第七章灰色預測模型及其應用運籌學OperationalResearch1整理ppt

灰色預測模型（GrayForecastModel）是通過少量的、不完全的信息，建立數(shù)學模型并做出預測的一種預測方法.當我們應用運籌學的思想方法解決實際問題，制定發(fā)展戰(zhàn)略和政策、進行重大問題的決策時，都必須對未來進行科學的預測.預測是根據(jù)客觀事物的過去和現(xiàn)在的發(fā)展規(guī)律，借助于科學的方法對其未來的發(fā)展趨勢和狀況進行描述和分析，并形成科學的假設和判斷.2整理ppt灰色系統(tǒng)理論是研究解決灰色系統(tǒng)分析、建模、預測、決策和控制的理論.灰色預測是對灰色系統(tǒng)所做的預測.目前常用的一些預測方法（如回歸分析等），需要較大的樣本.若樣本較小，常造成較大誤差，使預測目標失效.灰色預測模型所需建模信息少，運算方便，建模精度高，在各種預測領(lǐng)域都有著廣泛的應用，是處理小樣本預測問題的有效工具.3整理ppt7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點7.2灰色系統(tǒng)的模型7.3銷售額預測7.4城市道路交通事故次數(shù)的灰色預測7.5城市火災發(fā)生次數(shù)的灰色預測7.6災變與異常值預測4整理ppt7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點5整理ppt7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點

灰色系統(tǒng)理論是由華中理工大學鄧聚龍教授于1982年提出并加以發(fā)展的。二十幾年來，引起了不少國內(nèi)外學者的關(guān)注，得到了長足的發(fā)展。目前，在我國已經(jīng)成為社會、經(jīng)濟、科學技術(shù)在等諸多領(lǐng)域進行預測、決策、評估、規(guī)劃控制、系統(tǒng)分析與建模的重要方法之一。特別是它對時間序列短、統(tǒng)計數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的分析與建模，具有獨特的功效，因此得到了廣泛的應用.在這里我們將簡要地介紹灰色建模與預測的方法，更進一步的內(nèi)容可參考文獻[23],[24],[25]。6整理ppt7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點

1.灰色系統(tǒng)的定義

灰色系統(tǒng)是黑箱概念的一種推廣。我們把既含有已知信息又含有未知信息的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng).作為兩個極端，我們將稱信息完全未確定的系統(tǒng)為黑色系統(tǒng)；稱信息完全確定的系統(tǒng)為白色系統(tǒng).區(qū)別白色系統(tǒng)與黑色系統(tǒng)的重要標志是系統(tǒng)各因素之間是否具有確定的關(guān)系。7整理ppt7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點

2.灰色系統(tǒng)的特點（1）用灰色數(shù)學處理不確定量，使之量化.（2）充分利用已知信息尋求系統(tǒng)的運動規(guī)律.（3）灰色系統(tǒng)理論能處理貧信息系統(tǒng).8整理ppt7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點

常用的灰色預測有五種：

（1）數(shù)列預測，即用觀察到的反映預測對象特征的時間序列來構(gòu)造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間。（2）災變與異常值預測，即通過灰色模型預測異常值出現(xiàn)的時刻，預測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。（3）季節(jié)災變與異常值預測，即通過灰色模型預測災變值發(fā)生在一年內(nèi)某個特定的時區(qū)或季節(jié)的災變預測。（4）拓撲預測，將原始數(shù)據(jù)作曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時點，并以該定值為框架構(gòu)成時點數(shù)列，然后建立模型預測該定值所發(fā)生的時點。（5）系統(tǒng)預測.通過對系統(tǒng)行為特征指標建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預測模型，預測系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。9整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型10整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型

通過下面的數(shù)據(jù)分析、處理過程，我們將了解到，有了一個時間數(shù)據(jù)序列后，如何建立一個基于模型的灰色預測。

1.數(shù)據(jù)的預處理首先我們從一個簡單例子來考察問題.

【例7.1】設原始數(shù)據(jù)序列11整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型對數(shù)據(jù)累加

于是得到一個新數(shù)據(jù)序列12整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型

歸納上面的式子可寫為稱此式所表示的數(shù)據(jù)列為原始數(shù)據(jù)列的一次累加生成，簡稱為一次累加生成.顯然有

將上述例子中的

分別做成圖7.1、圖7.2.可見圖7.1上的曲線有明顯的擺動，圖7.2呈現(xiàn)逐漸遞增的形式，說明原始數(shù)據(jù)的起伏已顯著弱化.可以設想用一條指數(shù)曲線乃至一條直線來逼近累加生成數(shù)列

13整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型圖7.2圖7.1為了把累加數(shù)據(jù)列還原為原始數(shù)列，需進行后減運算或稱相減生成，它是指后前兩個數(shù)據(jù)之差，如上例中14整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型歸納上面的式子得到如下結(jié)果：一次后減其中15整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型2.建模原理給定觀測數(shù)據(jù)列經(jīng)一次累加得設滿足一階常微分方程（7.1）

（7.2）

（7.3）

16整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型

其中是常數(shù)，稱為發(fā)展灰數(shù)；稱為內(nèi)生控制灰數(shù)，是對系統(tǒng)的常定輸入.此方程滿足初始條件的解為(7.3)’

對等間隔取樣的離散值(注意到）則為

(7.4)

灰色建模的途徑是一次累加序列（7.2）通過最小二乘法來估計常數(shù)a與u.17整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型因

留作初值用，故將

用差分代替微分，又因等間隔取樣，

分別代入方程(7.3),故得

類似地有于是，由式（7.3）有

18整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型由于

涉及到累加列

的兩個時刻的值，因此，

取前后兩個時刻的平均代替更為合理，即將

替換為

把

項移到右邊，并寫成向量的數(shù)量積形式

(7.5)

19整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型將（7.5）寫為矩陣表達式令這里，T表示轉(zhuǎn)置.令(7.6)

20整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型則(7.6)式的矩陣形式為方程組(7.6)’的最小二乘估計為

(7.6)’(7.7)21整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型把估計值

代入（7.4）式得時間響應方程由(7.8)式算得的

是擬合值；

為預報值.這是相對于一次累加序列

的擬合值，用后減運算還原，

就可得原始序列

的擬合值

可得原始序列

預報值.(7.8)22整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型3.精度檢驗(1)殘差檢驗：分別計算23整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型（3）預測精度等級對照表，見表7.1.

24整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型由于模型是基于一階常微分方程（7.3）建立的，故稱為一階一元灰色模型，記為GM(1,1).須指出的是，建模時先要作一次累加，因此要求原始數(shù)據(jù)均為非負數(shù).否則，累加時會正負抵消，達不到使數(shù)據(jù)序列隨時間遞增的目的.如果實際問題的原始數(shù)據(jù)列出現(xiàn)負數(shù)，可對原始數(shù)據(jù)列進行“數(shù)據(jù)整體提升”處理.注意到一階常微分方程是導出GM(1,1)模型的橋梁，在我們應用GM(1,1)模型于實際問題預測時，不必求解一階常微分方程（7.3）.25整理ppt7.2灰色系統(tǒng)的模型4.GM(1,1)的建模步驟綜上所述，GM(1,1)的建模步驟如下：26整理ppt7.3銷售額預測27整理ppt7.3銷售額預測

隨著生產(chǎn)的發(fā)展、消費的擴大，市場需求通?？偸窃黾拥模粋€商店、一個地區(qū)的銷售額常常呈增長趨勢.因此，這些數(shù)據(jù)符合建立灰色預測模型的要求。

【例7.2】表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的銷售額.試用建立預測模型，預測2004年的銷售額，要求作精度檢驗。28整理ppt7.3銷售額預測

表7.2逐年銷售額（百萬元）年份19992000200120022003序號12345

2.8743.2783.3373.3903.679

【例7.2】表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的銷售額.試用建立預測模型，預測2004年的銷售額，要求作精度檢驗。29整理ppt7.3銷售額預測

解（1）由原始數(shù)據(jù)列計算一次累加序列，結(jié)果見表7.3.

表7.3一次累加數(shù)據(jù)年份19992000200120022003序號123452.8743.2783.3373.3903.6792.8746.1529.48912.87916.55830整理ppt7.3銷售額預測（2）建立矩陣：31整理ppt7.3銷售額預測32整理ppt7.3銷售額預測33整理ppt7.3銷售額預測34整理ppt7.3銷售額預測35整理ppt7.3銷售額預測下面我們用用GM預測軟件求解例7.2.參考附錄B（1）調(diào)用GM預測軟件.見圖7.3.圖7.336整理ppt

7.3銷售額預測（2）在“文件”菜單中打開“新建問題”，見到數(shù)據(jù)輸入界面.見圖7.4.

37整理ppt7.3銷售額預測（3）輸入題目名稱及元素個數(shù)后，點擊“下一步”鍵，得到原始數(shù)據(jù)序列的輸入表格.見圖7.5.

38整理ppt7.3銷售額預測（4）點擊“運行”鍵，輸出分析數(shù)據(jù)如下：題目:123原始數(shù)列(5個):2.874，3.278，3.337，3.39，3.679預測結(jié)果如下：[1]dx/dt+ax=u：a=-0.03720438，u=3.06536331[2]時間響應方程：

X(k+1)=85.2665*exp(0.0372k)-82.3925[3]殘差E(k)：(1)0.00000000(2)0.04596109(3)-0.01754976(4)-0.09170440(5)0.06532115[4]第一次累加值:(1)2.874000(2)6.152000(3)9.489000(4)12.879000(5)16.558000[5]相對殘差e(k)：(1)0.00000000(2)0.01402108(3)-0.00525914(4)-0.02705145(5)0.01775514

39整理ppt7.3銷售額預測[6]原數(shù)據(jù)均值avg(x)：3.31160000[7]原數(shù)據(jù)方差S(1)：0.25861060[8]殘差的均值avg(E)：0.00050702[9]殘差的方差S(2)：0.06143276[10]后驗差比值:C：0.23754928[11]小誤差概率P：1.00000000[12]模型計算值X^(k)：(1)2.87400000(2)3.23203891(3)3.35454976(4)3.48170440(5)3.61367885[13]預測的結(jié)果X*(k)：(1)3.75065581(2)3.89282490(3)4.04038293(4)4.19353416(5)4.35249061(6)4.51747233預測精度等級：好！

40整理ppt7.4城市道路交通事故次數(shù)的灰色預測41整理ppt7.4城市道路交通事故次數(shù)的灰色預測灰色理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”的不確定問題為研究對象,通過對“部分”已知的信息的生成開發(fā),提取有價值的信息,構(gòu)造生成序列的手段來尋求現(xiàn)實現(xiàn)象中存在的規(guī)律。交通事故作為一個隨機事件,其本身具有相當大的偶然性和模糊性,如果把某地區(qū)的道路交通作為一個系統(tǒng)來看，則此系統(tǒng)中存在著一些確定因素(灰色系統(tǒng)稱為白色信息),如道路狀況、信號標志,同時也存在一些不確定因素(灰色系統(tǒng)稱為灰色信息)如車輛狀況、氣候因素、駕駛員心理狀態(tài)等等,具有明顯的不確定性特征。因此可以認為一個地區(qū)的道路交通安全系統(tǒng)是一個灰色系統(tǒng),可以利用灰色系統(tǒng)理論進行研究。42整理ppt7.4城市道路交通事故次數(shù)的灰色預測【例7.3】某市2004年1-6月的交通事故次數(shù)統(tǒng)計見表7.5.試建立灰色預測模型.

表7.5交通事故次數(shù)統(tǒng)計解利用GM預測軟件計算，輸出分析數(shù)據(jù)如下：原始數(shù)列(元素共6個):83，95，130，141，156，185預測結(jié)果如下：43整理ppt7.4城市道路交通事故次數(shù)的灰色預測[1]dx/dt+ax=u：a=-0.14401015，u=84.47278810[2]時間響應方程：X(k+1)=669.5752*exp(0.1440k)-586.5752[3]殘差E(k)：(1)0.00000000(2)-8.71441263(3)10.22065739(4)2.66733676(5)-3.75981586(6)0.49405494[4]第一次累加值:(1)83.000000(2)178.000000(3)308.000000(4)449.00000(5)605.000000(6)790.000000[5]相對殘差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.09173066(3)0.07862044(4)0.01891728(5)-0.02410138(6)0.00267057

44整理ppt7.4城市道路交通事故次數(shù)的灰色預測[6]原數(shù)據(jù)均值avg(x)：131.66666667[7]原數(shù)據(jù)方差S(1)：34.73550857[8]殘差的均值avg(E)：0.18156412[9]殘差的方差S(2)：6.35189717[10]后驗差比值C：0.18286467[11]小誤差概率P：1.00000000[12]模型計算值X^(k)：(1)83.00000000(2)103.71441263(3)119.77934261(4)138.33266324(5)159.75981586(6)184.50594506[13]預測的結(jié)果X*(k)：(1)213.08514646(2)246.09114698(3)284.20963932(4)328.23252716(5)379.07437672(6)437.79141674(7)505.60348139預測精度等級：好！這表明：如果該市不采取更有效的管制措施，7月的交通事故次數(shù)將上升至213次.45整理ppt7.5城市火災發(fā)生次數(shù)的灰色預測46整理ppt7.5城市火災發(fā)生次數(shù)的灰色預測

【例7.4】某市2001—2005年火災的統(tǒng)計數(shù)據(jù)見表7.7.試建立模型，并對該市2006年的火災發(fā)生狀況做出預測。

表7.7某市2001－2005年火災數(shù)據(jù)年份20012002200320042005火災(起)879712016616147整理ppt7.5城市火災發(fā)生次數(shù)的灰色預測解利用GM預測軟件計算，輸出分析數(shù)據(jù)如下：原始數(shù)列(元素共5個):87，97，120，166，161預測結(jié)果如下：[1]dx/dt+ax=u：a=-0.16668512，u=81.11892433[2]時間響應方程：

X(k+1)=573.6597*exp(0.1667k)-486.6597[3]殘差E(k)：(1)0.00000000(2)-7.05165921(3)-2.92477940(4)20.77885211(5)-10.56168104

48整理ppt7.5城市火災發(fā)生次數(shù)的灰色預測[4]第一次累加值:(1)87.000000(2)184.000000(3)304.000000(4)470.000000(5)631.000000[5]相對殘差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.07269752(3)-0.02437316(4)0.12517381(5)-0.06560050[6]原數(shù)據(jù)均值avg(x)：126.20000000[7]原數(shù)據(jù)方差S(1)：32.31965346[8]殘差的均值avg(E)：0.06018312[9]殘差的方差S(2)：12.26351851[10]后驗差比值C：0.37944462[11]小誤差概率P：1.00000000[12]模型計算值X^(k)：(1)87.00000000(2)104.05165921(3)122.92477940(4)145.22114789(5)171.56168104[13]預測的結(jié)果X*(k)：(1)202.67991837(2)239.44245045(3)282.87305194(4)334.18119203(5)394.79571611(6)466.40463669預測精度等級：合格！

結(jié)果表明：如果該市不采取更有效的防火措施，

2006年的火災事故次