3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本(jīběn)思想及其初步應(yīng)用高二數(shù)學(xué)(shùxué)選修2-3第三章統(tǒng)計(jì)案例2023/1/131v:pzyandong第一頁，共52頁。獨(dú)立性檢驗(yàn)(jiǎnyàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類變量(biànliàng)的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量(biànliàng)之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。2023/1/132v:pzyandong第二頁，共52頁。

吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965探究(tànjiū):為了調(diào)查吸煙(xīyān)是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表分類(fēnlèi)變量2023/1/133v:pzyandong第三頁，共52頁。

吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965探究(tànjiū):為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到(dédào)如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

吸煙者和不吸煙者都可能(kěnéng)患肺癌，吸煙者患肺癌的可能(kěnéng)性較大0.54%2.28%分類變量42/78172023/1/134v:pzyandong第四頁，共52頁。通過(tōngguò)圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：等高條形圖在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

0.54%2.28%2023/1/135v:pzyandong第五頁，共52頁。上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)(guāndiǎn)來考察這個(gè)問題?，F(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握(bǎwò)認(rèn)為”吸煙與患肺癌有關(guān)”,為此先假設(shè)H0：吸煙與患肺癌(fèiái)沒有關(guān)系.不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表

用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價(jià)于“吸煙與患肺癌獨(dú)立”，即假設(shè)H0等價(jià)于P(AB)=P(A)P(B).2023/1/136v:pzyandong第六頁，共52頁。因此|ad－bc|越小，說明(shuōmíng)吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說明(shuōmíng)吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在H0成立(chénglì)的條件下應(yīng)該有其中(qízhōng)n≈a+b+c+d為樣本容量，即(a+b+c+d)a≈(a+b)(a+c),即ad≈bc2023/1/137v:pzyandong第七頁，共52頁。不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d獨(dú)立性檢驗(yàn)(jiǎnyàn)在不吸煙者中不患肺癌的比重是

在吸煙者中不患肺癌的比重是

H0：假設(shè)(jiǎshè)吸煙和患肺癌沒有關(guān)系2023/1/138v:pzyandong因此|ad－bc|越小，說明吸煙(xīyān)與患肺癌之間關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說明吸煙(xīyān)與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。第八頁，共52頁。獨(dú)立性檢驗(yàn)(jiǎnyàn)H0：假設(shè)(jiǎshè)吸煙和患肺癌沒有關(guān)系作為檢驗(yàn)在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)變量有關(guān)系(guānxì)”的標(biāo)準(zhǔn)。

若H0(吸煙和患肺癌沒有關(guān)系)成立，則K2應(yīng)該很小.構(gòu)造隨機(jī)變量(卡方統(tǒng)計(jì)量)2023/1/139v:pzyandong因此|ad－bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；

|ad－bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。第九頁，共52頁。獨(dú)立性檢驗(yàn)(jiǎnyàn)H0：假設(shè)吸煙和患肺癌(fèiái)沒有關(guān)系

吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)98749199652023/1/1310v:pzyandong第十頁，共52頁。P(K2≧k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.1%把握認(rèn)為(rènwéi)A與B無關(guān)1%把握(bǎwò)認(rèn)為A與B無關(guān)99.9%把握(bǎwò)認(rèn)A與B有關(guān)99%把握認(rèn)為A與B有關(guān)90%把握認(rèn)為A與B有關(guān)10%把握認(rèn)為A與B無關(guān)隨機(jī)變量-----卡方統(tǒng)計(jì)量2023/1/1311v:pzyandong第十一頁，共52頁。即在H0成立的情況(qíngkuàng)下，K2大于6.635概率非常小，近似為0.01現(xiàn)在的K2≈56.632的觀測值遠(yuǎn)大于6.635，小概率事件的發(fā)生說明(shuōmíng)假設(shè)H0不成立！P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828臨界值表獨(dú)立性檢驗(yàn)(jiǎnyàn)H0：假設(shè)吸煙和患肺癌沒有關(guān)系所以吸煙和患肺癌有關(guān)！2023/1/1312v:pzyandong第十二頁，共52頁。1．對分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測值k，說法正確的是()A．k越大，“X與Y有關(guān)系(guānxì)”可信程度越小B．k越小，“X與Y有關(guān)系(guānxì)”可信程度越小C．k越接近于0，“X與Y無關(guān)”程度越小D．k越大，“X與Y無關(guān)”程度越大B2023/1/1313v:pzyandong第十三頁，共52頁。獨(dú)立性檢驗(yàn)基本(jīběn)的思想類似反證法(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”.(2)在此假設(shè)下隨機(jī)變量K2應(yīng)該很能小,如果由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測值k很大,則在一定程度上說明假設(shè)不合理.(3)根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義,可以通過評價(jià)該假設(shè)不合理的程度,由實(shí)際(shíjì)計(jì)算出的,說明假設(shè)合理的程度為99.9%,即“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為99.9%.2023/1/1314v:pzyandong第十四頁，共52頁。反證法原理(yuánlǐ)與假設(shè)檢驗(yàn)原理(yuánlǐ)反證法原理：在一個(gè)(yīɡè)已知假設(shè)下，如果推出一個(gè)(yīɡè)矛盾，就證明了這個(gè)假設(shè)不成立。假設(shè)檢驗(yàn)原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果一個(gè)與該假設(shè)矛盾的小概率事件(shìjiàn)發(fā)生，就推斷這個(gè)假設(shè)不成立。2023/1/1315v:pzyandong第十五頁，共52頁。在H0成立(chénglì)的條件下，構(gòu)造與H0矛盾的小概率事件；2.如果樣本使得這個(gè)小概率事件發(fā)生，則H0不成立(chénglì)，就能以一定把握斷言H1成立(chénglì)；否則，斷言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與H0相矛盾的證據(jù)。求解(qiújiě)思路假設(shè)檢驗(yàn)問題(wèntí)：2023/1/1316v:pzyandong第十六頁，共52頁。例1.在某醫(yī)院,因?yàn)榛夹呐K病而住院(zhùyuàn)的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院(zhùyuàn)的男性病人中有175人禿頂.分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷是否有關(guān)?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?患心臟病不患心臟病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437在禿頂(tūdǐng)中患心臟病的比重是在不禿頂(tūdǐng)中患心臟病的比重是55.01%43.03%2023/1/1317v:pzyandong第十七頁，共52頁。例1.在某醫(yī)院,因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂.分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷(pànduàn)是否有關(guān)?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?患心臟病不患心臟病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437根據(jù)聯(lián)表的數(shù)據(jù)(shùjù)，得到所以有99%的把握(bǎwò)認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)”。2023/1/1318v:pzyandong第十八頁，共52頁。注意(zhùyì)：因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)來自住院的病人(bìngrén)，因此所得到的結(jié)論適合住院的病人(bìngrén)群體．2、本例中的邊框(biānkuàng)中的注解：1、在解決實(shí)際問題時(shí)，可以直接計(jì)算K2的觀測值k進(jìn)行獨(dú)立檢驗(yàn)，而不必寫出K2的推導(dǎo)過程；

主要是使得我們注意統(tǒng)計(jì)結(jié)果的適用范圍（這由樣本的代表性所決定）2023/1/1319v:pzyandong第十九頁，共52頁。知識點(diǎn)一分類變量和列聯(lián)表[梳理](1)分類變量變量的不同“值”表示個(gè)體所屬(suǒshǔ)的__________，像這樣的變量稱為__________.(2)列聯(lián)表①定義：列出的兩個(gè)分類變量的__________，稱為列聯(lián)表．不同(bùtónɡ)類別分類(fēnlèi)變量頻數(shù)表2023/1/1320v:pzyandong第二十頁，共52頁。②2×2列聯(lián)表：一般地，假設(shè)有兩個(gè)(liǎnɡɡè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d2023/1/1321v:pzyandong第二十一頁，共52頁?！鞠胍幌搿?.如何理解分類變量？提示：(1)這里的“變量”和“值”都應(yīng)作為“廣義(guǎngyì)”的變量和值來理解．例如：對于性別變量，其取值有“男”和“女”兩種，這里的“變量”指的是“性別”，這里的“值”指的是“男”或“女”．因此這里說的“變量”和“值”不一定是取具體的數(shù)值．(2)分類變量是大量存在的．例如：吸煙變量有吸煙與不吸煙兩種類別，而國籍變量則有多種類別．2023/1/1322v:pzyandong第二十二頁，共52頁。知識點(diǎn)二等高條形圖[梳理](1)定義:將列聯(lián)表中的__________用高度相同的兩個(gè)條形圖表示出來,其中兩列的__________分別(fēnbié)對應(yīng)不同的顏色，這就是等高條形圖．(2)特征：等高條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否__________，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的__________.數(shù)據(jù)(shùjù)數(shù)據(jù)(shùjù)相互影響頻率特征2023/1/1323v:pzyandong第二十三頁，共52頁?！鞠胍幌搿?.利用等高條形圖能否精確地判斷兩個(gè)(liǎnɡɡè)分類變量是否有關(guān)系？為什么？提示：不能，因?yàn)橥ㄟ^等高條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)(liǎnɡɡè)分類變量是否有關(guān)系，但這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度．2023/1/1324v:pzyandong第二十四頁，共52頁。知識點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)(jiǎnyàn)[梳理]兩個(gè)分類變量(biànliàng)有關(guān)系a＋b＋c＋d2023/1/1325v:pzyandong第二十五頁，共52頁。具體步驟①根據(jù)實(shí)際問題的需要，確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定________________.②利用公式計(jì)算隨機(jī)變量K2的____________.③如果__________，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷_________________不超過α；否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中_________________支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”臨界值k0觀測(guāncè)值kk≥k0犯錯(cuò)誤的概率(gàilǜ)沒有發(fā)現(xiàn)足夠(zúgòu)證據(jù)2023/1/1326v:pzyandong第二十六頁，共52頁。附：獨(dú)立性檢驗(yàn)(jiǎnyàn)臨界值表.P(K2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.8282023/1/1327v:pzyandong第二十七頁，共52頁?！鞠胍幌搿?.在判斷兩變量相關(guān)時(shí)，若K2的觀測值k＝56.632，則P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥10.828)≈0.001，哪種說法(shuōfǎ)是正確的？提示：兩種說法(shuōfǎ)均正確．P(K2≥6.635)≈0.01的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為兩變量相關(guān)；而P(K2≥10.828)≈0.001的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為兩變量相關(guān)．2023/1/1328v:pzyandong第二十八頁，共52頁。1．利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算出各類變量取值對應(yīng)(duìyìng)的頻率，作出等寬度且高度均為1的等高條形圖．2．利用數(shù)形結(jié)合的思想，借助等高條形圖來判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)，是判斷變量相關(guān)的常見方法之一．等高條形圖的應(yīng)用(yìngyòng)2023/1/1329v:pzyandong第二十九頁，共52頁。 為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系，分別(fēnbié)對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下：試畫出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系？組別陽性數(shù)陰性數(shù)總計(jì)鉛中毒病人29736對照組92837總計(jì)3835732023/1/1330v:pzyandong第三十頁，共52頁。解：等高條形圖如圖所示：其中兩個(gè)淺色(qiǎnsè)條的高分別代表鉛中毒病人和對照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率．由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對照組相比，尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關(guān)系．2023/1/1331v:pzyandong第三十一頁，共52頁。2023/1/1332v:pzyandong第三十二頁，共52頁。1．某學(xué)校(xuéxiào)對高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，426名性格內(nèi)向的學(xué)生中有332人在考前心情緊張，594名性格外向的學(xué)生中有213人在考前心情緊張．作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類型是否有關(guān)系．解：作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性格外向總計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計(jì)42659410202023/1/1333v:pzyandong第三十三頁，共52頁。相應(yīng)的等高條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示(biǎoshì)考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的比例．從圖中可以看出，考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高，可以認(rèn)為考前心情緊張與性格類型有關(guān)．2023/1/1334v:pzyandong第三十四頁，共52頁。兩個(gè)分類變量相關(guān)性檢驗(yàn)方法利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，能較精確地給出這種判斷的可靠程度，具體的做法：①根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0.②計(jì)算(jìsuàn)隨機(jī)變量K2的觀測值k.③如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．兩個(gè)(liǎnɡɡè)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)2023/1/1335v:pzyandong第三十五頁，共52頁。為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對外語的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科(wénkē)對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人．能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對外語的興趣有關(guān)”？解：根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：理科文科總計(jì)有興趣13873211無興趣9852150總計(jì)2361253612023/1/1336v:pzyandong第三十六頁，共52頁。2023/1/1337v:pzyandong第三十七頁，共52頁。2023/1/1338v:pzyandong第三十八頁，共52頁。2．在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(yùndòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(yùndòng)．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表；并估計(jì)，以運(yùn)動(yùndòng)為主的休閑方式的人的比例；(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下，認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系？2023/1/1339v:pzyandong第三十九頁，共52頁。附表：P(K2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.8282023/1/1340v:pzyandong第四十頁，共52頁。2023/1/1341v:pzyandong第四十一頁，共52頁。2023/1/1342v:pzyandong第四十二頁，共52頁。 某中學(xué)(zhōngxué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”，每班50人．陳老師采用A，B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn)．為了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師分別從兩個(gè)班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出莖葉圖如圖．記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”．獨(dú)立性檢驗(yàn)(jiǎnyàn)的綜合應(yīng)用2023/1/1343v:pzyandong第四十三頁，共52頁。(1)在乙班樣本的20個(gè)個(gè)體中，從不低于86分的成績(chéngjì)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求抽出的兩個(gè)均“成績(chéngjì)優(yōu)秀”的概率；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為：“成績(chéngjì)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．2023/1/1344v:pzyandong第四十四頁，共52頁。2023/1/1345v:pzyandong第四十五頁，共52頁。2023/1/1346v:pzyandong第四十六頁，共52頁。[規(guī)律方法](1)獨(dú)立性檢驗(yàn)問題常與統(tǒng)計(jì)、概率相結(jié)合，解題時(shí)一定要認(rèn)真審題，找出各數(shù)據(jù)(shùjù)的聯(lián)系