化高階方程為一階方程組5.1化任意正規(guī)型微分方程和方程組為一階正規(guī)型微分方程組在第一章中，我們給出了微分方程的階和解等概念，這些概念可以對(duì)方程組類似的加以定義。先從兩個(gè)未知函數(shù)的情形說(shuō)起，這時(shí)方程組的一般形式是

（）其中x是自變量，y和z是未知函數(shù)，F(xiàn)和G是它們所依賴的m+n+1個(gè)變量的已知函數(shù)。出現(xiàn)在方程中的未知函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程組（）關(guān)于y的階。未知函數(shù)z的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程組（）關(guān)于z的階。而m+n則稱為方程組（）的階。函數(shù)組稱為方程組（）在區(qū)間I上的解，如果它們?cè)贗上有定義，具有從1到m階導(dǎo)數(shù)，具有從1到n對(duì)所有成立。類似地可以定義含而出現(xiàn)在方程組中的的導(dǎo)數(shù)的最高階，則階導(dǎo)數(shù)，并且能使三個(gè)和更多個(gè)未知函數(shù)的微分方程組的解。如果方程組中的未知函數(shù)為數(shù)為則稱為方程組關(guān)于的階，

而稱為方程組的階。對(duì)于方程組（），初值問(wèn)題或Cauchy問(wèn)題的提法是，任意給定初始條件求方程（）滿足這個(gè)條件的解。這里和一個(gè)方程的情形一樣，關(guān)于每個(gè)未知函數(shù)的初始條件的個(gè)數(shù)必須正好等于方程組關(guān)于這個(gè)未知函數(shù)的階數(shù)。（）關(guān)于含有任意多個(gè)未知函數(shù)的方程組的初值問(wèn)題或Cauchy問(wèn)題的提法也可以類推。

從關(guān)系式（）中就最高階導(dǎo)數(shù)解出所得到的方程組

稱為正規(guī)型微分方程組，這里f和g都是它們所依賴的m+n+1個(gè)變量的已知函數(shù)。形為（）的方程組稱為隱形微分方程組（）關(guān)于正規(guī)性方程（組）和隱形方程（組）的說(shuō)法對(duì)于含有任意多個(gè)未知函數(shù)的微分方程組也是適用的。以后我們將著重研究含有n個(gè)未知函數(shù)的n個(gè)一階常微分方程構(gòu)成的常微分方程組，如果已經(jīng)就解出，則它的一般形式是

或

（）

（）對(duì)于正規(guī)型微分方程

（）（）如果令則它與下面的微分方程組等價(jià)

的形如（）的正規(guī)型（）顯然方程組（）是一個(gè)含有未知函數(shù)微分方程組。這里等價(jià)的意義是，如果是方程（）在區(qū)間I上的解，令

則顯然有

這表明是方程組（）在區(qū)間I上的解。（）

（）

反之，設(shè)是方程組（）在區(qū)間I上的解。于是關(guān)系式（）在I上恒成立。由此關(guān)系式的前n-1個(gè)式子，首先看出函數(shù)滿足（），在由此及（）的最后一個(gè)式子，得出

這表明是方程組（）在區(qū)間I上的解。

類似地，含有n個(gè)未知函數(shù)的高階微分方程組，總可以化成形如（）的一階微分方程組。以兩個(gè)未知函數(shù)的（）為例，與其等價(jià)的一階微分方程組是

（）根據(jù)上述的等價(jià)性，任意一個(gè)正規(guī)型微分方程或微分方程組的研究都可以化為形如（）的正規(guī)型微分方程組的研究。其中系數(shù)上都是連續(xù)的已知函數(shù)。采用矩陣和向量記號(hào)

則可以將（）寫成向量形式

.