21引言

第二章確定信號分析通信系統(tǒng)中利用信號表示信息和傳送信息.一般信號是時間的函數(shù).確定信號是指可以用確定的時間函數(shù)表示的信號.實際載荷信息的各種信號是許多信號的集合體,并具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性.這種信號稱作隨機信號,將在第三章研究.本章研究確實定信號可以是隨機信號的樣函數(shù)(實現(xiàn))或是載波信號的數(shù)學模型.22確定信號的分類分類方法很多,例如,分為周期信號和非周期信號,能量信號與功率信號,模擬信號與數(shù)字信號,基帶信號與頻帶信號等.本章主要用第一和第二種分類法..21周期信號定義:假設f=ft+T)對于任值成立,其為任一常數(shù),那么f為周期信號為其周期.性質:1)f的周期,n也f的周期.其為任意整數(shù)即:f=ft+T)2s=fa)的周期等/acT T3∫ftdt=∫ftdt

其中:為任意常數(shù)c 04)同周期信號的和、差、積也是周期信號且具有同一周期.jx例如:e=cox+snx的周期為jx.22能量信號與功率信號假設ft表示在一歐姆電阻上的電壓V,那么電流it=ft A,在電阻上消耗的能量為:2E= ∞E= ∞f

tdt,假設f<∞,那么稱ft為能量信號.一般限時信號的能量有限,為能量信2號.非限時信號也有能量有限的,例如:e-t,et2周期信號的能量無限大,因此不是能量信號.T1

等,因而是能量信號.假設ft的平均功率limit12

f2tdt>0,但<∞,那么稱ft為功率信號.T1 T12不艱看出周期信號是功率信號.非周期不限時信號也可能是功率信號,例如,隨機噪聲的樣函數(shù)實現(xiàn)等.23周期信號的三角付立葉級數(shù)(諧波分析)令f為周期信號周期且滿足狄里赫利條件一般實際信號均滿足,f可展開為以下級數(shù):∞f=a0+∑ncosωt+nsinωtn=1

2..)式中1cT式中:a0=T∫ftdtc2cTn=T∫ftcosωtdtcb=2

cT∫ftsinωtdtc2其中:為常數(shù),其值可任選.通常=-T2T T T12 22 22那么有:0=∫ftdtT-2

n= ∫ftcosωtdtT-2

n=∫ftsinωtdtT-2狄里赫利條件為:在一個周期f只有有限個一類不連續(xù)點,且可將T分為有限個區(qū)間,在每一個區(qū)間f為單調函數(shù).令: ncosn0t+nsin0t=nco0t+n);0=0,0=0∞那么有:f=ncsn0+n) 23.2)0由式2..)可見,周期信號展開為許多不同幅度、頻率和相位的正弦信號之和.這些信號稱f的諧波.其中:c0為直流分量,1cs0t+)稱f的一次諧波(又稱基波),

ccsn0tφ) 稱作f的n次諧波與ω的關系稱f的幅度-頻率特性,簡稱幅頻特性,它表示不同諧波幅度大小與頻率的關系n與ω的關系稱f的相位-頻率特性,簡稱相-頻特性,它表示不同諧波相位與頻率的關系.不難看cnn僅ω=n0處有n=,23,...因此Cnnω的關系是離散的,因此稱作離散頻譜.也稱線頻譜.2π譜線間隔為0=T

愈大愈小即譜線愈密.24.周期信號的指數(shù)付立葉級數(shù)1 jx jx利用歐拉公式cosx=2e+e) 2..)可以將三角付立葉級數(shù)化為指數(shù)付立葉級數(shù).后者分析和計算比擬方便,因此應用廣泛.據(jù)2..有:cnφnjnωt

cn

φnjnωtccsnω+n=2e e +2

e e .42)cnφ cn n φn令: n=

2e , n=2e 且:

φn=nf可表示為:∞

jnωtf=∑nen=-∞

∞<t∞) 2..)T21 jnωt2T其中:n= ∫fte dtTT

.44)-2一般情況n是復數(shù),f是實函數(shù),nn是一對共軛復數(shù),即:n=n 見式2.4.2此時有:

n=

cnn=2 ;

φn=nn與ω的關系稱f)的幅度-頻率特性,簡稱幅度頻譜,它表f的各諧波分量的幅度與頻率關系n

與 ω的關系稱f)的相位-頻率特性,簡稱相位頻譜,它表f的各諧波分量的相位與頻率的關系.不難看出,幅度頻譜是ω的偶函數(shù),相位頻譜是ω的奇函數(shù),它們僅在ωn0

n=,±,±,±....整數(shù)) 即頻率取離散值時有值,因此稱其為離散頻譜,又稱為線頻譜.又因ω取正負值,故又稱雙邊頻譜.許多情況利用信號的頻譜進行分析比擬直觀方便.25.信號的付立葉變換周期信號的頻譜分析可以推廣到非周期信號.令f為非周期信號,其持續(xù)時間,f=0,>/,或∞現(xiàn)T為周期f)延拓為周期信t)=∑ftnT)n=-∞

t<.其中n=,±,±2,±3....整數(shù).不難看出,→時,那么在―∞<+∞區(qū)間t=t,

iit=→∞因此我們可以研究當→∞時,周期信t)的付立葉級數(shù)的變化情況.t滿足狄里赫利條件,那么可展開為付立葉級數(shù):∞jnωtt=∑jnωtn=-∞

(∞<∞) 2..)Tω012 jnt 2πω0其中: n=∫te dtT

2..) 0=T-2將式25.代入式2..1得:T∞ 2tt=∑[1∫tejnωtdtejnω0=tn=-∞TT-2T∞ 2ω0=1∑∫tejnωtdtejnωtω02πn=-∞ T22πT ∞時,ω0= T那么有:∞

dω,∞

n0

ω,∑ ∫f)=lmt)=

1∫∫fteωtdteωtω2π-∞ -2πT ∞令:∞ω)=∫fteωtdt-∞

2..)那么:1 ∞f)=2π∫(ω)eωtω-∞

2..)式2..)稱f的付立葉變換,又稱作頻譜密度.式25.)稱f的付立葉反變換兩式稱f的付立葉變換對,表示為:t)下面說明為何稱ωf的頻譜密度.:

ω)Tω012 jntω0Tn= ∫te dtTT22π其中ω0= 2π

為n和n+1

之間的角頻率間隔,

其頻率間隔等于:Δ=

ω0=1

,可以/Δ看作平均頻譜密度(單位帶寬中的頻譜.當2π T→∞時,有: Tn 2

∞jntlmtΔf

=ii∫te

ω0dt∫fteωt

dt=ω) .55)T -∞2由式25.可看出ω的物理意義.26.付立葉變換的性質.(見表21)27.單位沖擊函數(shù)單位沖擊函數(shù)是一種廣義函數(shù),它的引入可擴大付立葉變換的應用范圍使其可以用于功率信號例如周期信號直流信號等..71通常單位沖擊函數(shù)以t表示其定義如下:δt=ε

∞ ,t=00 ,t≠0

2..)且∫δ(tdt=1,-ε

對任意ε>0 .72)對于任意函Φt有:b b

Φ(t)

假設tb

Φt)t=t0連續(xù)∫Φ(tδ(ttdt=∫Φ(tδ(tdt=

0 假設t?a,) ..3)a a 0δt函數(shù)可以看作是某種函數(shù)的極限.例如:h2 t<1hh)=

0 t>1h不艱驗證:lmth)=δt)h ∞ -πt2又如:δt)=iit1eτ2ττ 0δt)=lmtkπk ∞

Skt)等.27..δt的主要性質)t∫δ(tdt=t)=-∞

0 t<012 t=01 t>0

2..)稱為單位階躍函數(shù).

由2..可得:dt)dt2) ∞

δt) 2..)∞∫Φ(tδ(ttdt=∫Φ(tδ(tdt=Φ(t)-∞ -∞

27.)Φt在 t=0點連續(xù).3δt的付立葉變換∞

ωt

ωt0[δt0]=

∫δ(tte-∞

dt=e即:0 ett) ωt0 2..0 e由此有:δt) 1即: 12π

∞∫eωtω=δ(t)-∞

2..)4)eω4)eeωt

2πδω0)2πδω+0) 27.)取式( 右邊式的付立葉反變換即可證明其成立.-1 1∞

ωt

ωtF[2πδωω]=2∫2πδ(ω-ωe-∞

ω=eωt-1 1ωt

ωtF[2πδω+ω]=

2∫2πδ(ω+ωe

ω=e 0-∞5)Φt)t=t0存階導數(shù),那么:∞∫Φ(tδ(n)ttdt=(-1nΦ(n)t)

(.79)0 0-∞由2..可得:∞∫Φ(tδ/ttdt=-

/t)

2..1)0 Φ 0-∞28

功率信號的付立葉變換按照經(jīng)典數(shù)學函數(shù)的定義,功率信號的付立葉變換是不存在的,但如果擴大函數(shù)定義范圍,引入廣義函數(shù)t,那么可以求得功率信號的付立葉變.以下求一些主要功率信號的付立葉變換.28..常數(shù)Aωt先看δω的付立葉反變ωt-1 1 ∞ 1F[δω]=

2π∫δ(ω)e

ω=2π

δω)-∞由此可得:28.2

A 2πAδω) 2..)cosωt ? i0t ?jx jx 1

jx jx根據(jù)公式:cos=1e+e ) ,snx= e-e ) 及2..)2 j可得:cosω0t π[δω+δω+0)] 28.)sn0t

π[δω-0)-δω+ω] .83)j28.3

周期信號的付立葉變換令f)為周期信號,周期且滿足狄列赫利條件,那么可展開為付立葉級數(shù):∞jnt π∞ft)=

∑nen=-∞

其中:0=TT1 2 jntn=

Tfte dt2

∞jntft)的付立葉變換為:Fft)]=F[∑ne ]=7 n=-∞∞ ∞jnt=∑nFen=-∞

]=π∑nω0) (2.8.4)n=-∞2π即周期信號的付立葉變換(頻譜密度)為一沖激序列,間隔為0= T,強度決定于相應的付立葉級數(shù)的系數(shù)n.2..可以化為便于計算的另一種形式.令:g=

ft) t≤T20 t為其他值

即gf的一個周期又令:g) G(ω,那么有:T∞ 2Gω)=∫teωtdt=∫fteωtdtω-∞ T2由此可得:1n=T

Gn0) 28.)將2..代入2..)得:Tω)=T

2π∞ωδ(ω-ω)∑n=-∞∑

2..)例.81求周期矩形脈沖序列的付立葉變換(頻譜密度)∞f)=∑tnT)-∞T1其中:g)=

A t≤20 t為其他值解:先g)的頻譜密Gω)T1

ωT1∞ 2 si( )1Gω)∫teωtdt=∫Aeωtdt=AT1

2 ωT1=ATS( )-∞ T12

ωT12

1a 2將此式代入2..得:)=AT0

∞∑S(n=-∞

T12

δω)

2..)其中:

2π0= T由2..可見周期信號的頻譜密度是一沖激序列.沖激的間隔為2π0=

T與周成反比;沖激強度的分布規(guī)律決定于單個脈g)的2πT頻譜密Gω其主要分量集中ω=到T1之間.

1T之間,即在頻f=到T1例28.2

求周期單位沖T

序列Tt的頻譜密度δTt)=令:

∞∑δ(tnT)n=-∞δTtδT(ω); 那么據(jù)式(2.8.6)有:δT(ω)=

2π F[δ(t)]∑T∑

δ(ω-ω0)=∞n=-∞∞

ω=nω0因:Ft)=1 , 那么得:∞=2π∑δ(ω-ω∞

)=ω

∞δ(ω-ω

) (2.8.8)Tn=-∞

0 0∑ 0n=-∞圖28.22.8.4符號函數(shù)的付立葉變換符號函數(shù)Sgnt)定義為:Sgnt)=

1 t>00 t=0-1t<0為了求其付立葉變換,可將Sgnt)表示為:Sgnt)=limitatt)-eat(-t)]a 0取此式兩邊的付立葉變換:FSgnt)]=Flimiteat)-at(-t)]=a 0=limi[

∞eateωtd-

0ateωtdt]=0 -∞a 0-e-aω)t-=limit-(jω)

e(aω)tjω

=limit 1-jω-

1 2jω=jωa 0 a 0即: Sgnt?2jω

(2.8.9)28..

單位價躍函數(shù)的付立葉變換1 t>0ut=12

t=0

可表示為:ut=12

+1Sgnt 由此有:20 t<0Fut =1F1+1FSgnt =δω+12 2 jω即:ut?δω+1jω28..

一些常見信號的付立葉變換表2.)29.

能量譜密度與功率譜密度2..1

能量譜密度令f)為實能量信號,∞

且f) Fω)2 ∞ 1 ∞

ωt那么f的能f=∫f-∞

tdt-∞ft[2-∞Fωe

ω]dt== 1 ∞

∞ ωt

1 ∞ *2-∞F ω[

-∞fte

dt]ω=

2-∞FωF

ωω== 1 ∞ 2 ∞ 22-∞Fω

ω-∞F2πf df即∞ 2

1 ∞ 2-∞f

tdt=

2-∞Fω

ω 2.9.1式2..)稱作帕色瓦爾定理.通常令:

Eω =Fω2 或Eπf =Fπf 2稱為f)的能量譜密度.由此有:1∞ ∞ ∞12f=∫f

tdt=

π∫Eωω=∫Eπf df 2.9.2-∞ -∞ -∞由式2..)可看E(ω是單位帶寬中的信號能量與角頻率ω的關系故稱其為能量譜密度.由Eω)存在于-∞<ω<∞故稱為雙邊能量譜密度.不艱看出對于實信號Eω)是ω的偶函數(shù).在通信技術中常用到單邊能量譜密度的概Gω,其定義為:ω)=

(ω) ω>00 ω<0

2..)29..

功率譜密度 T21 22令功率信號ft的平均功率f=

limitT∫f

tdt=f2tT其中 表示時間平均 T ∞ 2ft t<T取ft)的短截:fTt=令fTt Tω

20 其他t顯然fTt

為能量信號,其能量為:∞2T=∫fT2π-π

1tdt=1

∞∫Tω-∞

2ω

(根據(jù)帕色瓦爾定理)ft)的平均功率可表示為:∞ ∞ 2T 1

2 1 Tωf=limitT=limitTπ∫Tω

ω=limitπ∫

T ω=T ∞ T ∞ -∞令:2Tω2Pω=limit T

2..)

T ∞ -∞T ∞如果此極限在,那么稱其f)的功率譜密度.

由此得到:1∞ ∞f=

π∫Pωω=∫Pfdf 2.9.5-∞ -∞由2..)可見(ω表示單位帶寬f的平均功率與ω的關系,故稱其f)的功率譜密度.由ω)存在<<,故稱為雙邊功率譜密度.對于實信號ω是ω的偶函數(shù)因此對于實信號還使用術語單邊功率譜密度.其定義為:Bω= Pω ω>00 ω>0

2.9.6信f)的功率Pf可表示為:1∞ ∞f=

π∫Bωω=∫Bπfdf 2.9.70 029..信號帶寬信號帶寬是指信號的能量或功率的主要局部集中的頻率范圍。假設信號的主要能量或功率集中在零頻率附近那么稱這種信號為基帶信號.假設信號的能量或功率集中在某一載波頻率附近，那么稱此類信號為頻帶信號.這里介紹幾種常見的定義信號帶寬的方法：1)根據(jù)占總能量和總功率的比例如09,.95或099等確定信號帶寬.設信號帶寬為赫,那么根據(jù)所占的百分數(shù)可列出等式:B∫Ef df0

或(對于能信號)

2.9.8E =90%

95%,99%B∫Pf df0f

=90%或95%,99% 2.9.9(對于功率信號)2)假設E(ω或ω)在0頻率處最大,那么可以E(ω或)值下降到3b半功率)的頻率定為信號帶寬.即:3)B= 3)B= ,:2帶寬22

2.9.10∞∫Ef dfB=-∞

2.9.11E0∞-∞∫Pf df-∞B= 2P0

2.9.12210.確定信號的相關函數(shù).1.1.定義:令t),t)為能量信號一般情況可以是時間的復函數(shù).稱:∞*12τ=∫f1*-∞

tf2tτdt 2.10.1t)和t)的互相關函數(shù).令t),t)為功率信號,那么稱:T12*12τ=limitT∫f1*

tf2

tτdt 2.10.2T ∞Tt)和t)的互相關函數(shù).假設t)和t)為周期信(周期T,那么有:T*12*假設12τ=假設

T∫f1tf2tτdt 2.10.3:T:2假設f1t=f2t=ft , 那么稱T2Rτ=limit1∫f*tftτdt2

2.10.4TT2為ft的自相關函數(shù).對于能量信號,自相關函數(shù)的定義為:∞Rτ=∫f*tftτdt 2.10.5-∞對于實信號上述公式中去掉共軛符號.舊一化相關函數(shù)的定義為:12τ12τ=

2121τ2τ

2.10.62102.相關函數(shù)的性質12 211 R τ=* τ12 212 12τ ≤13 Rτ=*τ4 Rτ R05能量信號的能量E=R0 , 功率信號的平均功率P=R06周期信號的自相關函數(shù)是周期函數(shù),且周期與信號周期相等下面我們對于實信號證明此性質.對于復信號用類似方法也可證明)令ft為實周期信號,周期等T.可將其展為付立葉級:n∞nft=

∑Fjntn=-∞

π-∞<t<∞ 其中:ω0=Tft自相關函數(shù)為:T2Rτ=1∫ftftτdt=2TT2T T2 2n∑=1∫∑Fjntn∑

jm0tτFFe dt=

∑∑n

jmτ1me

0n+mtTT n m2T2

n m TT∫e ∫e dt考慮到1∫e0n+mtdt= 1 m=nTT2

0 m≠-n以及對實信號有:

*=F

可得到:n n∞2jnτRτ=

∑n en=-∞

-∞<τ<∞ 2.10.7π由式 2.10.7

可看出,Rτ

是周期為T的周期函數(shù).(注意到:ω0=T)2103.相關函數(shù)與能量功率譜密度的關系)能量信號的自相關函數(shù)與其能量譜密度互為付立葉變換.即:Rτ Eω=Fω2 2.10.8證:令ft為能量信號,且:ft Fω 根據(jù)定義有:∞ ∞ ∞Rτ=∫f*tftτdt=∫f*t 1

∫Fωωtτωdt=-∞ -∞

π-∞∞ ∞ ∞=1∫∫f*tetdtFωeτω=1∫*ωFωeτω=π-∞ -∞

π-∞∞ ∞=1∫Fω2τω=1∫Eωeτω 證畢.π-∞

π-∞)功率信號的自相關函數(shù)與其功率譜密度互為付立葉變換.即:Rτ Pω 2.10.9證:令ft)為功率信號,取其短截:ft, t≤TfTt=

20 t為其他值

令fTt Tω顯然t是能量信號令其自相關函數(shù)為

Tτ2那么有：Tτ Tω2據(jù)定f的自相關函數(shù)為:T2 ∞TRτ=limit1∫f*tftτdt=limit1∫f*T

tfT

tτdt=T TT ∞2

T-∞T ∞=limit

TτTT ∞2己知:Tτ Tω2

由此有:Tτ

2Tω2limit

T limit

T Rτ Pω 證畢.T ∞ T ∞利用2.08)和2.09可根據(jù)巳知的相關函數(shù)求出相應的能量譜密度或功率譜密度.例.1.1

求周期信號的功率譜密度∞

2ejnτ 又有:Rτ Pω解:由式2.07)有:那么:

Rτ=∞

∑nn=-∞nPω=FRτ =F

∑nn=-∞

2ejnτ

=∑nn=-∞

2Fejnτ0:Fejnτ=πδω-ω0

得到:∞Rτ=π∑n

2δω-nω0 2.10.102n=-∞2104.定義:

互能量譜密度和互功率譜密度令t)和t)為能量信號,且它們的互相關函數(shù)為2,稱2τ的付立葉變換t)和t)的互能量譜密度,以ω)表示之.即: 2(τ) ω) 2101)性質:

令t) (ω), t) (ω) 那么有:*ω)=1ω)(ω) 2.012)證:∞ ∞F12τ ∫∫f1tf2tτdte

τ=* -∞ -∞∞ ∞ ∞11 ∫f2tτe1-∞ -∞

τ dt=∫f*ωt-ωt

t2ωe

dt=1=F*1

ωF2

ω 證畢.定義:

令t)和t為功率信號,且它們的互相關函數(shù)R2τ, 稱2τ的付立葉變換t)和t)的互功率譜密度,ω)表示之.即: τ) (ω) 2.013)∞12ω=∫12τe τ-∞211.卷積積分2.1..卷積積分的定義令有函數(shù)t)和t),

稱積分∞∫f1αf2t-αα-∞

t)和t的卷積積分,簡稱卷積,通常以f1t?f2t

表示.

即:?∞f1t?f2t

=∫f1αf2t-αα 2.11.1-∞式中α

為積分變量,由于定積分值與積分變量符號無關,所以式

2.11.1中的積分變量可用任何符號表示,例如:2112.卷積的性質1)交換律:t)?t)=t)?t)2)分配律:

τ,β,λ等.t)?3)結合律:

t+t]=t)

?t+t)

?t)t)?

t)?t]=t)

?t)]

?t)4)卷積的微分:f1t?f2t] / /dt =f1t?f2t=f1t?f2t2113.卷積定理1)時域卷積定理令:t) (ω, 2) 2ω)那么有:

f1t?f2t F1ωF2ω 2.11.2證:Ff

∞t?f t =

∞f αf

ωαt-ααeωtdt=ωαωt1 2 ∫∫1 2ωt-∞ -∞∞ ∞ ∞=∫f1α-∞

∫f2t-αe-∞

dtα=∫f1-∞

α2ωe

α=1ω2ω證畢.2)頻域卷積定理令:f1t 1ω ; f2t 2ω 那么:1f1tf2t證:F-1 1

π1ω?F2ω 2.11.3π1ω?2ω =∞ ∞1= 1 2∫∫F1

u2

ω-udu ωtdω=π -∞ -∞∞ ∞1π= ∫11π-∞1∞1

u 1 F∫2π-∞∫2

ω-ueωtωdu=21∞21= ∫1

uf2

tejutdu=f

t 1∫F

uejutdu=f

1tf2t1π-∞

π-∞證畢.2114.

函數(shù)與單位沖激函數(shù)的卷積由定義和δt的性質可得到以下各式:∞ft?δt =∫fτδt-ττ=ft-∞ft-t1 ?δt-t2 =ft-t1-t2δt-t1?δt-t2 =δt-t1-t2相似地,在頻域中有類似的關系:Fω?δω-0 =Fω-0Fω-1?δω-2 =Fω-1-2δω-1?δω-2 =δω-1-2

2.11.42.11.52.11.62.11.72.11.82.11.9卷積定理和式

2.11.4到式

2.11.9在信號分析中很有用..1.確定信號通過線性系統(tǒng)濾波)通信系統(tǒng)由許多部份組成,例如,天線,放大器,信道和調制解調器等其中一些部份可看作是線性系統(tǒng)例如信道放大器,濾波器等本節(jié)研究確定信號通過線性系統(tǒng).并限于研究具有一個輸入端和一個輸出端的系統(tǒng).xt) L yt)一個輸入信xt,對應有一個確定的輸出信號yt.將xt變換為yt)的運,數(shù)學上稱為算子,以L表示.那么可表示為:yt)=L[xt)] 2.21).1.1.線性算子與線性系統(tǒng)令:t)=L[t] i=1,,3....假設系統(tǒng)算子滿足以下關系:y)=L[∑it)]=∑iL[i]∑iit) 2.22)i i i其中:i為任意常數(shù), i=,23,....那么稱此算子為線性算子,相應的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng),式2.22)稱為疊加原.其表述為系統(tǒng)輸入線性和的響應等于響應的線性和.如前所述,任意信號xt)可以表示為:∞xt =∫xτδt-τdτ=xt?δt-∞對于線性算子,有:∞ ∞yt =L[xt] =L

∫xτδt-τdτ =∫xτLδt-τ dτ-∞ -∞令:Lδt-τ =ht,τ , 稱作系統(tǒng)的單位沖激響應,得到:∞yt =∫xτht,τdτ-∞假設系統(tǒng)滿足Lδt-τ =ht-τ, ?τ

2.12.3那么稱系統(tǒng)為時不變線性系統(tǒng)或稱恒參線性系統(tǒng).本節(jié)僅研究時不變恒參線性系統(tǒng),其單位沖激響應為:h)=Lδ]由此對于恒參線性系統(tǒng)有:∞yt =∫xτht-τdτ-∞

2.12.42.12.5或寫為:yt =xt?ht

2.12.6式2.26)是恒參線性系統(tǒng)時域的重要關系式,它通過系統(tǒng)的單位沖激響應將系統(tǒng)的輸入和輸出聯(lián)系起來.通過時域卷積定理,可將輸入與輸出在頻域的關系表示出.令: xt xω, yt yω, ht Hω據(jù)式2.12.6有:xt?ht yω, xt?ht xωHω由此得:yω =xωHω 2.12.7式2.12.7

是系統(tǒng)輸入輸出的頻域關系式.即輸出的頻譜密度等于輸入的頻譜密度乘H(ω

.Hω =yωxω

是系統(tǒng)單位沖激響應的付立葉變換,稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù),一般它是ω的復函數(shù),可表示為:Hω =Hωejφω 2.12.8Hω稱作系統(tǒng)的幅度-頻率特性,簡稱幅頻特性;φω

稱作相位頻率特性,簡稱相-頻特性.它們反映正弦信號通過線性系統(tǒng)后幅度和相位的變化與頻率的關系.2122.

信號不失真的條件信號通過線性系統(tǒng)會引起變化.從傳送信息的角度考慮,重要的是信號波形的變化.我們認為信號波形大小和時延的變化不影響信號所帶的信息.因此我們定義通過線性系統(tǒng)信號不失真的條件為:yt =kxt-τ其中: k,τ 均為常數(shù),可取任意值.xt和yt是系統(tǒng)的輸入和輸出.

2.12.9由式2.12.9

可得出系統(tǒng)的沖激響應:ht =kδt-τ式2.12.10是信號不失真的時域的充分條件.

2.12.10在頻域有:Hω ht , Hω kδt-τ∞Hω=∫kδt-τeωtdt=keωτ -∞<ω<∞ 2.12.11-∞式2.12.11

是信號不失真的頻域的充分條件.式2.211還可從關系式kxωejωτ

Hω=yωxω

直接得到:Hω=

jωτ=k=ke滿足信號不失真條件的系統(tǒng)稱作理想系統(tǒng).由式2.211可知:理想系統(tǒng)的幅頻特性為一常數(shù)k,即:Hω =K -∞<ω<∞ 2.12.12而相頻特性為:φω=-ωτ -∞<ω<∞ 2.12.13HωK0 ω圖 2.12.1

理想系統(tǒng)的幅頻特性φω0 ω圖 2.12.2

理想系統(tǒng)的相頻特性實際系統(tǒng)的特性并不理想,一般只是在一定頻率范圍內(nèi)滿足式

2.12.12和式2.12.13

.如圖2.23)和2.24)所示.Hω0 ω2.23) 實際系統(tǒng)的幅頻特性?ω0 ω圖2.24)實際系統(tǒng)的-頻特性2123.系統(tǒng)的帶寬通常系統(tǒng)的帶寬定義為系統(tǒng)的幅-頻特性Hω

保持在其頻帶中心處取值的1

2倍以內(nèi)分貝內(nèi)或半功率點內(nèi))的頻率區(qū)間,常稱分貝帶寬.當然也可以用其他方法定義,例如分貝帶寬等.由于系統(tǒng)特性Hω

不理想引起的信號失真稱為線性失真.線性失真包括頻率失真和相位失.由于系統(tǒng)的幅頻特性不理想引起的信號失真稱為頻率失真.由于系統(tǒng)的相頻特性不理想引起的信號失真稱為相位失真.假設信號的帶寬位于系統(tǒng)帶寬以內(nèi),那么信號通過系統(tǒng)后的失真可以忽略.2124.低通濾波器和帶通濾波器假設濾波器的通頻帶位于零頻附近至某一頻率,那么稱其為低通濾波器,其特性如圖

2.12.5

所示.假設濾波器的通頻帶位于某一頻率附近,且其帶寬遠小于此頻率那么稱其為帶通濾波器,其特性如圖Hω

2.12.6

所示.1W 0

W ω?ω=-ωτ圖 2.12.5

理想低通濾波器傳遞函數(shù)HωWˉ1-ω0

0 ω0 ω?ω=-ωτ圖2.12.6

理想帶通濾波器傳遞函數(shù)

ω jωτ理想低通濾波器的傳遞函數(shù)可表示為:

Hω=rect

We

2.12.14據(jù)ht Hω

可得到理想低通濾波器的沖激響應:ht=WSaWt-τ 2.12.15π213.希爾伯特變換2.3..希爾伯特變換的定義1∞fτ令ft)為實函數(shù),那么稱:

π∫t-ττ

為ft的希爾伯特變換,記作:-∞∧ 1∞f-∞ft=Hft =

π∫t-ττ 2.13.1-∞-1∞g-∞-∞稱: π∫t-τ-∞∞H-1gt =-1∫gτ∞

g)的希爾伯特反變,記作:τ 2.13.2π-∞

t-τ∧后面將證明有:

H-1ft =ft

2.13.3顯然希爾伯特變換可記為卷積形式:∧ft=ft?1∧πt

2.13.42132頻域的變換由式2.13.4

可將希爾伯特變換看作一線性系統(tǒng),其單位沖激響應為: ht=1ftπtft

,而其傳遞函數(shù)

Hω 1πt∧

即為1πt1

的付立葉變換.ht=1πt

ft=ft?πt圖2.13.1

希爾伯特變換等效系統(tǒng)現(xiàn)求Hω.為此先求頻率符號函數(shù)的付立葉反變換頻率符號函數(shù)為:Sgnω= 1 ω>0-1 ω<0

可表示為:Sgnω=limiteaωuω-aωu-ωa 0

其中:

uω= 1 ω>0 為0 ω<0單位價躍函數(shù).頻率符號函數(shù)的付立葉反變換可表示為:∞F-1Sgnω =limit 1∞

∫eaωuωejωtω-1

∞∫eaωu-ωejωtω==limit1

πa 0 -∞-1 - 1

=limit1

π-∞jt =ja 0π

-jt

jt

πa2+t2 πta 0:即 j Sgnωπt:

1由此得到: πt

2.13.5jSg2.13.5Hω=-jSgnω= -j ω>0j ω<0π由-j由e2=-j

π和j和e2=j

可看出希爾伯特變換等效一個理想相移器,在

ω>0域相移π2

在ω<0域相移π2同樣可得到:F-1Fπt =jSgnω 2.13.6由式2.13.6π

可看出希爾伯特反變換也等效一個理想相移器在-π

ω>0域相移

2 在ω<0域相移2 .∧例:ft=cosωt, 那么ft=cosωt-π2

=sinωt∧ft=sinωt-π2

=-cosωt,∧H-1ft =sinωt+π∧2

=cosωt=ft2133.希爾伯特變換的性質1,H-1ft =ft

∧ 2.13.7ft證:ft

H1ω H2ω ft因 H1ωH2ω=-jSgnω jSgnω =1.∧ ∧2. Hft =ft=-ft .因 H ωH ω=-jSgnω21 1

2.13.8=-1.3. ∞ ∞∧∫f2tdt=∫f2tdt.

2.13.9-∞ -∞證: 令

ft Fω,

∧ft ∧ω

那么:∞ ∞ ∞∧ ∞∫f2tdt=1

∫Fω2ω,

∫f2tdt=1∫∧ω2ω-∞ π-∞

-∞ π-∞又知:

∧ω=-jSgnωFω∧

由此有:

∧ω2=

Fω,

性質得證.4.f)為偶函數(shù),f)為奇函數(shù).∧f)為奇函數(shù),

f)為偶函數(shù).證: 令ft為偶函數(shù),那么有:f-t=ft

.根據(jù)定:∧ ∞ ∞ /∫f-t=1∫π-∞

fτ-t-τ

τ=1∫π-∞∫

f-τ-t-τ

τ=

令τ=τ 那么:-1∞

fτ/ ∧/=π∫t-τ/τ/

=ft.

由此得證.

同理可證明第二個結論.-∞∞ ∧ ∧5.∫ftftdt=0. 即ft與ft 相互正交.-∞

2.13.10利用性4即可證明.214.

解析信號2141.解析信號的定義∧令有實信號ft

那么稱復信號

Zt=ft+jft

2.14.1

為ft的解析信號有的文獻中稱作予包絡.2142.解析信號的性質1. ft=ReZt

2.14.22. ft=12

Zt+Z*t

2.14.3

其中:Z*t

是Zt

的共軛.3. 令

ft Fω , Zt Zω那么有:Zω= 2Fω ω>00 ω<0證:

也可表示為:

Zω=Fωuω2.14.4Zω=Fω+j∧ω

, 己知:

∧ω=-jSgnωFω ,得到:證畢.

Zω=Fω+SgnωFω=Fω1+Sgnω =Fω2uω∞ ∞. Zt=1∫Fωejωtdω=1∫Fωejωtdω

2.14.5π0 π0. FZ*t = 0 ω>0Fωω<0

即:FZ*ω =Fωu-ω

2.14.6證 : 己知Z*t=ft-jft,FZ*t =Fω-j∧ω==Fω1-Sgnω =Fωu-ω.令Z1t和Z2t為解析信號,那么有:1 2Z t?Z?t=0;1 2Z?1t?Z2t=0.Z?

證畢.

2.14.72.14.82證:Z1t Z1ω=2F1ωuω Z*2

t 2F2

ωu-ω根據(jù)卷積定理有:

1 2 1 2Z t?Z*t 2F ωuω2F ωu-ω=01 2 1 2由此得到:同理可以證明:

*Z1t?Z2*Z*

t=0 證畢.1t?Z2t=0..解析信號的能量等于實信號能量的二倍.∞ ∞ ∧ ∧EZ=∫Zt

dt=∫ftjft ftjft dt=-∞ -∞∞ ∧ ∞

2.14.9f=∫f2t+f2t dt=∫f2tdt=Ef-∞ -∞∞ ∧ ∞ ∞∧考慮到:∫ftftdt=0 和

∫f2tdt=∫f2tdt-∞ -∞ -∞e例2141.確定e

jω0t

是否是解析信號.jω0te =cjω0t

t+jsinω0t

因其虛部為其實部的希爾伯特變換,所以它是解析信號也可在頻域驗證:cosω0t πδω+ω0+δω-ω0ejω0t

πδω-ω0因ejω0t

的付立葉變換是其實部的付立葉變換正頻率部份的兩倍,故是解析信號.一般講,假設復信號的付立葉變換在ω<恒為零,那么此復信號是解析信號.2142.

實函數(shù)ft求其解析信號的方法∧.求ft)的希爾伯特變換ft)再構成其解析信號：∧Zt=ft+jft.由ft

求其付立葉變換Fω

,再由公式:

′∞1Zt= ∫Fωjωtdω1求ft

π0的解析信號.例2142.ft =cosω0t，求其解析信號.解：由前可知：cosω0t πδω+ω0+δω-ω0 =Fω

由此有:∞0Zt=1∫πδω+ω∞0

+δω-ω0

ejωtω=ejω0tπ0215.頻帶信號與帶通系統(tǒng)2151.頻帶信號的定義及表示法頻帶信號又稱帶通信號.

假設信號的頻譜集中在某一頻率附近,如圖2.15.1

所示,那么稱此信號為頻帶信號或稱帶通信.FωA-ωc-w

-ωc-ωc+w 0

ωc-w

ωcωc+w ω圖 2.15.1

頻帶信號的頻譜密度假設ωc>>2w

那么稱此頻帶信號為窄帶信號.在無線通信系統(tǒng)中通常滿足窄帶條件.利用解析信號表示頻帶信號特別是窄帶信號很便于對頻帶信號的分析.令ft

為頻帶信號,且

ft Fω∧其解析信號為:

Zt=ft+jft

Zω=Fωuω

的圖形如圖2.15.2

所示.ZωA0 ωc-w

ωcωc+w ω圖2.15.2

解析信號的頻譜密度～ jωct令:ft=Zteft F c c c那么有:～ ～ω=Zω+ω =2Fω+ω uω+ωft F c c c～Fω的圖形示于圖2.15.3.～FωA

2.15.22.15.3-w圖 2.15.3

0 w ω復包絡的頻譜密度jωct在式2.15.2

兩邊乘以e

可得:ftZt=～ eft～

jωct

2.15.4ft稱為Zt

的復包絡,

jωct Zte 稱為e 稱為

的復載波.由圖

2.15.3可見:頻帶信號的復包絡ft～

是復基帶信號.令 ft=fct+jfst

2.15.5顯然,

fct

和fst

都是實基帶信號.由解析信號性質有:～ft=ReZt =Reftejct ==Refct+jfst cosωctjsinωct ==Refctcosωct-fstsinωct+jfctsinωctjfstcosωct ==fctcosωct-fstsinωct 2.15.6式2.15.6中cosωct稱作ft的載波;fct稱作同相分量;fst稱作正交分量.復包絡還可以表示為:

～ft=atejθt 2.15.7～其中：at和θt

均為實基帶信號.

將式2.15.7

帶入式

2.15.4.jωct+θt 2.15.8得：Zt=ate ==at cosωct+θt +jsinωct+θt由ft=ReZt 得:ft=atcosωct+θt

2.15.9式2.15.9中

at稱作ft

的包絡;

θt稱作ft

的相;ωc稱作ft

的載波角頻率.式 2.15.6和式

2.15.9

是頻帶信號的常用的表示式.～由式2.15.7和式

2.15.9

可見:復包絡ft

包含了ft的除載波頻率以外的全部信息.由式ft=atcosωct+θt =atcosθtcosωct-atsinθtsinωct和式2.15.6

可得到同相分量、正交分量與包絡和相位的關系:fct=atcosθtfst=atsinθt

2.15.102.15.11csat= f2cs

t+f2tfst

2.15.12θt=arctg

fct

2.15.13例.1.1.令mt即其帶寬為w.

為基帶信號,其頻譜密度

Mω如圖

2.15.4

所示.1)確定

jω0tSt=mtejω0t

是解析信號的條件;2)求

mtcosω0t

的希爾伯特變換.jω0t jω0t Sω

St=mte 是否是解析信,應看其頻譜密度 是否只在正頻率域有值,即:

Sω= Sω ω>00 ω<0

.由:Sω=Mω-ω0

可知只有當

w<ω0

時才能滿足此條件見jω0t圖2.15.5 ]

即w<ω0

時 St=mte

是解析信,否那么不是.jω0t St又知St=mte

=mtcosω0t+jmtsinω0t

,假設 為解析信號那么其虛部為其實部的希爾伯特變換因此假設Hmtcosω0t=mtsinω0t

w<ω0

,那么有:由此例可見:窄帶信號均滿足以上條件,

因而具有上述性質.Mω-W 0 W ω圖2.15.4

基帶信號mtSω

的頻譜密度jω0t0ω?jω0t

ω0+W ω圖2152.帶通系統(tǒng)

2.15.5

復信號

St=mte

的頻譜密度1)定義:假設系統(tǒng)的通頻帶位于某一頻率附近,即其傳遞函數(shù)如圖2.15.6

所示,那么稱系統(tǒng)為帶通系統(tǒng).Hω?ωW

?ω0?ω0W

0 ω0W

ω0ω0W ω圖 2.15.6

帶通系統(tǒng)的傳遞函數(shù)假設帶通系統(tǒng)的帶寬遠小于其中心頻率,即W<<ω0窄帶系統(tǒng).

,那么稱系統(tǒng)為2)帶通系統(tǒng)的單位沖激響應系統(tǒng)的單位沖激響應與傳遞函數(shù)為付立葉變換對,即ht Hω

顯然帶通系統(tǒng)的單位沖激響應滿足頻帶信號條件因此它是頻帶信號.應用解析信號和復包絡可以得到帶通系統(tǒng)的等效低通特性,將基帶信號分析方法用于頻帶信號通過帶通系統(tǒng)的分析,可使分析大為簡化.∧令Zt=ht+jht為ht的解析信號, 且Zt Zω

那么有:Zω= Hω ω>0

或表為:0 ω<0 Zω=Hωuω其中:

uω=1

1ω>00ω<0jω0t 11ω>00ω<0

為單位階躍函數(shù).令:Lt=

2Zte

2Zω+ω0=Hω+ω0uω+ω0

2.15.14令:L

ω=Hω+ω0

uω+ω0

2.15.15有:LtLω

Lt Lω稱作帶通系統(tǒng)的等效低通單位沖激響應.稱作帶通系統(tǒng)的等效低通傳遞函數(shù).

2.15.16Hω和

Lω

的圖形示于圖

2.15.7和圖

2.15.8.Hω?ω0

0 ω0 ω圖 2.15.7

帶通系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Lω圖 2.15.8

0 ω帶通系統(tǒng)的等效低通傳遞函數(shù)由圖2.15.8

可見,帶通系統(tǒng)的等效低通傳遞函數(shù)是低通型的因此其付立葉反變換即帶通系統(tǒng)的等效低通單位沖激響應是基帶型的.)頻帶信號通過帶通系統(tǒng)分析令xt

為頻帶信號;

且xt Xω,

帶通系統(tǒng)的特性為

ht Hω求xt

通過此帶通系統(tǒng)的響應yt

,令yt Yω .此問題可用一般方法解決:

yt=xt?ht 或

Yω=XωHω但對帶通系統(tǒng)此法比擬繁瑣.利用頻帶信號的復包絡和帶通系統(tǒng)的等效低通特性可以使分析簡化下面介紹此法:由式又知:

L2.15.14L

可得到:

t