第五章維納濾波

（WienerFiltering）王靜生物醫(yī)學工程系整理課件本章內(nèi)容：5.1維納濾波器的時域解5.2維納預測器5.3維納濾波器的應用整理課件引言（1）維納維納于1894年生于美國密蘇里州哥倫比亞市的一個猶太人的家庭中。他18歲就獲得哈佛大學數(shù)學和哲學兩個博士學位，是信息論的前驅(qū)和控制論的奠基人。

/view/25861.htm整理課件維納：開創(chuàng)維納信息論他從帶直流電流或者至少可看作直流電流的電路出發(fā)來研究信息論，將統(tǒng)計方法引入通訊工程，奠定了信息論的理論基礎。創(chuàng)立控制論

1947年10月，維納寫出了劃時代的著作《控制論》，1948年出版后，立即風行世界。它揭示了機器中的通信和控制機能與人的神經(jīng)、感覺機能的共同規(guī)律；為現(xiàn)代科學技術(shù)研究提供了嶄新的科學方法。整理課件引言在前面章節(jié)中已經(jīng)介紹了噪聲中確定性信號的檢測和估計；隨機性是生物醫(yī)學信號的特點之一，因此，討論噪聲中隨機信號的估計具有現(xiàn)實意義。維納濾波器正是解決該問題。維納濾波器的限制：要求被估計的隨機信號是平穩(wěn)的。整理課件（2）維納濾波技術(shù)：從噪聲中提取有用的平穩(wěn)隨機信號。h(n)x(n)=s(n)+w(n)y(n)=整理課件整理課件整理課件基礎知識點回顧1.卷積運算2.相關運算3.信號與系統(tǒng)整理課件設有一個線性系統(tǒng)，它的單位脈沖響應是h(n)，當輸入一個觀測到的隨機信號x(n)，簡稱觀測值，且該信號包含噪聲w(n)和有用信號s(n)，也即

x(n)=s(n)+w(n)則輸出y(n)為y(n)=x(n)*h(n)=

整理課件我們希望輸出得到的y(n)與有用信號s(n)盡量接近，因此稱y(n)為s(n)的估計值，用來表示y(n)，我們就有了維納濾波器的系統(tǒng)框圖．這個系統(tǒng)的單位脈沖響應也稱為對于s(n)的一種估計器。h(n)x(n)=s(n)+w(n)y(n)=整理課件維納濾波技術(shù)可應用于以下三個方面：濾波：用當前的和過去的觀測值來估計當前的信號，稱為濾波；預測：用過去的觀測值來估計當前的或?qū)淼男盘枺Q為預測；平滑或內(nèi)插：用過去的觀測值來估計過去的信號，稱為平滑或者內(nèi)插。整理課件系統(tǒng)框圖中估計到的信號和我們期望得到的有用信號s(n)不可能完全相同，這里用e(n)來表示真值和估計值之間的誤差

h(n)x(n)=s(n)+w(n)y(n)=顯然e(n)是隨機變量，維納濾波和卡爾曼濾波的誤差準則就是最小均方誤差準則

整理課件５.１維納濾波器的時域解

（TimedomainsolutionoftheWienerfilter）

設計維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應h(n)或傳遞函數(shù)H(z)的表達式，其實質(zhì)就是解維納－霍夫（Wiener－Hopf）方程。

整理課件5.1.1因果的維納濾波器，即維納-霍夫方程

5.1.2有限脈沖響應法求解維納-霍夫方程

5.1.3預白化法求解維納-霍夫方程整理課件因果的維納濾波器設h(n)是物理可實現(xiàn)的，也即是因果序列：h(n)=0,當n<0

整理課件要使得均方誤差最小，則將上式對各h(m),m＝0，1，…，求偏導，并且等于零，得： (5-7)即 (5-8)

(5-9)

整理課件從維納－霍夫方程中解出的h就是最小均方誤差下的最佳h，hopt(n)。求到hopt(n)，這時的均方誤差為最小：整理課件有限脈沖響應法求解維納－霍夫方程

設h(n)是一個因果序列且可以用有限長（N點長）的序列去逼進它，則式(5-5)－(5-10)分別發(fā)生變化：

(5-11)

(5-12)

(5-13)整理課件

(5-14) (5-15)于是得到N個線性方程：

整理課件寫成矩陣形式有：

(5-16)簡化形式：

RxxH=Rxs(5-17)

式中，H＝[h(0)h(1)…h(huán)(N-1)]′是待求的單位脈沖響應:整理課件RxxH=Rxs

只要Rxx是非奇異的，就可以求到H：

H=Rxx－1Rxs

(5-18)求得hopt(n)后，這時的均方誤差為最?。?/p>

整理課件整理課件若信號與噪聲互不相關，即，Rsw(m)=Rws(m)=0則有Rxs(m)=E[x(n)s(n+m)]=E[(s(n)+w(n))s(n+m)]=E[s(n)s(n+m)+w(n)s(n+m)]=Rss(m)Rxx(m)=E[(s(n)+w(n))(s(n+m)+w(n+m))]=Rss(m)+Rww(m)整理課件則式（5－15）和式（5－19）化為：

(5-20)

(5-21)【例5-1】如圖，x(n)=s(n)+w(n),且s(n)與w(n)統(tǒng)計獨立，其中s(n)的自相關序列 ,w(n)是方差為1的單位白噪聲，試設計一個N＝2的維納濾波器來估計s(n)，并求最小均方誤差。整理課件解：依題意，已知信號的自相關和噪聲的自相關為：代入式（5－20）得:解得：h(0)＝0.451，h(1)＝0.165。將上述結(jié)果代入式（5－21），求得最小均方誤差：h(n)x(n)=s(n)+w(n)y(n)=整理課件5.1.1因果的維納濾波器，即維納-霍夫方程

5.1.2有限脈沖響應法求解維納-霍夫方程

5.1.3預白化法求解維納-霍夫方程整理課件h(n)x(n)=s(n)+w(n)y(n)=G(z)x(n)y(n)=1/B(z)w1(n)整理課件預白化法求解維納－霍夫方程

隨機信號都可以看成是由一白色噪聲w1(n)激勵一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)或模型的響應，如圖5.2所示．

圖5.2s(n)的信號模型A(z)w1(n)s(n)整理課件由于x(n)=s(n)+w(n)，在圖5.2的基礎上給出x(n)的信號模型，圖5.3所示。把這兩個模型合并最后得到維納濾波器的信號模型，圖5.4所示，其中傳遞函數(shù)用B（z）表示。

圖5.3x(n)的信號模型s(n)A(z)w1(n)w(n)x(n)整理課件維納濾波器的輸入信號模型B(z)w1(n)x(n)整理課件白噪聲的自相關函數(shù)為它的z變換就等于。圖5.2中輸出信號的自相關函數(shù)為，根據(jù)卷積性質(zhì)有令l=r-k，上式整理課件令代入上式得

(5-22)

對式（5－22）進行Z變換得到系統(tǒng)函數(shù)和相關函數(shù)的z變換之間的關系：

(5-23)

同樣，對圖5.4進行z變換得

(5-24)整理課件圖5.4中利用卷積性質(zhì)還可以找到互相關函數(shù)之間的關系：

兩邊z變換得到

(5-25)

整理課件如果已知觀測信號的自相關函數(shù)，求它的z變換，然后找到該函數(shù)的成對零點、極點，取其中在單位圓內(nèi)的那一半零點、極點構(gòu)成B(z),另外在單位圓外的零、極點構(gòu)成B(z-1)，這樣就保證了B(z)是因果的，并且是最小相位系統(tǒng)。從圖5.4可得

(5-26)整理課件由于系統(tǒng)函數(shù)B(z)的零點和極點都在單位圓內(nèi)，即是一個物理可實現(xiàn)的最小相位系統(tǒng)，則1/B(z)也是一個物理可實現(xiàn)的最小相移網(wǎng)絡函數(shù)。我們就可以利用式（5－25）對x(n)進行白化，即把x(n)當作輸入，w1(n)當作輸出，1/B(z)系統(tǒng)傳遞函數(shù)。整理課件h(n)x(n)=s(n)+w(n)y(n)=G(z)x(n)y(n)=1/B(z)w1(n)H(z)=G(z)/B(z)整理課件白化法求解維納－霍夫方程步驟如下：

１）對觀測信號x(n)的自相關函數(shù)Rxx(m)求z變換得到Rxx(z)２）利用等式找到最小相位系統(tǒng)B(z)３）利用均方誤差最小原則求解因果的G（z）４）H(z)=G(z)/B(z),即得到維納－霍夫方程的系統(tǒng)函數(shù)解整理課件步驟3的求解過程按圖5.5（b）有

(5-28)均方誤差為整理課件由于代入上式，并且進行配方得

(5-29)

均方誤差最小也就是上式的中間一項最小，所以

(5-30)整理課件注意，這里的g(m)是因果的。對該式求z變換,得到

(5-31)

表示對求單邊z變換。所以維納－霍夫方程的系統(tǒng)函數(shù)解表示為整理課件由式

(5-32)因果的維納濾波器的最小均方誤差為：

(5-33)整理課件利用帕塞伐爾定理，上式可用z域來表示

(5-34)例5－2。。。見書整理課件5.2.1因果的維納預測器5.2.2純預測器（N步）5.2.3一步線性預測器5.2維納預測器整理課件因果的維納預測器圖5.6就是維納預測器的模型，N>0，yd(n)是希望得到的輸出，而y(n)表示實際的估計值。

圖5.6維納預測器y(n)=yd(n)=h(n)x(n)=s(n)+w(n)整理課件設h(n)是物理可實現(xiàn)的，也即是因果序列：h(n)=0,當n<0，則有

(5-35)

(5-36)要使得均方誤差最小，則將上式對各h(m),m＝0，1，…，求偏導，并且等于零，得：整理課件

(5-37)即用相關函數(shù)R來表達上式：

(5-39)由yd(n)=s(n+N)，則整理課件z變換得

(5-40)因果的預測器的傳遞函數(shù)為：

(5-41)最小均方誤差為

(5-42)整理課件利用帕塞伐爾定理，上式可用z域來表示

(5-43)整理課件例5-3已知圖5.6中，x(n)=s(n)+w(n),且s(n)與w(n)統(tǒng)計獨立，其中s(n)的自相關序列為，w(n)是方差為1的單位白噪聲，試設計一個物理可實現(xiàn)的維納預測器估s(n+1)，并求最小均方誤差。解：依題意已知整理課件求z變換

由于，容易找到最小相位系統(tǒng)和白噪聲方差

整理課件由式（5－41），N＝1，

對括號里面求z反變換，注意括號內(nèi)的收斂域為

整理課件取因果部分，也就是第一項，所以

把上式寫成差分方程形式有：整理課件最小均方誤差為：整理課件純預測器（N步）純預測器指的是w(n)＝0的情況下，對s(n+N)的預測。如圖5.7所示。

圖5.7N步純預測器這時，用白化法來求解預測器的系統(tǒng)函數(shù)。y(n)=yd(n)=h(n)x(n)=s(n)整理課件因為，從而有 (5-44)將上式代入式（5－41）、（5－43）得

(5-45)整理課件假設B（z）是b（n）的z變換，且b（n）是實序列，則上式可以利用帕塞伐爾定理進一步化簡：上式說明最小均方誤差隨著N的增加而增加，也即預測距離越遠誤差越大。整理課件例5-4已知圖5.7中，x(n)=s(n)其中s(n)的自相關序列為，試設計一個物理可實現(xiàn)的維納預測器來估計，并求最小均方誤差。

解：依題意，已知，則

整理課件因為容易找到最小相位系統(tǒng)和白噪聲方差利用式（5－45）整理課件因為只取的部分，有代入得:最小均方誤差為：整理課件它說明當N越大，誤差越大，當N＝0時，沒有誤差

圖5.8例題5-3的純預測模型y(n)==x(n)=s(n)整理課件一步線性預測器對于純預測問題，有

然而預測的問題常常是要求在過去的p個觀測值的基礎上來預測當前值，也就是這就是一步線性預測公式整理課件一步線性預測公式，常常用下列符合表示

(5-48)式中p為階數(shù)，。預測的均方誤差為

(5-49)整理課件要使得均方誤差最小，將上式右邊對求偏導并且等于零，得到p個等式：

(5-50)最小均方誤差：

(5-51)式（5－50）就是Yule－Walker（Y-W）方程.整理課件例5-5已知圖5.7中，x(n)=s(n),其中s(n)的自相關序列為，試設計一個p＝2的可實現(xiàn)的一步線性預測器，并求最小均方誤差。整理課件解：

利用Y-W方程

可以列出2個方程式整理課件解得：結(jié)果和例（5-4）N=1時一致整理課件維納濾波器的應用（ApplicationofWienerfilter）要設計維納濾波器必須知道觀測信號和估計信號之間的相關函數(shù)，即先驗知識。如果我們不知道它們之間的相關函數(shù)，就必須先對它們的統(tǒng)計特性做估計，然后才能設計出維納濾波器，這樣設計出的濾波器被稱為“后驗維納濾波器”。

整理課件在生物醫(yī)學信號處理中比較典型的應用就是關于誘發(fā)腦電信號的提取。大腦誘發(fā)電位（EvokedPotential，EP）指在外界刺激下，從頭皮上記錄到的特異電位，它反映了外周感覺神經(jīng)、感覺通路及中樞神經(jīng)系統(tǒng)中相關結(jié)構(gòu)在特定刺激情況下的狀態(tài)反應。在神經(jīng)學研究以及臨床診斷、手術(shù)監(jiān)護中有重要意義。EP信號十分微弱，一般都淹沒在自發(fā)腦電（EEG）之中，從EEG背景中提取誘發(fā)電位一直是個難題：EP的幅度比自發(fā)腦電低一個數(shù)量級，無法從一次觀察中直接得到；EP的頻譜與自發(fā)腦電頻譜完全重迭，使得頻率濾波失效；在統(tǒng)計上EP是非平穩(wěn)的、時變的腦誘發(fā)電位。通過多次刺激得到的腦電信號進行疊加來提取EP，這是現(xiàn)今最為廣泛使用的EP提取方法整理課件為了解決誘發(fā)電位提取問題，研究者利用維納濾波來提高信噪比，先后有Walter、Doyle、Weerd等對維納濾波方法進