第16章

連續(xù)時間信號與系統的復頻域分析§16.1引言§16.2拉普拉斯變換§16.3拉普拉斯變換的性質§16.4單邊拉普里斯變換§16.5拉普拉斯反變換§16.6用拉普拉斯變換法分析系統§16.7系統的穩(wěn)定性分析§16.1引言

●

雖然FT在信號與LTI系統分析中得到了廣泛應用，但仍有一些不方便之處，例如：

①

一些常用的重要信號，如ε(t)、r(t)、cosωt等的經典FT不存在。雖然找到了它們的FT，但由于含有δ函數，使求反變換變得困難，限制了FT在系統分析中的應用。

②

像指數增長信號eαtε(t)

(α>0)這樣的重要信號，其FT不存在。

③

在應用FT分析信號通過LTI系統的過程中，僅限于分析零狀態(tài)下的LTI系統。●

針對以上問題，需要尋找信號的其他變換，以拓寬信號與系統的變換域分析方法，適應不同的需要。一、

雙邊LT的定義§16.2拉普拉斯變換（LaplaceTransform，簡寫LT）●

設信號f(t)不滿足絕對可積，即【例】●

改稱【例】圖示雙邊信號

f(t)，也不滿足絕對可積【一般情況】【定義】在適當的σ=Re[s]的取值下，稱F(s)為f(t)的雙邊LT，簡稱“LT

”。【由F(s)求原函數f(t)】●

因為所以●

考慮復變量所以【歸納】適當選取σ【LT的數學意義】

①

雙邊LT是經典FT的推廣，經典FT是雙邊LT的特例。

②

利用FT、LT分解信號之別：

●利用LT分解信號：指數規(guī)律的變幅度正弦的連續(xù)和●利用經典FT分解信號：【前例】另：二、

雙邊LT的收斂域●

我們曾一再強調：LT是無窮積分，它收斂于F(s)的條件是：使f(t)e－σt

經典FT存在的那些σ的取值范圍。換言之，復變函數F(s)存在的條件是：復變量

s只能在滿足此條件的復平面上取值。s復平面的這一范圍，稱為雙邊LT的“收斂域”。例如●

不標明收斂域的F(s)表達式是無意義的?！?/p>

F(s)收斂域以收斂坐標為邊界,收斂坐標是F(s)的極點。收斂域含σ=∞收斂域含σ=－∞【由f(t)的時域特性確定F(s)收斂域（ROC）的類型】●由前所述，若f(t)滿足下式，則其LT存在。

⑴

f(t)是右邊信號時，其LT的收斂域為收斂坐標右邊的s復平面。

Re[s]=σ=∞時是否收斂，決定于f(t)的起始時刻?！咀C】

●t<0部分，對任意有限的σ值，總有●【例16－1】，α為實數。【例】●由前所述，若f(t)滿足下式，則其LT存在。

⑵

f(t)是左邊信號時，其LT的收斂域為收斂坐標左邊的s復平面。

Re[s]=σ=－∞時是否收斂，決定于f(t)的起始時刻?！咀C】

●t>0部分，對任意有限的σ值，總有●【例16－2】，α為實數?！纠俊裼汕八?，若f(t)滿足下式，則其LT存在。

⑶

f(t)是雙邊信號時，其LT的收斂域為s復平面的帶狀域?！咀C】●●●由前所述，若f(t)滿足下式，則其LT存在。

⑷

f(t)是時間有限信號,其LT收斂域為整個s平面(±∞處不定)?！咀C】顯然，只要σ有限，必有【例16－3】【解】【例16－4】【解】羅必搭法則三、

有理像函數F(s)的零、極點和零極圖●許多常用信號

f(t)的像函數F(s)具有有理分式的形式，即●F(s)的極點：使F(s)的值等于∞的那些s值?！馞(s)的零點：使F(s)的值等于零的那些s值。●F(s)的零極圖：在s平面上，標注了F(s)的零、極點的圖。●F(s)的ROC：在s平面上,使F(s)存在的s取值范圍。陰影表示?！纠?6－5】【解】ROC以極點為邊界，內部可以有零點。零點總數，等于極點總數。（含∞處）【例16－6】【解】【例16－7】【解】●為求ROC，應先找出零、極點。零極點低消。羅必搭法則【例16－8】【解】【例16－9】【解】●F(s)的ROC未知，故可以有以下的4種情況，如圖：右邊信號左邊信號雙邊信號雙邊信號§16.3拉普拉斯變換的性質●

目的有三：①函數t域變化后,直接得到s域變化即LT如何變化的結果；②由簡單信號的LT，通過LT的性質，容易寫出復雜信號的LT；③得到信號s域分析、系統s

域分析的一些重要結論。（一）線性式中a、b為任意常數。●●【證明】按定義式，略。見【例16－10】不是電阻，是σ取值范圍。（二）時移【證明】按定義式（類似FT時移性質的證明），略?！纠?6－11】根據ε(t)的LT，再利用時移性質重求【例16－7】的f(t)=ε(t)－ε(t－T)的LT?！窘狻俊瘛窆省袢弧裨颍篖T的線性性質所致。同【例16－7】結果。（三）復頻移【證明】按定義式（類似FT頻移性質的證明），略。●用此性質，可求出因果單邊等幅正弦、余弦和單邊變幅正弦、余弦的LT。若s0為純虛數，則ROC不變?！纠?6－12】●用此性質和線性性質，有●類似地，單邊正弦：●單邊余弦：式中s0為任意復數?！纠?6－12】●單邊變幅余弦：●用此性質和線性性質，有●類似地，單邊變幅正弦：（四）時間尺度變換（標度）式中a為非零的任意實數?！咀C明】按定義式（類似FT標度性質的證明），略?！纠?6－13】請自學。略?！纠壳螃?2t)的LT?！裼么诵再|，有●結果●因為時域壓縮（展寬），對應s域的ROC展寬（壓縮）。（五）時域卷積【證明】類似FT時域卷積性質的證明，略?！纠?6－14】系統的激勵和單位沖激響應波形如圖，試用LT先求出零狀態(tài)響應的像函數，再求出零狀態(tài)響應的時域函數?！窘狻俊裼脮r移、線性性質，有●用此性質，有若有零極點相消，ROC可能擴大?！褚院髮⒆C明●所以，應用LT的時移性質，有●這一結果，不難用時域直接卷積進行驗證，如圖。（六）復卷積●時域相乘，對應s域的LT作復卷積。此性質應用不多，略?！耦愃艶T頻域卷積性質：時域相乘，對應ω域的FT作頻域卷積。（七）時域微分【證明】【例16－15】●我們知道●所以●又類似FT的時域微分性質的證明，略。若F(s)含坐標原點處的極點，ROC可能擴大。（八）時域積分【證明】類似FT的時域積分性質的證明，略?！裎覀冎馈癖拘再|的ROC，可由時域卷積性質得以說明，即【例16－16】【例16－17】（九）復頻域微分【證明】類似FT的頻域微分性質的證明，略?！窘狻俊穹磸陀么诵再|，有●若α=0，有（十）復頻域積分（十一）初值定理（十二）終值定理

【●Aε(t)

，如此。

】●時域絕對可積因果信號。●原因待續(xù)§16.4單邊拉普拉斯變換一、

單邊LT的定義●信號f(t)(－∞<t<∞)，其單邊LT的定義是：

【說明】單邊LT積分下限取0－，是考慮t=0時的δ函數。單、雙邊LT對比舉例：雙(單)邊LT只能(還可)用于求系統的零狀態(tài)(完全)響應。一、

單邊LT的性質●除以下3個性質外，其余與雙邊相同。（一）

時移【證明】（證畢）一定是右邊域，今后常不予討論●對于雙邊信號，其單、雙邊LT時移性質，有本質區(qū)別：

☆取雙邊LT：

☆取單邊LT：●對于單邊因果信號，單、雙邊LT相同。故，時移性質也相同。【例16－17】【解】●由于是因果信號，故單、雙邊LT相同。【例16－18】【解】●由于是因果信號，故單、雙邊LT相同。（二）

時域微分【證明】●因為f(t)的單邊LT存在，故（證畢）分部積分（三）

時域積分【證明】時域卷積性質，同雙邊LT（證畢）對于因果信號，此項為零【例16－25】電感電壓、電流關系的時域描述如下，試寫出其s域單邊LT的描述關系。【解】【例16－26】電容電壓、電流關系的時域描述如下，試寫出其s域單邊LT的描述關系。【解】●令§16.5拉普拉斯反變換●本節(jié)討論由像函數求原函數的問題，即由F(s)求f(t)?！駟巍㈦p邊LT的反變換公式相同，如下:●這是復變函數求線積分的問題,可轉化為求留數的問題（待續(xù)）。若F(s)是s的有理分式,可采用“部分分式展開”的簡單方法。

一、

部分分式展開法（海維賽展開定理）式中ai、bj

為實數；m、n為正整數?！袢鬽<n，就說F(s)是關于s

的“有理真分式”；若m≥n，就說F(s)是關于s

的“有理假分式”。【注意】部分分式展開法的適用條件：F(s)為s

的有理真分式。

●若m<n，即F(s)為有理真分式，可將分母因式分解，求出n個極點，再按極點將F(s)展開為部分分式。例如，單邊LT●為什么要求F(s)為有理真分式？

●將F(s)按極點展開的原因：f(t)的模式決定于極點；并且展開后得到的最簡有理真分式，正是

基本信號的LT，原函數易求。

●若F(s)是有理假分式，按極點展開后，不能保證各個部分分式均為最簡有理真分式，原函數難求。例如仍不明了如何將其展開為基本信號LT表達式之和？（一）F(s)的n個極點互不相同。

●將F(s)按極點展開，則

●故（二）

F(s)的n個極點中，有s=p1處的k重極點，余互不相同。

●一般情況可展開為

●按前面單極點方法可以求A1,k，有

●故此路不通

●但按此法求A1,i(i≤k－1)，這會使該項前面的各項趨于無窮。例如●若m≥n，F(s)為“有理假分式”，如何處理？

☆

將F(s)的分子、分母進行整式相處,得到一個s的多項式與一個有理真分式之和。而s的多項式對應的原函數是δ函數及其導數。【例】s的有理真分式●說明：不論F(s)是雙邊還是單邊LT，展開方法是一樣的！至s的(m－n)次完整多項式為止【例16－27】由像函數求原函數?！窘狻縁(s)可直接展開?！裼蒖OC可知，f(t)為雙邊信號，即【例16－28】已知像函數及其收斂域，求原函數。【解】F(s)是有理真分式，可直接展開，但有重極點?！裼蒖OC可知，f(t)為單邊因果信號，即得來的方法，或記住或推導。推導：因為類似地所以所以等等。s域微分性質【例16－29】已知像函數及其收斂域，求原函數?！窘夥?】【解法2】

二、

圍線積分法(留數法)求復變函數的線積分，可轉化為求F(s)est

留數。要求：①補充一個無限大圓弧以包圍F(s)est

的全部極點；

保證公式(1)、(2)成立需要滿足約當引理?！炯s當引理】●有理真分式的F(s)，可以滿足條件①?！駎>0時,沿左無限大圓弧積分可滿足條件②

,由留數定理,有(t>0)(t<0)負號是因為順時針圍線②F(s)est

在無限大圓弧上的線積分為零：●t<0時,沿右無限大圓弧積分可滿足條件②

,由留數定理,有（1）

F(s)est

在一階極點pi處的留數由復變函數理論，極點留數如下：（2）

F(s)est

在k階重極點pi處的留數留數法還適用于非有理分式的F(s)?！纠?6－30】已知像函數及其收斂域，求原函數?！窘狻?/p>

●t<0時：

●t>0時：請用部分分式展開法重做此題，以便比較。§16.6用LT分析LTI系統LT是分析LTI系統的強有力的數學工具，故有“計算器”之稱。但是，物理意義不像FT那樣強調。一、用LT求LTI系統的零狀態(tài)響應●

t域：●

s域：【例16－31】已知激勵x(t)=ε(t)，求yZS(t)。其中系統單位沖激響應分別為【解】⑴⑵⑶【例16－31】已知激勵x(t)=ε(t)，求yZS(t)。其中系統單位沖激響應分別為【討論】⑴⑵⑶●

為求因果系統的H(s),h(t)的單邊或雙邊LT相同，如⑴。●為求非因果系統的H(s),只能采用h(t)的雙邊LT，如⑵、⑶

?！?/p>

因果系統受激于t≥0的因果激勵

，其YZS(s)的收斂域必為S平面右邊域，所以不必考慮收斂域的問題，如⑴。二、用LT解LTI系統的微分方程為方便，令系統因果,且激勵在t≥0，求t>0的響應。因此，在s域分析時不必考慮收斂域問題。用LT解微分方程的過程是：先對微分方程兩邊取LT，得到關于激勵和響應像函數的代數方程；然后再通過LT－1得到響應函數的時域表達式。。雙邊LT只能求解系統的零狀態(tài)響應。而單邊LT，既能求解零狀態(tài)響應又能求解零輸入響應，也能一舉求出完全響應。●對微分方程兩邊取單邊LT：①

因x(t)在t≥0接入，故X(s)可省去下標“u”,即②

y(t)也只考慮t>0情況，t<0情況記錄在初始條件中，故

…………Y(s)也可省去下標“u”,即t>0單邊信號的單雙邊LT相同信號導函數的單邊LT記錄了初始條件利用單邊LT的時域微分性質，有n=1時(i=1,r=0)：a1[sY(s)－y(0－)]【討論】用單邊LT解因果系統微分方程，一舉求出完全響應，繞過了確定系統0+初始條件的問題。當然0－初始條件還要自定，容易。上述方程，是關于激勵和響應LT的代數方程，是微分方程的變換方程。令系統激勵為δ(t)，則零狀態(tài)響應為h(t)，代入系統微分方程●兩邊取LT(單雙邊一樣)，則【例16－32】因果系統微分方程為【解】這是求系統t>0的全響應問題，應采用單邊LT，有注意：x(0－)=0yZi(s)yZS(s)可分別求【例16－33】用LT重解【例12－6】：圖示電路，t<0時已達穩(wěn)態(tài)，t=0時開關K自“1”到“2”。試求：t>0時的回路電流i

(t

)。⑴列寫t>0時的電路方程【解】⑵不必將微分積分方程化為微分方程，可直接取單邊LT（結果同前）三、LTI電路系統的復頻域分析法（s域模型法）例16－33解法還不最簡，仍需列電路方程?？梢苑抡誏TI電路正弦穩(wěn)態(tài)的相量模型法，總結出電路系統的s域模型法。對于LTI電路系統，先利用單邊LT得到s域模型（假想的數學模型），再像像電阻電路那樣去求解s域模型，從而首先得到響應變量的像函數，然后再求反變換。要特別強調：雖然LTI電路系統的相量模型與s域模型的數學求解完全類似，但前者僅適用正弦穩(wěn)態(tài)相應，而后者卻適用任意激勵下的完全響應。（一）元件VAR的s域形式●由上面元件VAR的s域形式,可得到“元件s域模型”。電阻，略。●若動態(tài)元件初始無儲能,則s域元件模型很簡單。變換到s域變換到s域具有初始儲能動態(tài)元件的t域和s域等效變換的對照：原則①：C→1/Cs，L→Ls；【】②：變量用其LT替代，且參考方向不變。【】

電阻電路一切方法。t域等效t域等效變換到s域變換到s域==【例16－34】圖示電路，x(t)=10ε(t)，uC(0－)=5V，iL(0－)=4A。試求i1(t)?！窘狻慨媠域模型，如圖。對s域模型，像電阻電路一樣，解出I1(s)。無需考慮收斂域。因為因果系統因果激勵，收斂域肯定是s平面右邊域?！纠?6－35】用s域模型法重解【例16－33】：圖示電路，t<0時已達穩(wěn)態(tài)，t=0時開關K自“1”到“2”。試求：t>0時的回路電流i

(t

)。【解】依題意:i(0－)=0,uC(0－)=10V。故可畫出t>0的s域模型，無需列微分方程，如圖。對s域模型，像電阻電路一樣，解出I

(s)。（結果同前）【例16－36】圖示電路，初始狀態(tài)為零。x1(t)=ε(t)，x2(t)=δ(t)。試用s域模型法求uC1(t)、uC2(t)。【解】依題意:uC1(0－)=uC2(0－)=0。故可畫出t>0的s域模型，如圖。對s域模型，像電阻電路一樣，解出UC1

(s)、UC2

(s)：UC1

(s)UC2

(s)2激勵2響應，若列微分方程，需4個。麻煩。四、系統函數H(s)令激勵為δ(t),則零狀態(tài)響應為h(t),代入系統微分方程兩邊取LT（零狀態(tài)下，單、雙邊一樣），則于是得到H(s)H(s)的其他求法：即【定義】

（一）定義對比H(jω)的數學意義與H(s)的數學意義：振幅被H(jω)的模加權，并產生附加相移fh(ω)。激勵分解為變幅正弦響應分解為變幅正弦激勵分解為等幅正弦響應分解為等幅正弦振幅被H(s)的模加權，并產生附加相移fh(ω)。⑴因果（條件）●t

域：用h(t)判斷，滿足t<0時h(t)=0?！駍

域：用H(s)判斷，其收斂域一定為σ>－∞的右s平面。因為h(t)←→H(s)

，其LT的收斂域一定如此。⑵零狀態(tài)穩(wěn)定（條件）●t

域：●s

域：系統H(s)的收斂域一定含s平面jω

軸。因為滿足此條件的h(t)的經典FT存在，此時可以有●ω

域：信號的經典FT存在。總體不一定穩(wěn)定（二）用H(s)判斷系統的因果性和穩(wěn)定性（三）從H(s)的零極點分布判斷h(t)的時域特性令系統因果，m<n。⑴H(s)中的單階極點●原點處的極點：●實軸處的極點：等幅直流●jω軸上的虛數極點，必成共軛對出現：等福正弦●左s平面的復數極點，必成共軛對出現：指數衰減正弦●右s平面的復數極點，必成共軛對出現：指數增幅正弦⑵H(s)中的高階極點根據LT的s

域微分性質，有以下結論：●二階極點對應的時域函數模式為，t

乘以一階極點對應的時域函數模式；三階極點對應的時域函數模式為，t2

乘以一階極點對應的時域函數模式；……。例如，實軸上的一階極點●余，類推。【前述，因果系統】【結論】●原點處的極點：●jω軸上共軛虛極點：●左s

平面極點：●右s

平面極點：⑴

若H(s)極點全部在左s

平面，則⑵

只要H(s)有極點在右s

平面，則⑶

若H(s)無右s平面極點，jω軸上有單階極點，則●此時H(s)收斂域含jω軸。（四）因果系統總體穩(wěn)定的充分條件故，零輸入、零狀態(tài)響應均漸近穩(wěn)定，即總體漸近穩(wěn)定。【s

域描述】●若H(s)沒有零極點相消,則H(s)的極點就是微分方程的全部特征根。

【證明】此時，就是特征方程。若H(s)無零極點相消由前，若H(s)極點全部在左s

平面，則【t

域描述】第13章或：H(s)的收斂域含jω軸（此敘述也適用于非因果系統）（五）從H(s)的零極點分布判斷H(jω)的特性若因果系統H(s)極點全部在左s平面，（此時H(s)收斂域含jω軸），則【前述結論】于是可有●事實上，此式也正是滿足絕對可積信號的FT和LT的關系?！裣旅?，討論由H(s)粗略畫出系統幅、相頻率特性曲線的方法。H(s)收斂域含jω軸的系統●可見，H(jω)的分子分母只是復數相乘而已。其中●又，零、極點因子也只是復數相減而已。●令則其中●如圖?！耦愃频兀骸袼裕骸究偨Y】⑴

│H(jω)│求法：在jω軸上取ω0：①將所有零點因子的模相乘，將所有極點因子的模相乘，二者相除再乘以k0即可得到│H(jω0)│；②取ω=0～∞，重復此過程，即得到│H(jω)│。⑵

fh(ω)求法：在jω軸上取ω0：①將所有零點因子的幅角相加，將所有極點因子的幅角相加，二者相減即可得到fh(ω0)；②取ω=0～∞，重復此過程，即得到fh(ω)。（1）一階系統的H(jω)【例16－41】圖示一階電路，【解】畫出幅、相頻響曲線。由s域模型，得●ω=0時：●ω=1/RC時：●ω→∞時：（2）二階系統的H(jω)【例16－42】圖示二階電路，畫出幅、相頻響