一、一階線性微分方程二、*伯努利(Bernoulli)方程第四節(jié)一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階微分方程稱為一階非齊次線性微分方程,其中P(x),Q(x)為x的已知函數(shù),且Q(x)≠0.而一階微分方程稱為一階齊次線性微分方程.方程(9.27)和(9.28)統(tǒng)稱為一階線性(微分)方程.有時也稱方程(9.28)為方程(9.27)的對應齊次方程.1.一階齊次線性方程的通解將方程(9.28)分離變量,得積分得由此得方程(9.28)的通解其中C為任意常數(shù).2.一階非齊次線性方程的通解解法1:變量變換法.y=uv(9.30)其中u=u(x)、v=v(x)為待定的未知函數(shù).將(9.30)代入(9.27),得為了確定u、v,在上式中令這是關于v的齊次方程,其有解設方程(9.27)的解為將(9.33)代入(9.31),并利用(9.32),得積分得于是,方程(9.27)的通解為其中C為任意常數(shù).解法2.常數(shù)變易法.比較非齊次方程(9.27)的通解(9.34)與其對應的齊次方程(9.28)的通解(9.29)可知,它們有相同的因子,而(9.29)中常數(shù)C在(9.34)中變?yōu)閡(x).由此得到啟發(fā),令非齊次方程(9.27)的解為其中z(x)為待定的函數(shù),對上式求導,得將上述y和代入方程(9.27),可得積分得其中右端C為任意常數(shù).于是,方程(9.27)的通解為(1)將對應齊次方程通解中任意常數(shù)C變易為未知函數(shù)z(x)的解法2,通常稱為常數(shù)變易法.注意:(2)實際求解某個具體的一階非齊次線性方程時,變量變換法和常數(shù)變易法均可采用,也可直接利用公式(9.34).但是,記住公式(9.34)并不容易,故熟悉這兩種求解方法的基本思想更為重要.通常,多采用常數(shù)變易法求解.(3)令則方程(9.22)的通解可表示為y=y(x)=y*(x)+yc(x)其中yc(x)為(9.27)對應齊次方程(9.28)的通解,y*(x)為(9.27)的一個特解.這表明,非齊次方程(9.27)的通解為對應齊次方程(9.28)的通解與(9.27)的一個特解之和.這正是定理9.2(2)的結論.例9.7

求方程的通解,其中a為常數(shù).解用變量變換法求解.令y=uv,將其代入方程(9.35),得令,積分得v(x)=(x+1)a將此式代入式(9.36),得,積分得u(x)=ex+C于是,方程(9.35)的通解為y=uv=(x+1)a(ex+C)其中C為任意常數(shù).例9.8

求方程的通解.解用常數(shù)變易法求解.先求齊次方程的解.分離變量得,積分得lny=2lncosx+lnC即齊次方程的通解為y=Ccos2x令非齊次方程的解為y=z(x)cos2x,則將上述的y和代入原方程,得即積分得z(x)=x3+C.于是,所求方程的通解為y=z(x)cos2x=(x3+C)cos2x其中C為任意常數(shù).例9.9

求方程ydx－2(x+y4)dy=0(9.37)的通解,以及滿足條件y(0)=1的特解.解如將方程改寫為則此方程不是線性方程.但是,如將方程(9.37)改寫為則(9.38)是以y為自變量、x為未知函數(shù)的一階線性方程.下面用常數(shù)變易法來求方程(9.38)的通解.(9.38)的對應齊次方程為其通解為x=Cy2將其中任意常數(shù)C變易為z(y),即設(9.38)的解為x=z(y)y2則將上述x、代入方程(9.37),可得積分得z(y)=y2+C于是,方程(9.38)亦即方程(9.37)的通解為x=(y2+C)y2=y4+Cy2其中C為任意常數(shù).將原始條件y(0)=1代入上述通解,得C=－1.因此,所求特解為x=y4－y2*二、伯努利(Bernoulli)方程形如的方程,稱為伯努利方程,其中n為常數(shù).顯然,當n=0或n=1時,方程(9.39)化為線性方程.下面考慮n≠0且n≠1的情形.將方程(9.39)兩邊同除以yn,得由此式可知,如令z(x)=y1－n,則有這是關于z(x)的一階非齊次線性方程.直接利用式(9.39)的通解為其中C為任意常數(shù).即例9.10

求方程的通解.解這是n=3的伯努利方程.