消來說明。第一百五十二頁，共216頁幻燈片2狀態(tài)反饋對閉環(huán)特征值的影響閉環(huán)方程(9-159)中的系統(tǒng)矩陣A-bk的特征值，一般稱為閉環(huán)的極點。閉環(huán)系統(tǒng)的品質(zhì)主要由閉環(huán)的極點所決定，而穩(wěn)定性則完全由閉環(huán)極點所決定。通過選取反饋增益陣來改變閉環(huán)特征值在復(fù)平面上的位置，稱為狀態(tài)反饋進(jìn)行極點配置問題。第一百五十三頁，共216頁幻燈片證明：定理：

閉環(huán)方程(9-159)的系統(tǒng)矩陣A-bk的特征值可以由狀態(tài)反饋增益陣k配置到復(fù)平面的任意位置，其充分必要條件是(9-157)式的系統(tǒng)可控。先證充分性因為(9-157)式的系統(tǒng)可控,則存在可逆矩陣P，將(9-157)式的系統(tǒng)通過的變換化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。第一百五十四頁，共216頁幻燈片式中(9-161)現(xiàn)引入（9-162）第一百五十五頁，共216頁幻燈片這時(9-158)式的狀態(tài)反饋式可寫為：考慮矩陣第一百五十六頁，共216頁幻燈片它的特征式為由于故的特征式即是的特征式，所以和有相同的特征值。第一百五十七頁，共216頁幻燈片設(shè)任意給定的閉環(huán)極點為,且(9-166)式中完全由所決定。比較(9-165a)式和(9-166)式可知，若要(9-166)的根為，需有(9-167)這說明任意給定閉環(huán)n個極點，均可通過(9-167)、(9-163)式確定，使A-bk具有給定的n個特征值，充分性證畢。第一百五十八頁，共216頁幻燈片必要性若系統(tǒng)(9-157)可任意配置閉環(huán)特征值，要證明系統(tǒng)(9-157)可控。用反證法，若系統(tǒng)(9-157)不可控，則存在一個可逆矩陣，通過等價變換后，可將(9-157)式轉(zhuǎn)換為(9-104，105)的可控分解形式?？紤]矩陣A4的特征值不受的影響，即A-bk中的一部分特征值不受k的影響，這與可任意配置A-bk的特征值相矛盾。矛盾表明系統(tǒng)(9-157)可控。第一百五十九頁，共216頁幻燈片以上定理的充分性證明中，已給出通過可控標(biāo)準(zhǔn)形來選擇k陣，使閉環(huán)具有任意要求的特征值的計算步驟，現(xiàn)歸納如下計算A的特征式由所給的n個期望特征值，計算期望的多項式第一百六十頁，共216頁幻燈片根據(jù)(9-94)式，計算化可控標(biāo)準(zhǔn)形的坐標(biāo)變換陣P求出反饋增益陣上述步驟中有化可控標(biāo)準(zhǔn)形這一步。如果不經(jīng)過這步，也可直接求k。求第一百六十一頁，共216頁幻燈片系統(tǒng)狀態(tài)方程為若加狀態(tài)反饋使閉環(huán)特征值分布為{-1,-2,-1+j,-1-j}，試求狀態(tài)反饋增益陣k。例9-21第一百六十二頁，共216頁幻燈片方法一、通過化可控標(biāo)準(zhǔn)形求解計算A的特征式由所給的4個期望特征值，計算期望的多項式解：第一百六十三頁，共216頁幻燈片求出反饋增益陣=[-0.4-1-21.4-6]根據(jù)(9-94)式，計算化可控標(biāo)準(zhǔn)形的坐標(biāo)變換陣P求第一百六十四頁，共216頁幻燈片方法二：令，計算A-bk的特征式比較兩個特征式的系數(shù)可得所以可得

k=[-0.4-1-21.4-6]第一百六十五頁，共216頁幻燈片最后強(qiáng)調(diào)：在極點配置定理中，“任意配置”是和系統(tǒng)可控等價的。若不要求任意配置，就不一定要求系統(tǒng)可控。因此給定一組期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值時，才是可配置的。第一百六十六頁，共216頁幻燈片例9-22設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為這一系統(tǒng)是不可控的。若指定閉環(huán)特征值{-2,-2,-1,-1},{-2,-2,-2,-1}第一百六十七頁，共216頁幻燈片令第一百六十八頁，共216頁幻燈片有所以令第一百六十九頁，共216頁幻燈片對{-2,-2,-2,-1}第一百七十頁，共216頁幻燈片所以有但若指定閉環(huán)特征值為{-2,-2,-2,-2}，就找不出k來達(dá)到這一配置要求。第一百七十一頁，共216頁幻燈片例9-23有一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為要求用狀態(tài)反饋的方法，使得閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為-2,-1+j,-1-j。第一百七十二頁，共216頁幻燈片解：首先要將系統(tǒng)用狀態(tài)方程寫出，即構(gòu)造出傳遞函數(shù)的實現(xiàn)，為了計算方便，取可控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)反饋增益向量k可寫成閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為第一百七十三頁，共216頁幻燈片狀態(tài)反饋系統(tǒng)的方框圖如圖9-16所示。按給定極點，期望多項式為比較上兩特征多項式，令s同次的系數(shù)相等，可得或k=[441]第一百七十四頁，共216頁幻燈片圖9-16例9-23在引入狀態(tài)反饋后的結(jié)構(gòu)圖第一百七十五頁，共216頁幻燈片二、狀態(tài)觀測器為了實現(xiàn)狀態(tài)反饋，須對狀態(tài)變量進(jìn)行測量，但在實際系統(tǒng)中，并不是所有的狀態(tài)變量都能測量到的。因此為了實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制律，就要設(shè)法利用巳知的信息（輸入量及輸出量），通過一個模型來對狀態(tài)變量進(jìn)行估計。狀態(tài)觀測器又稱狀態(tài)漸近估計器。第一百七十六頁，共216頁幻燈片圖9-17狀態(tài)的開環(huán)估計一個明顯的方法是利用計算機(jī)構(gòu)成一個與實際系統(tǒng)具有同樣動態(tài)方程的模型系統(tǒng)，用模型系統(tǒng)的狀態(tài)變量作為系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計值，見圖。第一百七十七頁，共216頁幻燈片由于圖9-17中未能利用系統(tǒng)的輸出信息對誤差進(jìn)行校正，所以用圖9-17得到的估計值是一個開環(huán)估值。一般系統(tǒng)的輸入量u和輸出量y均為已知，因此希望利用y=cx與的偏差信號來修正的值，這樣就形成了圖9-18的閉環(huán)估計方案。

第一百七十八頁，共216頁幻燈片圖9-18狀態(tài)的閉環(huán)估計方案第一百七十九頁，共216頁幻燈片根據(jù)圖9-18所表示的關(guān)系可寫出觀測器部分的狀態(tài)方程(9-169)由(9-169)式和系統(tǒng)方程式可求出觀測誤差應(yīng)滿足的方程式(9-170)第一百八十頁，共216頁幻燈片(9-170)式表明，只要A-Hc的特征值均在復(fù)平面的左半部，隨著t的增長而趨向于零，而且趨于零的速度由A-Hc的特征值所決定。于是有下面極點可任意設(shè)置的狀態(tài)觀測器定理定理：若系統(tǒng)(Abc)可觀測,則(9-169)式給出了系統(tǒng)的一個n維狀態(tài)觀測器，并且觀測器的極點可以任意配置。第一百八十一頁，共216頁幻燈片例9-24系統(tǒng)的動態(tài)方程為

試設(shè)計一個狀態(tài)觀測器，觀測器的特征值要求設(shè)置在{-10,-10}。第一百八十二頁，共216頁幻燈片解：將觀測器增益矩陣H寫成觀測器的特征方程為第一百八十三頁，共216頁幻燈片根據(jù)給定的特征值，可求出期望的多項式為比較上述兩多項式中s的同次項系數(shù)得因此觀測器的方程為第一百八十四頁，共216頁幻燈片三、由被控對象、觀測器和

狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)若原系統(tǒng)(對象)方程為(9-171)現(xiàn)以狀態(tài)觀測器所得到的狀態(tài)估計值代替原系統(tǒng)的狀態(tài)變量x形成狀態(tài)反饋，即(9-172)而觀測器的方程為(9-173)第一百八十五頁，共216頁幻燈片由對象、觀測器和狀態(tài)反饋組合而成的閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖如圖9-19所示。圖9-19帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)第一百八十六頁，共216頁幻燈片將(9-172)式代入(9-171)式和(9-173)式，可分別得到(9-174)(9-175)取狀態(tài)變量為(9-176)(9-177)第一百八十七頁，共216頁幻燈片將(9-176)、(9-177)式的動態(tài)方程進(jìn)行如下的坐標(biāo)變換(9-178)所得到的動態(tài)方程為：(9-179)(9-180)第一百八十八頁，共216頁幻燈片閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以通過(9-179)式、(9-180)式來計算。從(9-179)式可知，這時閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征式可計算如下(9-181)第一百八十九頁，共216頁幻燈片上式表明,圖9-19所示閉環(huán)系統(tǒng)的特征式等于矩陣A-bk與矩陣A-Hc的特征式的乘積，而A-bk是狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣，A-Hc是觀測器的系統(tǒng)矩陣，(9-181)式表明狀態(tài)反饋系統(tǒng)的動態(tài)特性和觀測器的動態(tài)特性是相互獨立的。這個特點表明：若系統(tǒng)是可控、可觀的，則可按閉環(huán)極點配置的需要選擇反饋增益陣k，然后按觀測器的動態(tài)要求選擇H，H的選擇并不影響已配置好的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。因此系統(tǒng)的極點配置和觀測器的設(shè)計可分開進(jìn)行，這個原理通常稱為分離定理。第一百九十頁，共216頁幻燈片通常把反饋增益陣和觀測器一起稱為控制器圖9-20控制器第一百九十一頁，共216頁幻燈片例9-25設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為希望用狀態(tài)反饋使閉環(huán)的極點為-4±6j，并求實現(xiàn)這個反饋的狀態(tài)觀測器，觀測器的極點設(shè)置在-10，-10。第一百九十二頁，共216頁幻燈片解：由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可知,其二階動態(tài)方程實現(xiàn)是可控且可觀的。為了設(shè)計觀測器方便，現(xiàn)取可觀標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)，即根據(jù)題意要求閉環(huán)特征方程為第一百九十三頁，共216頁幻燈片令兩個特征式對應(yīng)的系數(shù)相等，可解出k1=2,k2=40。再求觀測器，根據(jù)極點的要求，期望多項式為令,使求狀態(tài)反饋k，令k=[k1k2]。求出狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式第一百九十四頁，共216頁幻燈片與期望多項式相比,得到h1=100,h2=14。由式可計算出觀測器方程為由對象、狀態(tài)反饋和觀測器構(gòu)成的整個閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖如圖9-21所示。第一百九十五頁，共216頁幻燈片圖9-21例9-25的反饋控制系統(tǒng)第一百九十六頁，共216頁幻燈片（9-183）它在零初始條件的輸出§9-4有界輸入、有界輸出穩(wěn)定性設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為（9-182）令（9-184）則有式中g(shù)(t)為脈沖響應(yīng)函數(shù)。返回子目錄第一百九十七頁，共216頁幻燈片傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系為定義若對于成立，稱h(t)有界。第一百九十八頁，共216頁幻燈片系統(tǒng)