北京理工大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》§1隨機(jī)變量§2離散型隨機(jī)變量及其分布律§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)§4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度§5隨機(jī)變量函數(shù)的分布第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量一隨機(jī)變量的概念為了更深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要建立數(shù)學(xué)模型，隨機(jī)變量是隨機(jī)現(xiàn)象的最基本的數(shù)學(xué)模型。引入了隨機(jī)變量，我們就可以用隨機(jī)變量的值表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。

1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）例如

擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；觀察某天從北京下火車的人數(shù)；觀察昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)

2、此外，還有些試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果。也就是說，可以將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化。正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼一樣，二者之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù)。

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間S={e,e是樣本點(diǎn)}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱

X=X(e)

為隨機(jī)變量。由此看到，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)值來示，因此引入隨機(jī)變量的概念定義e.X(e)R對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x

，集合

而表示隨機(jī)變量所取的數(shù)值時(shí),一般采用小寫字母x,y,z等隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示二隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件。引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究。例1

一批產(chǎn)品有50件，其中有8件次品，42件正品，現(xiàn)從中取出

6

件

X表示取出6件產(chǎn)品中的次品數(shù)

則X

就是一個(gè)隨機(jī)變量

它的取值為0，1，2，…，6表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機(jī)事件表示取出的產(chǎn)品至少有一件是次品這一隨機(jī)事件注意X的取值是有限個(gè)！

例2上午8:00～9:00

在某路口觀察

Y表示該時(shí)間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)

則Y

就是一個(gè)隨機(jī)變量

它的取值為0，1，…．表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件注意Y

的取值是可列無限個(gè)！表示通過的汽車數(shù)大于50輛但不超過100輛這一隨機(jī)事件

例3觀察某生物的壽命（單位：小時(shí)）

Z表示該生物的壽命

則Z

就是一個(gè)隨機(jī)變量

它的取值為所有非負(fù)實(shí)數(shù)表示該生物的壽命大于

3000小時(shí)這一隨機(jī)事件表示該生物的壽命不超過1500小時(shí)這一隨機(jī)事件注意Z的取值是不可列無限個(gè)！例4

擲一枚硬幣，令則X是一個(gè)隨機(jī)變量請(qǐng)問：X表示什么含義？例5

擲一枚骰子，令等等一

離散型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)§2離散型隨機(jī)變量及其分布律有些隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可列個(gè)值。例如被訪問者的性別、年齡、職業(yè)；一批產(chǎn)品中次品個(gè)數(shù)；一個(gè)醫(yī)學(xué)試樣中白細(xì)胞個(gè)數(shù)；擲兩個(gè)骰子第一次得到12點(diǎn)的次數(shù)；等等。定義如果隨機(jī)變量X只取有限個(gè)值或可列個(gè)值則稱X是離散型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的定義定義設(shè)X

是離散型隨機(jī)變量，稱離散型隨機(jī)變量的分布律為X的分布律。離散型隨機(jī)變量的分布律也常常用如下方式表達(dá)說明

離散型隨機(jī)變量可完全由其分布律來刻劃。即離散型隨機(jī)變量可完全由其可能的取值以及取這些值的概率唯一確定。分布列的性質(zhì)用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是離散型概率分布函數(shù)例1

從1～10這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，X

表示取出的5個(gè)數(shù)字中的最大值。試求X

的分布律。即X

的分布律為解

X

的取值為5，6，7，8，9，10.

并且例2

設(shè)離散型隨機(jī)變量X

的分布律為

則例3

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解由分布列的性質(zhì)，得該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故有所以試求常數(shù)c。例4

設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過，以X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)，求X

的分布律。(信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的)P{X=3}=(1-p)3p解

以p

表示每盞信號(hào)燈禁止汽車通過的概率，則X的分布律為

0

1

2

3

4Xpk

p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4

或?qū)懗?/p>

P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=k}=(1-p)4,k=4.以p=1/2

代入，得Xpk

0

1

2

3

4

0.50.250.1250.06250.0625二幾種常用的離散型隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X只取0或1兩個(gè)值，它的分布律為或則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的（0—1）分布或兩點(diǎn)分布，1、（0—1）分布記作（0

—1）分布的應(yīng)用設(shè)X

表示在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)即記則任何一次試驗(yàn)，當(dāng)只考慮兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果A與

時(shí)，就可以用（0—1）分布來描述，此時(shí)例5

15件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品，從中任取1件。

X表示取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)。則X

的取值為0或者1，并且2、伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布（1）n重伯努利試驗(yàn)一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果A或。再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)：

“重復(fù)”

是指這個(gè)試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件相同，每次試驗(yàn)成功的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p；這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作n重伯努利試驗(yàn)，或稱伯努利概型。它是一種很重要的數(shù)學(xué)模型?！蔼?dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響。對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行n次射擊，若每次射擊只關(guān)心“擊中目標(biāo)”與“未擊中目標(biāo)”兩種情況。n重伯努利試驗(yàn)的例子擲n次硬幣，只關(guān)心“出現(xiàn)正面”與“出現(xiàn)反面”這兩種情況；擲n

顆骰子，如果我們對(duì)每顆骰子只關(guān)心“出現(xiàn)六點(diǎn)”與“不出現(xiàn)六點(diǎn)”這兩種情況；分析設(shè)在n重伯努利試驗(yàn)中每一個(gè)樣本點(diǎn)可記作其中每一個(gè)只取A或，個(gè)。且對(duì)于這樣的一個(gè)基本事件，有n次試驗(yàn)中，k次A出現(xiàn)，n-k次A不出現(xiàn)就是一個(gè)基本事件，k=0,1,2,…,n?，F(xiàn)考慮事件{n重伯努利試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次}，Bkn=現(xiàn)求概率在n次試驗(yàn)中，指定

k次出現(xiàn)A，其余n–k

次出現(xiàn)，這種指定的方法有種，即該事件含有個(gè)不同的樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率是。因此

用X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則這就是我們下面要介紹的二項(xiàng)分布設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2，…，n,

其分布律為則稱X服從參數(shù)為

n和p的二項(xiàng)分布，

記作

（2）二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的應(yīng)用進(jìn)行n重伯努利試驗(yàn)，設(shè)在每次試驗(yàn)中X表示在n重伯努利試驗(yàn)中事件

A發(fā)生的次數(shù)則說明1、顯然，當(dāng)n

=1

時(shí)（0—1）分布是二項(xiàng)分布的一個(gè)特例第k+1項(xiàng)2、稱為二項(xiàng)分布的原因是為二項(xiàng)展開式3、二項(xiàng)分布的特性對(duì)于二項(xiàng)分布B(n,p)，當(dāng)k增加時(shí)，概率P{X=k}先是隨之增加，直至達(dá)到最大值，隨后單調(diào)減少。(見p35例2)如下圖所示：二項(xiàng)分布的概率分布示意圖例6

一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的。某學(xué)生靠猜測至少能答對(duì)4道題的概率是多少？則答5道題相當(dāng)于做5重伯努利試驗(yàn)解

每答一道題相當(dāng)于做一次試驗(yàn)，只關(guān)心“答對(duì)”和“答錯(cuò)”兩種情況。則設(shè)X表示該學(xué)生靠猜測能答對(duì)的題數(shù)設(shè)A={答對(duì)一道題}，則P(A)=1/4因此P{至少能答對(duì)4道題}X的分布律為例7

某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，

獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。解射擊一次相當(dāng)于做一次試驗(yàn)，只關(guān)心“擊中”與“沒擊中”令

X表示擊中的次數(shù)則X~B(400,0.02)則射擊400次相當(dāng)于做400重伯努利試驗(yàn)X的分布律為因此3、泊松分布(Poisson分布)其中是常數(shù)。則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2，…，其分布律為

記作

泊松分布的應(yīng)用電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)；放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)；容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，等等。在一定條件下，都是服從泊松分布的泊松分布是概率論中重要的分布之一。自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從

泊松分布，例如解

隨機(jī)變量X的分布律為由已知試求例8

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的Poisson分布，且已知得由此得方程得解（另一個(gè)解不合題意，舍去）因此4、幾何分布(Geometric分布)則稱X服從參數(shù)是p的幾何分布。則隨機(jī)變量X的所有可能值為1,2，…，其分布律為設(shè)某試驗(yàn)成功概率為p(0<p<1)，獨(dú)立地重復(fù)此試驗(yàn)直到第一次成功，設(shè)X是第一次成功需要的試驗(yàn)次數(shù)

例11對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率為0.64，射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)時(shí)為止，X表示所需射擊次數(shù)。試求隨機(jī)變量X

的分布律，并求至少進(jìn)行2次射擊才能擊中目標(biāo)的概率。解

X的取值為1，2，…，

n…

P{X=n}=P{前n-1次射擊均未擊中，第n次射擊時(shí)擊中目標(biāo)}由獨(dú)立性，得X

的分布列為

作業(yè)

2,3,5,7,12一概率分布函數(shù)的概念與性質(zhì)對(duì)于隨機(jī)變量X，我們不僅要知道X取哪些值，還要知道X取這些值的概率；而且更重要的是想知道X在任意有限區(qū)間內(nèi)取值的概率。§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)分析如果X是離散型隨機(jī)變量，則

例如

計(jì)算事件{X∈

(

a,b]}的概率一般地，無論是離散型還是非離散型隨機(jī)變量對(duì)事件{X∈

(

a,b]}的概率，都有為了對(duì)不同類型的隨機(jī)變量給出一種統(tǒng)一的描述方法，我們引進(jìn)分布函數(shù)的概念。事實(shí)上，如果我們定義

則上述概率分布函數(shù)

即

定義

對(duì)隨機(jī)變量X,稱x的函數(shù)為X的分布函數(shù)。0x分布函數(shù)的概念說明

1、分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來研究隨機(jī)變量。

2、

如果將X

看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)

的值就表示X落在區(qū)間(-∞,x]的概率。3、對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x1,x2(x1<x2)

，有x1

x2

xXo因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述。分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)

F(x)

具有以下基本性質(zhì)10F(x)

是一個(gè)單調(diào)不減的函數(shù)

即2030

右連續(xù)，其中F(x+0)表示F在x處的右極限。

注

如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)。也就是說，上述三條性質(zhì)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件。試說明

F(x)能否是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。例1

設(shè)

解

注意到函數(shù)F(x)在上下降不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù)不滿足性質(zhì)(2)，可見

F(x)也不能是分布函數(shù)或者解X的分布律為

例2

將一枚均勻的硬幣拋擲三次，X表示三次中正面出現(xiàn)的次數(shù)，求X

的分布律及分布函數(shù)；并求下面求X的分布函數(shù)二離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，0

1

23x1分布函數(shù)F(x)的圖形所以下面利用F(x)求概率分布函數(shù)分布律離散型隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù)的關(guān)系圖示如下分布函數(shù)F(x)的圖形是階梯形、右連續(xù)、單調(diào)不減的曲線；在X=xk,k=1,2,3,…處，有跳躍，其跳躍值恰好等于

P（X=xk）=pk§4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)在線段上隨機(jī)投點(diǎn)的位置、溫度、氣壓、電壓、電流等物理量等等，理論上可以取到某個(gè)區(qū)間的任何實(shí)數(shù)值。對(duì)這種類型的隨機(jī)變量，不能象離散型隨機(jī)變量那樣，以指定它取每個(gè)值概率的方式給出其概率分布，而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式，從而得到連續(xù)型隨機(jī)變量的概念。定義如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)函數(shù)f(x),使對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)

f(x)稱為

X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度。連續(xù)型隨機(jī)變量的概念xyxF(x)分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)

f(x)的幾何意義-10-550.020.040.060.08由定義知道，概率密度f(x)

具有以下性質(zhì)f(x)0x1概率密度的性質(zhì)這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某X的概率密度函數(shù)的充要條件這是因?yàn)樽?/p>

由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義，我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題。連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)：設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)數(shù)集A

(嚴(yán)格意義下要求可測性),

（1）設(shè)X具有概率密度f(x)，則

特別地，在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處，有

密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系（2）設(shè)X具有分布函數(shù)F(x)。若除去有限個(gè)或可列個(gè)點(diǎn)外，F(xiàn)(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則X是連續(xù)型隨機(jī)變量，且其密度函數(shù)可定義為當(dāng)存在否則注

1、對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量,密度函數(shù)唯一決定分布函數(shù)。

2、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)一定是連續(xù)的；但分布函數(shù)連續(xù)的隨機(jī)變量不一定是連續(xù)型的

(除了連續(xù)型分布和離散型分布以外還存在其它類型的分布)。3

F(x)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處，根據(jù)改變被積

函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，

可以在F’(x)沒意義的點(diǎn)處，任意規(guī)定的值，一般令其為0。例1

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為解⑴由密度函數(shù)的性質(zhì)求：⑴常數(shù)c；例2

某電子元件的壽命X（單位：小時(shí)）是以為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量。求5個(gè)同類型的元件在使用的前150小時(shí)內(nèi)恰有2個(gè)需要更換的概率。解設(shè)A={某元件在使用的前150小時(shí)內(nèi)需要更換}檢驗(yàn)5個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做一個(gè)5重伯努利試驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率是1/3

B={5個(gè)元件中恰有2個(gè)的使用壽命不超過

150小時(shí)}例3

設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度

確定常數(shù)k

；(2)求X的分布函數(shù)；(3)

求解(1)由得故，X的概率密度函數(shù)為(2)由得(3)當(dāng)然，還可以用概率密度求概率。例4

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

確定A、B的值；(2)

求X的概率密度；(3)

求故有解(1)

因?yàn)閄是連續(xù)型隨機(jī)變量，所以F(x)連續(xù)即因此(3)(2)

由得當(dāng)然，還可以用概率密度求概率。注

在

F(x)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處，根據(jù)改變被積

函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，

可以在沒意義的點(diǎn)處，任意規(guī)定的值，一般令其為0。二幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量1、均勻分布則稱X在區(qū)間（a,b）上服從均勻分布，若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為記作均勻分布密度函數(shù)的圖形其分布函數(shù)為Xabxll0X設(shè)[c,c+l](a,b)

均勻分布的特性如果隨機(jī)變量X在區(qū)間（a,b）上服從均勻分布，則X落在區(qū)間（a,b）中的任意一個(gè)子區(qū)間上的概率與該子區(qū)間的長度成正比，而與該子區(qū)間的位置無關(guān)。即隨機(jī)變量X落在區(qū)間（a,b）中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的。

例5

設(shè)公共汽車站從上午7時(shí)起每隔15分鐘來一班車，如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是7:00到7:30

之間均勻分布的隨機(jī)變量，試求該乘客候車時(shí)間不超過5分鐘的概率。解設(shè)該乘客于7時(shí)X分到達(dá)此站則X服從區(qū)間[0,30]上的均勻分布令B={候車時(shí)間不超過5分鐘}則2、指數(shù)分布其中θ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布。若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為指數(shù)分布的另一種等價(jià)定義其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為指數(shù)分布密度函數(shù)的圖形則其分布函數(shù)為指數(shù)分布的應(yīng)用指數(shù)分布具有“無記憶性”。所以，又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”的分布。對(duì)任意

s,t>0,有“無記憶性”：若X服從參數(shù)為θ

的指數(shù)分布，則

指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似。

作業(yè)

20，21，24，25正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯(Gauss)加以推廣，所以通常稱為高斯分布。德莫佛德莫佛（DeMoivre)最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面。3、正態(tài)分布正態(tài)分布的應(yīng)用若隨機(jī)變量X受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，而每一個(gè)別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加，則X服從正態(tài)分布。正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛、最重要的一種分布。例如各種測量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績；

……

都服從或近似服從正態(tài)分布。其中μ，σ

（

σ

>0）為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ，σ

的正態(tài)分布或高斯分布。

記作定義：若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形其分布函數(shù)為正態(tài)分布密度函數(shù)曲線的特點(diǎn)（1）曲線關(guān)于直線

x=

對(duì)稱：

f(+x)=f(-x)；（2）在

x=

時(shí)，

f(x)取得最大值（3）在

x=±

時(shí)，曲線

y=f(x)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處有拐點(diǎn)；（4）曲線

y=f(x)以x軸為漸近線；（5）曲線

y=f(x)的圖形呈單峰對(duì)稱狀；（1）

—位置參數(shù)即固定，改變

的值，則f(x)的形狀不變，只是位置不同，沿著x軸作平移變換。正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)

的兩個(gè)參數(shù)的幾何意義：（2）

—形狀參數(shù)即固定

，改變

的值，則f(x)圖形的對(duì)稱軸不變，而形狀在改變。越小，圖形越高越瘦；越大，圖形越矮越胖。當(dāng)μ=0，σ=1

時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。其概率密度和分布函數(shù)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)的圖形重要結(jié)論

命題1.若，則

1、3、2、證明1、

的分布函數(shù)為故2、由1得3、由2

得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過一定的線性變換（標(biāo)準(zhǔn)化變換）轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)上述結(jié)論，只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以通過查表解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題。（教材附表2.）說明例5

設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1)，試求（1）；解（1）（2）

（2）

解（1）例6

設(shè)隨機(jī)變量X~N(2,9)，試求（1）；（2）

；

（3）

（2）（3）這說明，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)。若X~N(0,1)

，則

命題2.3σ—準(zhǔn)則一般地，若

，則

可以看到，X的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi)，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作正態(tài)分布3σ—準(zhǔn)則。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上

分位數(shù)

z設(shè)X~N(0,1),0<<1,稱滿足的點(diǎn)

z

為X的上分位數(shù)。

z常用的幾個(gè)數(shù)據(jù)這一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)

離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

分布律與分布函數(shù)的關(guān)系

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣求截面面積

A=

的分布例如已知圓軸截面直徑d

的分布，§5隨機(jī)變量函數(shù)的分布又如，已知t=t0

時(shí)刻噪聲電壓

V的分布，求功率

W=V2/R

(R為電阻）的分布思考：設(shè)隨機(jī)變量X

的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由X

的分布求出

Y

的分布？這個(gè)問題無論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的

下面進(jìn)行討論一離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1

設(shè)離散型隨機(jī)變量X

的分布律為隨機(jī)變量Y=2X－3

，試求Y的分布律。解概率所以，隨機(jī)變量Y=2X－3

的分布律為

解

例2

設(shè)隨機(jī)變量

X

的分布律為pkX-10120.20.30.10.4試求Y=(X-1)2

的分布律。概率pkY

0140.10.70.2所以，Y=(X-1)2

的分布律為解題思路二連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為

再設(shè)Y=g(X)是X的函數(shù)，假定Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量，試求Y=g(X)的概率密度（1）先求Y=g(X)的分布函數(shù)（2）利用，求Y=g(X)的

密度函數(shù)解(1)

設(shè)Y的分布函數(shù)為

FY(y)例3設(shè)X

的概率密度求

Y=2X+8的概率密度。(2)

利用可以求得因此例4

設(shè)

X具有概率密度

,求

Y=X2的概率密度。當(dāng)

時(shí)，

因?yàn)椋?/p>

(1)設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為和

所以當(dāng)

時(shí)，

(2)

利用可以求得則

Y=X2

的概率密度為例如設(shè)X~N(0,1),

其概率密度為此時(shí)稱

Y服從自由度為1的分布例5

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求Y=sinX的概率密度。解

(1)顯然，X的取值范圍為，Y的取值范圍為因此，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

(2)

利用可以求得下面給出一個(gè)定理，在滿足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度。定理

設(shè)

X是一個(gè)取值于區(qū)間[a,b]，具有概率密度

f(x)的連續(xù)型隨機(jī)變量

；又設(shè)y=g(x)處處

可導(dǎo)，且對(duì)于任意

x,恒有或恒有；則Y=g(X)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變

量

,

它的概率密度為

其中，

x=h(y)是

y=g(x)的反函數(shù)下面我們用這個(gè)定理來解一個(gè)例題證X的概率密度為例6

設(shè)隨機(jī)變量，試證明X

的線性函數(shù)也服從正態(tài)分布。的反函數(shù)為顯然，滿足定理?xiàng)l件所以即若函數(shù)y=g(x)在不相疊的區(qū)間上逐段滿足上述定理?xiàng)l件（即分段單調(diào)可導(dǎo)），其反函數(shù)分別為則Y=g(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為定理的推廣：

作業(yè)

26，34，35（2）,（3）第二章習(xí)題1、設(shè)

,為隨機(jī)變量

,

的分布函數(shù).為使為一分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取

A.

a=3/5,b=-2/5;

B.

a=2/3,b=2/3

C.

a=-1/2,b=3/2;

D.

a=1/2,b=-3/2

解:答案為

A提示:由得2、設(shè)且，求解:因?yàn)?/p>

所以因此解得（不合題意，舍去）故3、如果在時(shí)間t（分鐘）內(nèi),某紡織工人看管的織布機(jī)斷紗次數(shù)服從參數(shù)與t成正比的泊松分布.已知在一分鐘內(nèi)不出現(xiàn)斷紗的概率為

0.2，求在2分鐘內(nèi)至少出現(xiàn)一次斷紗的概率由已知，當(dāng)t=1時(shí)，解:設(shè)X表示某紡織工人看管的織布機(jī)斷紗次數(shù),

則當(dāng)t=2時(shí)解得故，2分鐘內(nèi)至少出現(xiàn)一次斷紗的概率即解:

4、設(shè)隨機(jī)變量X~U(-2,2)

，Y表示作獨(dú)立重復(fù)m次試驗(yàn)中事件(X>0

)

發(fā)生的次數(shù)，則Y~＿＿

。提示:X落入?yún)^(qū)間(1,3)的概率最大5、設(shè)隨機(jī)變量，當(dāng)時(shí)

解:記即求為何值時(shí)，達(dá)到最大令得解得Poisson定理

設(shè)在n重貝努里試驗(yàn)中，以代表事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，它與試驗(yàn)總數(shù)n有關(guān)。若則Poisson定理的應(yīng)用

—二項(xiàng)分布與泊松分布關(guān)系由Poisson定理，可知有令則當(dāng)n比較大，p

比較小時(shí)說明當(dāng)n≥20,p≤0.05

時(shí)，近似效果很好。6、設(shè)有80臺(tái)同類型的設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法：

其一，由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20

臺(tái)；其二，由3

人，共同維護(hù)80

臺(tái)試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。

解第一種方法：

以X記“第1人負(fù)責(zé)的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”，則X~B(20，0.01）以Ai表示事件“第i人負(fù)責(zé)的20臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修”則80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為故本問還可以用Poisson定理所得的近似公式計(jì)算：由于n=20,p=0.01,則λ=np=20×0.01=0.2因此故第二種方法：

以

Y記“80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”