2013年一般高等學(xué)校招生全國一致考試（福建卷）數(shù)學(xué)試題（文史類）第I卷（選擇題共

60分）一．選擇題1．復(fù)數(shù)z12i（iA．第一象限

為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】C【分析】本題觀察的知識點(diǎn)是復(fù)數(shù)的幾何意義．由幾何意義可知復(fù)數(shù)在第三象限．2．設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則“x2且y1”是“點(diǎn)P在直線l:xy10上”的（）A．充分而不用要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不用要條件【答案】A【分析】本題觀察的知識點(diǎn)是邏輯中充要條件的判斷．因?yàn)?2,1)點(diǎn)代入直線方程，切合方程，即“x2且y1”可推出“點(diǎn)P在直線l:xy10上”；而點(diǎn)P在直線上，不用然就是(2,1)點(diǎn)，即“點(diǎn)P在直線l:xy10上”推不出“且y1”．故“且y1”是“點(diǎn)P在直線x2x2l:xy10上”的充分而不用要條件．3．若會集A{1,2,3},B{1,3,4}，則AB的子集個數(shù)為（）A．2B．3C．4D．16【答案】C【分析】本題觀察的是會集的交集和子集．因?yàn)锳B{1,3}，有2個元素，所以子集個數(shù)為224個．4．雙曲線x2y21的極點(diǎn)到其漸近線的距離等于（）A．1B．2C．1D．222【答案】B【分析】本題觀察的是雙曲線的性質(zhì)．因?yàn)殡p曲線的兩個極點(diǎn)到兩條漸近線的距離都相等，故可取雙曲線的一個極點(diǎn)為(1,0)，取一條漸近線為yx，所以點(diǎn)(1,0)到直線yx的距離為2．25．函數(shù)f(x)ln(x21)的圖象大體是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題觀察的是對數(shù)函數(shù)的圖象．由函數(shù)分析式可知f(x)f(x)，即函數(shù)為偶函數(shù)，排除C；由函數(shù)過(0,0)點(diǎn)，除掉B,D．xy26．若變量x,y滿足拘束條件x1，則z2xy的最大值和最小值分別為（）y0A．4和3B．4和2C．3和2D．2和0【答案】B【分析】本題觀察的簡單線性規(guī)劃．如圖，可知目標(biāo)函數(shù)最大值和最小值分別為4和2．y2O12x7．若2x2y1，則xy的取值范圍是（）A．[0,2]B．[2,0]C．[2,)D．(,2]【答案】D【分析】本題觀察的是均值不等式．因?yàn)?2x2y22x2y，即2xy22，所以xy2，當(dāng)且僅當(dāng)2x2y，即xy時取等號．8．閱讀以以以下圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若是輸入某個正整數(shù)n后，輸出的S(10,20)，那么n的值為（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】本題觀察的是程序框圖．循環(huán)前：S1,k2；第1次判斷后循環(huán)：S3,k3；第2次判斷后循環(huán)：S7,k4；第3次判斷后循環(huán)：S15,k5．故n4．9．將函數(shù)f(x)sin(2x)()的圖象向右平移(0)個單位長度后獲取函數(shù)22g(x)的圖象，若f(x),g(x)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)P(0,3)，則的值可以是（）255C．D．A．B．2366【答案】B【分析】本題觀察的三角函數(shù)的圖像的平移．把P(0,3)代入f(x)sin(2x)(2)，22解得，所以g(x)sin(2x2)，把P(0,3)代入得，k或k，觀3326察選項(xiàng)，應(yīng)選B10．在四邊形ABCD中，AC(1,2),BD(4,2)，則該四邊形的面積為（）A．5B．25C．5D．10【答案】C【分析】本題觀察的是向量垂直的判斷以及向量的模長．因?yàn)锳CBD1(4)220，所以ACBC，所以四邊形的面積為|AC||BD|1222(4)2225，應(yīng)選C2211．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)以下表：假設(shè)依照上x12345表數(shù)據(jù)所得線6性回歸直線y02133方程為4??．若y?bxa某同學(xué)依照上表中前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為ybxa，則以下結(jié)論正確的是（）A．??B．??．??D．??bb,aabb,aaCbb,aabb,aa【答案】C【分析】本題觀察的是線性回歸方程．畫出散點(diǎn)圖，可大體的畫出兩條直線（以以以下圖），由兩條直??線的相對地址關(guān)系可判斷bb,aa．應(yīng)選Cy4321O123456x12．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，x0(x00)是f(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論必然正確的選項(xiàng)是（）A．xR,f(x)f(x0)B．x0是f(x)的極小值點(diǎn)C．x0是f(x)的極小值點(diǎn)D．x0是f(x)的極小值點(diǎn)【答案】D【分析】本題觀察的是函數(shù)的極值．函數(shù)的極值不是最值，A錯誤；因?yàn)閒(x)和f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱，故x0是f(x)的極小值點(diǎn)，D正確．二．填空題2x3,x013．已知函數(shù)f(x)tanx,0x，則f(f())24【答案】2【分析】本題觀察的是分段函數(shù)求值．f(f())f(tan)f(1)2(1)32．4414．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~1之間的平均隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為【答案】

13111【分析】本題觀察的是幾何概型求概率．3a10，即a，所以P3．3132215．橢圓:x2y21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，焦距為2c．若直線與ab橢圓的一個交點(diǎn)M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于【答案】31【分析】本題觀察的是圓錐曲線的離心率．由題意可知，MF1F2中，MF12MF22F1F22(2c)2MF1F260,MF2F130,F1MF290，所以有MF1MF22a，整理得MF23MF1c31，故答案為31．ea16．設(shè)S,T是R的兩個非空子集，若是存在一個從S到T的函數(shù)yf(x)滿足；（i）T{f(x)|xS}；（ii）對任意x1,x2S，當(dāng)x1x2時，恒有f(x1)f(x2)．那么稱這兩個會集“保序同構(gòu)”．現(xiàn)給出以下3對會集：①AN,BN*；②A{x|1x3},B{x|8x10}；③A{x|0x1},BR．其中，“保序同構(gòu)”的會集對的序號是

（寫出所有“保序同構(gòu)”的會集對的序號）【答案】①②③【分析】本題觀察的函數(shù)的性質(zhì)．由題意可知

S為函數(shù)的一個定義域，

T

為其所對應(yīng)的值域，且函數(shù)

y

f(x)為單調(diào)遞加函數(shù)．關(guān)于會集對①，可取函數(shù)

f(x)

2x(x

N)

，是“保序同構(gòu)”；對于會集對②，可取函數(shù)

y

9

x

7(1

x

3)

，是“保序同構(gòu)”；關(guān)于會集對③，可取函數(shù)2

2ytan(x

)(0

x1)，是“保序同構(gòu)”．故答案為①②③．2三．解答題17．（本小題滿分

12分）已知等差數(shù)列

{an}

的公差

d

1，前

n項(xiàng)和為

Sn．（1）若1,a1,a3成等比數(shù)列，求

a1；（2）若

S5

a1a9，求

a1的取值范圍．本小題主要觀察等比等差數(shù)列、等比數(shù)列和不等式等基礎(chǔ)知識，觀察運(yùn)算求解能力，觀察函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)變思想．滿分12分．解：（1）因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d1，且1,a1,a3成等比數(shù)列，所以a121(a12)，即a12a120，解得a11或a12．（2）因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d1，且S5a1a9，所以5a110a128a1；即a123a1100，解得5a1218．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，PD面ABCD，，AD，AB//DCABBC5，DC3，AD4，PAD60．（1）當(dāng)正視圖方向與向量AD的方向相同時，畫出四棱錐PABCD的正視圖.（要求標(biāo)出尺寸，并畫出演算過程）；（2）若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM//面PBC；（3）求三棱錐DPBC的體積．本小題主要觀察直線與直線、直線與平面的地址關(guān)系及幾何體的三視圖和體積等基礎(chǔ)知識，觀察空間想象能力，推理論證能力．運(yùn)算求解能力，觀察數(shù)形結(jié)合能力、化歸與轉(zhuǎn)變思想，滿分12分．解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD中，過點(diǎn)C作CEAB，垂足為由已知得，四邊形ADCE為矩形，AECD3

E

，在RtBEC中，由BC5，CE4,依勾股定理得：BE3，從而AB6又由PD平面ABCD得，PDAD從而在RtPDA中，由AD4，PAD60,得PD43正視圖如右圖所示：（Ⅱ）取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN，CN在PAB中，M是PA中點(diǎn)，∴MN

AB，

MN

1AB

3，又CD

AB,CD

32∴MNCD，MNCD∴四邊形MNCD為平行四邊形，∴又DM平面PBC，CN平面∴DM平面PBC

DMPBC

CN（Ⅲ）

VD

PBC

VPDBC

1SDBC

PD3又sPBC

6，PD

43，所以

VD

PBC

83解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)ME,DE在梯形ABCD中，BECD，且BECD∴四邊形BCDE為平行四邊形∴DEBC，又DE平面PBC，BC平面

PBCDE平面PBC，又在PAB中，MEPBME平面PBC,PB平面PBCME平面PBC.又DEMEE,∴平面DME平面PBC，又DM平面DME∴DM平面PBC（Ⅲ）同解法一19．（本小題滿分12分）某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量可否與年齡有關(guān)．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，今后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，在將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成

5組：[50,60)

，[60,70)

，[70,80)

，[80,90)

，[90,100)

分別加以統(tǒng)計(jì)，獲取以以以下圖的頻率分布直方圖．（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足組”工人的頻率．（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)很多于并判斷可否有90%

60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求最少抽到一名“25周歲以下80件者為“生產(chǎn)妙手”，請你依照已知條件完成22的列聯(lián)表，的掌握認(rèn)為“生產(chǎn)妙手與工人所在的年齡組有關(guān)

”？附表：本小題主要觀察古典概型、抽樣方法、獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識，觀察運(yùn)算求解能力、應(yīng)企圖識，觀察必然和或然思想、化歸與轉(zhuǎn)變思想等，滿分12分．解：（Ⅰ）由已知得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名所以，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有600.053（人），記為A1，A2，A3；25周歲以下組工人有400.052（人），記為B1，B2從中隨機(jī)抽取2名工人，所有可能的結(jié)果共有10種，他們是：，，，,B1)，(A1,A2)(A1,A3)(A2,A3)(A1(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)其中，最少有名“周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種，它們是：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，25(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2).故所求的概率：P

710（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)妙手600.2515（人），“25周歲以下組”中的生產(chǎn)妙手400.37515（人），據(jù)此可得22列聯(lián)表以下：生產(chǎn)妙手非生產(chǎn)妙手合計(jì)25周歲以上組15456025周歲以下組152540合計(jì)3070100所以得：K2n(adbc)2100(15251545)225(ab)(cd)(ac)(bd)604030701.7914因?yàn)?.792.706，所以沒有90%的掌握認(rèn)為“生產(chǎn)妙手與工人所在的年齡組有關(guān)”20．（本小題滿分12分）如圖，在拋物線E:y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A．點(diǎn)C在拋物線E上，以C為圓心OC為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l的交于不一樣樣的兩點(diǎn)M,N．（1）若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求MN；（2）若2AMAN，求圓C的半徑．AF本小題主要觀察拋物線的方程、圓的方程與性質(zhì)、直線與圓的地址關(guān)系等基礎(chǔ)知識，觀察運(yùn)算求解能力、推理論證能力，觀察函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)變思想．滿分12分．解：（Ⅰ）拋物線y24x的準(zhǔn)線l的方程為x1，由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d2，又|CO|5．所以|MN|2|CO|2d22542.（Ⅱ）設(shè)C(y02,y0)，則圓C的方程為(xy02)2(yy0)2y04y02，4416即x2y02xy22y0y0.2由x1，得y22y0y1y0202設(shè)M(1,y1)，N(1,y2)，則：4y24(1y02)2y240020y021y1y22由|AF|2|AM||AN|，得|y1y2|4所以y0214，解得y06，此時02所以圓心C的坐標(biāo)為(3,6)或(3,6)22從而|CO|233，|CO|33，即圓C的半徑為3342221（本小題滿分12分）如圖，在等腰直角三角形OPQ中，OPQ90，OP22，點(diǎn)M在線段PQ上．（1）若OM3，求PM的長；（2）若點(diǎn)N在線段MQ上，且MON30，問：當(dāng)POM取何值時，OMN的面積最??？并求出頭積的最小值．本小題主要觀察解三角形、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，觀察推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，觀察函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)變思想．滿分12分．解：（Ⅰ）在OMP中，OPM45，OM5，OP22，由余弦定理得，OM2OP2MP22OPMPcos45，得MP24MP30，解得MP1MP3．或（Ⅱ）設(shè)POM，060，在OMP中，由正弦定理，得OMOP，sinOPMsinOMP所以同理

OPsin45OM，sin45OPsin45ONsin75故SOMN1OMONsinMON21OP2sin2454sin45sin751sin45sin45301sin453sin451cos452213sin2451sin45cos4522131cos9021sin90244133sin21cos2444131sin23042因?yàn)?60，30230150，所以當(dāng)30時，sin230的最大值為1，此時OMN的面積取到最小值．即2POM30時，OMN的面積的最小值為843．22（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)x1a（aR，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．ex（1）若曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸，求a的值；（2）求函數(shù)f(x)的極值；（3）當(dāng)a1的值時，若直線l:ykx1與曲線yf(x)沒有公共點(diǎn)，求k的最大值．本小題主要觀察函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，觀察推理論證能力、運(yùn)算求解能力，觀察函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)變思想．滿分14分．解：（Ⅰ）由fxx1a，得fx1a．exex又曲線yfx在點(diǎn)1,f1處的切線平行于x軸，得f10，即1a0，解得ae．e（Ⅱ）fx1ax