關(guān)于歐氏空間中與維數(shù)相關(guān)習(xí)題處理的注記楊忠鵬晏瑜敏林志興戴培培莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系有限維線性空間是高等代數(shù)的最重要的研究對(duì)象，它是教學(xué)的重點(diǎn)。但是關(guān)于線性空間的不少重要定義并不是在有限維空間上定義，而是在一般情況下定義的，之后再轉(zhuǎn)入以有限維線性空間為主討論。雖然，在整體的教學(xué)過(guò)程中還是以有限維線性空間作為研究的重點(diǎn)，但是在教學(xué)中卻又不可避免地要接觸到無(wú)限維的情況。本文僅就歐氏空間中與維數(shù)相關(guān)習(xí)題的處理，談我們的一些看法。這里為V中任意的向量，k是任意實(shí)數(shù)，這樣的線性空間V稱為歐氏空間。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)4）

定義1（見(jiàn)[1]）設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)線性空間，在V上定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，稱為內(nèi)積，記作，它具有以下性質(zhì)：1）2）3）

[1]中還以具體的實(shí)例來(lái)認(rèn)識(shí)歐氏空間，這其中就有閉區(qū)間上所有實(shí)連續(xù)函數(shù)所成空間C(a,b)，對(duì)于函數(shù)定義內(nèi)積構(gòu)成的歐氏空間。

同時(shí)也指出實(shí)數(shù)域上一元多項(xiàng)式R[x]對(duì)于上述內(nèi)積也構(gòu)成歐氏空間。這說(shuō)明教材本身也要求將無(wú)限維的歐氏空間作為學(xué)生熟悉的對(duì)象。這類問(wèn)題的研究特點(diǎn)正如[1,P363]所說(shuō)“在…討論中，我們對(duì)空間的維數(shù)并沒(méi)有作任何限制”，而且對(duì)有限維空間的討論應(yīng)當(dāng)要具體說(shuō)明。這樣在將把有限維空間作為研究主體和重點(diǎn)的情況下，應(yīng)慎重地處理和對(duì)待沒(méi)有指明歐氏空間維數(shù)的問(wèn)題。

定義2（見(jiàn)[1]）歐氏空間V的線性變換稱為正交變換，如果它保持向量的內(nèi)積不變，

對(duì)任意的定義3（見(jiàn)[1]）歐氏空間V的線性變換若滿足：則稱為對(duì)稱變換。

在北大數(shù)學(xué)系編的《高等代數(shù)》（第二版）教材中有一道習(xí)題（見(jiàn)[2，P397習(xí)題23]）：

命題1如果是正交變換，那么的不變子空間的正交補(bǔ)也是的不變子空間。題設(shè)中并沒(méi)有限定是有限維歐氏空間上的線性變換。一般文獻(xiàn)中給出的解答如下：再擴(kuò)充成V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基：那么又是正交變換，故有文獻(xiàn)[3]中：又所以是的不變子空間。任取那么設(shè)W是任不變子空間，取是W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，設(shè)W是任不變子空間，取是W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，文獻(xiàn)[4]中：再擴(kuò)充成V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基：那么由是正交變換，所以也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基。又由于W是的不變子空間，所以是W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，而任取，那么所以是的不變子空間。這些解法對(duì)于n維歐氏空間無(wú)疑是正確的，但對(duì)于一般歐氏空間來(lái)說(shuō)卻未必是正確的。事實(shí)上，對(duì)于無(wú)限維歐氏空間來(lái)說(shuō)命題1的結(jié)論是不成立的。且當(dāng)時(shí)，約定例如

，定義內(nèi)積顯然，是V的一個(gè)正交變換。令則所以W是的一個(gè)不變子空間。即不是的不變子空間。，進(jìn)而又即上例說(shuō)明在目前一般教材的定義下，不僅文獻(xiàn)[3]、[4]給出的解法是不妥的，更重要的是這個(gè)命題本身是有問(wèn)題的。事實(shí)上文獻(xiàn)[1]、[5]、[7]、[8]都已經(jīng)注意到了這個(gè)問(wèn)題。但[7]、[8]僅通過(guò)反例指出當(dāng)V及W皆為無(wú)限時(shí)結(jié)論可能不成立，并沒(méi)有給出修正意見(jiàn)。[5]則指出[2]的結(jié)論“只適用于有限維歐氏空間，在無(wú)限維歐氏空間中并不成立”。而作為[2]的第三版的[1]中相應(yīng)習(xí)題也確實(shí)作了變化（見(jiàn)[1,P396習(xí)題23]），即在國(guó)內(nèi)影響很大的[6,P341習(xí)題2]、[10,P296習(xí)題2]，始終是以命題2的形式給出的，同時(shí)期北大數(shù)學(xué)系編高等代數(shù)第一版[11,P373習(xí)題23]和第二版[2，P397習(xí)題23]中都對(duì)維數(shù)沒(méi)有限定（即是命題1的形式），而在其第三版[1]中就增加了有限維的條件，也就是命題2的形式.命題2如果是n維歐氏空間的一個(gè)正交變換，那么的不變子空間的正交補(bǔ)也是的不變子空間。但是，我們認(rèn)為[5]中關(guān)于命題1的結(jié)論“只適用于有限維歐氏空間”的說(shuō)法也是欠妥的。命題3設(shè)W是歐氏空間V的有限維子空間，則W有唯一的正交補(bǔ)。證明：設(shè)為W的標(biāo)準(zhǔn)正交基，定義則且對(duì)于所以是V的一個(gè)子空間。1從知又從而有且若還有且則對(duì)任意有使又所以于是

從而因此即同理，所以由此知，W的正交補(bǔ)是唯一的。

還應(yīng)當(dāng)注意到的是，對(duì)于無(wú)限維歐氏空間的一個(gè)無(wú)限維子空間來(lái)說(shuō)，它的正交補(bǔ)有可能不存在。例如（見(jiàn)[9]）定義內(nèi)積令任取若則，

故

（是互不相同的自然數(shù)）即其中當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，這說(shuō)明是齊次線性方程組的解。而由此這就證明了的奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)全為0。

這個(gè)方程組的系數(shù)行列式是反之，如果的奇數(shù)次項(xiàng)全為0，則是一個(gè)偶函數(shù)，而對(duì)是奇函數(shù)，即因此，若W有正交補(bǔ)的話，則但所以W不存在正交補(bǔ)。

是奇函數(shù)，從而于是證明：設(shè)W是任意一個(gè)不變子空間，取又是正交變換，所以即，知命題4

如果是正交變換，那么的有限維不變子空間的正交補(bǔ)也是的不變子空間。是W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。由于W對(duì)不變，從而也為W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，這樣從而是W的標(biāo)準(zhǔn)正交組，由（*）知有使對(duì)這樣對(duì)就有與W中任意向量正交，即可見(jiàn)這就證明了也是的不變子空間。另外，文獻(xiàn)[5]中雖然指出對(duì)一般歐氏空間的問(wèn)題不能以“有限維”為前提解決，但很可惜，并沒(méi)有把這種觀點(diǎn)貫徹到底。如[5]對(duì)一道習(xí)題的解答中就忽略了這一點(diǎn)。習(xí)題如下：證明：對(duì)任意設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組.，以下不等式成立：（見(jiàn)[6,P332習(xí)題5]、[10,P288習(xí)題5]）文獻(xiàn)[3,P455]采用了擴(kuò)基的方法對(duì)該習(xí)題給出了解答，而[5]沿用了其思想和過(guò)程給出解答此題的提示：擴(kuò)充成V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基都是把V看成是有限維歐氏空間來(lái)處理，與題設(shè)相比證明過(guò)程中忽略了無(wú)限維的情形。事實(shí)上對(duì)于無(wú)限維歐氏空間此不等式是同樣成立的。將向量組設(shè)，且令是在W中的內(nèi)射影，且則下面就是一種沒(méi)有涉及到空間維數(shù)的解法：為W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。設(shè)這說(shuō)明垂直于W，注意到且由勾股定理有

上述例子說(shuō)明，我們?cè)谔幚硐嚓P(guān)問(wèn)題時(shí)要注意其前提是否是在一般線性空間上，否則一概以有限維為前提進(jìn)行處理是有疏漏的。當(dāng)然，在指出處理有限維與無(wú)限維的有關(guān)問(wèn)題的區(qū)別的基礎(chǔ)上，也有必要將在n維歐氏空間上成立的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生嘗試在一般的歐氏空間上的推廣。（iii）是單位變換。這一結(jié)論可推廣到一般的歐氏空間。命題5

（見(jiàn)[6，P350習(xí)題1]）設(shè)是n維歐氏空間V的一個(gè)線性變換，則滿足下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它必然滿足第三個(gè)：（i）是正交變換；（ii）是對(duì)稱變換；命題6

設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)線性變換，則滿足下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),那么它必然滿足第三個(gè)：（iii）是單位變換。（i）是正交變換；（ii）是對(duì)稱變換；證明：若是正交變換同時(shí)也是對(duì)稱變換，則對(duì)所以，從而，有

若是正交變換且則對(duì)，有所以為對(duì)稱變換。若是對(duì)稱變換且則對(duì)，有所以為正交變換。[1]北大數(shù)學(xué)系，高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1988：359－397[2]北大數(shù)學(xué)系，高等代數(shù)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1988：359－397[3]蔡劍芳,錢吉林,李桃生，高等代數(shù)綜合題解[M].武漢：湖北科學(xué)技術(shù)出版社，

1985：487－488[4]徐仲,陸全,等，高等代數(shù)導(dǎo)教?導(dǎo)學(xué)?導(dǎo)考.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2004：535[5]李師正，高等代數(shù)解題方法與技巧[M].北京：高等教育出版社，2004：301－317[6]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)（第四版）[M].北京，高等教育出版社，1999：334[7]徐德余.無(wú)限維線性空間的特殊性[J].高等數(shù)學(xué)研究，9（4）（2006）：116[8]徐德余.無(wú)限維線性空間