（一）拱的特點及其分類拱結(jié)構(gòu)是指桿軸為曲線，在豎向荷載作用下，除產(chǎn)生豎向反力外還產(chǎn)生水平反力的結(jié)構(gòu)。拱的主要特點是：①拱軸一般為曲線且在豎向荷載作用下能產(chǎn)生水平反力；②拱內(nèi)的彎矩比梁小，主要承受軸向壓力。第三章靜定結(jié)構(gòu)——三鉸拱拱中橫截面上應(yīng)力的分布均勻，主要是壓應(yīng)力，可用抗壓性能好而抗拉性能差的材料(磚、石、混凝土)來建造。由于水平反力(推力)的存在，對拱腳處的支承要求高。為此可把兩端的支座改成簡支形式，其間增加一根拉桿，水平反力由拉桿承擔(dān)。按單跨拱中所包含鉸的個數(shù)而把拱分為三鉸拱、兩鉸拱和無鉸拱三種。

1.三鉸拱兩曲桿之間用鉸連接，另兩端用固定鉸支座與基礎(chǔ)連接而成。三鉸拱可以做成帶拉桿的三鉸拱，三鉸拱是靜定結(jié)構(gòu)，其反力和內(nèi)力均可由平衡條件求出。2.兩鉸拱拱中只有兩個拱腳鉸，稱為兩鉸拱。兩鉸拱可以是帶拉桿的或不帶拉桿的兩鉸拱。兩鉸拱是一次超靜定結(jié)構(gòu)。3.無鉸拱中間無鉸，兩端是固定端支座者，稱為無鉸拱。它是三次超靜定結(jié)構(gòu)。（二）對稱三鉸拱的數(shù)解法計算支座反力圖示三鉸拱中，共有四個反力：VA、HA、VB、HB。

根據(jù)整體的平衡條件可建立三個平衡方程：

∑MA=0∑MB=0∑X=0再取中間鉸一側(cè)隔離體，∑MC=0，由這四個方程可解出四個反力。由∑MB=0，得：VAl－P1b1－P2b2－…=0VA=(P1b1＋P2b2＋…)/l由∑MA=0，得：VB=(P1a1＋P2a2＋…)/l

把兩個豎向反力VA、VB與相應(yīng)簡支梁支座反力V0A、V0B相比，可知豎向荷載作用下，對稱三鉸拱的豎向反力與其相應(yīng)簡支梁的反力完全相同。V0AV0B由∑X=0，得：HA=HB

=H中間鉸左側(cè)隔離體∑MC=0得：∑MC=VAl1－P1(l1－a1)－P2(l1－a2)－P3(l1－a3)－Hf

=0得：H=[VAl1－P1(l1－a1)－P2(l1－a2)－P3(l1－a3)]/f因VA=V0A，得：H=M0C/fM0C為相應(yīng)簡支梁截面C的彎矩。歸納分析結(jié)果，可得豎向荷載作用下，對稱三鉸拱的反力公式：VA=V0A

=相應(yīng)簡支梁支座A的反力(4-1)

VB=V0B

=相應(yīng)簡支梁支座B的反力(4-2)H=M0C/f

=相應(yīng)簡支梁截面C的彎矩/矢高(4-3)2.內(nèi)力計算

以左拱腳鉸A點為坐標(biāo)原點，規(guī)定左半拱φD取正號，右半拱φD取負(fù)號。

截面是位于拱軸D點的法線方向。確定該截面的位置，用坐標(biāo)xD，yD和傾角φD?！芃D=0，得：MD=VAxD－P1(xD－a1)－P2(xD－a2)－HyD=V0AxD－P1(xD－a1)－P2(xD－a2)

－HyD

=M0D－HyD

M0D為相應(yīng)簡支梁截面D的彎矩。∑n=0，得：QD

=VAcosφD－P1cosφD－P2cosφD

－HsinφD=(V0A－P1－P2)cosφD

－HsinφD

=Q0DcosφD－HsinφD

∑t=0，得：ND

=VAsinφD-P1sinφD-P2sinφD+HcosφD=(V0A－P1－P2)sinφD+HcosφD

=Q0DsinφD+HcosφDQ0D為相應(yīng)簡支梁截面D的剪力。兩個投影方程可用拱軸在該點的法線n和切線t為投影軸。從內(nèi)力公式可知，三鉸拱的內(nèi)力不僅與三個鉸的位置有關(guān)，而且與拱軸的形狀有關(guān)。拱內(nèi)力計算的一般法則：任一截面彎矩＝該截面左邊(或右邊)所有外力(包括反力)對截面形心力矩代數(shù)和，內(nèi)側(cè)受拉為正；任一截面剪力＝該截面左邊(或右邊)所有外力(包括反力)，在拱軸該點的法線上投影代數(shù)和，順時針取正，反之則負(fù)；任一截面軸力＝該截面左邊(或右邊)所有外力(包括反力)，在拱軸該點切線上投影代數(shù)和，受壓為正。

MD

=M0D－HyD

QD

=Q0DcosφD－HsinφD

ND

=Q0DsinφD+HcosφD得到的右邊式適用于豎向荷載作用下對稱三鉸拱。3.拱的受力特點與相應(yīng)簡支梁相比較，拱的受力情況具有如下特點：(1)在豎向荷載作用下，拱存在水平推力。(2)三鉸拱橫截面上的彎矩要比梁的彎矩小，這是拱的跨度可以比梁大的原因。按絕對值相比較，拱內(nèi)大多數(shù)截面的剪力比梁小。(3)在豎向荷載作用下，拱有較大軸壓力存在，是主要內(nèi)力。一般不出現(xiàn)拉應(yīng)力，所以可用磚、石或素混凝土等脆性材料來建造。例試?yán)L出所示二次拋物線三鉸拱的內(nèi)力圖。三鉸拱的跨度l=16m，矢高f=4m。拱承受全跨均布荷載q=4kN/m。以A點為坐標(biāo)原點，拱軸線方程為：解：求解此題時，暫不作具體數(shù)字的運算，而首先按一般文字常數(shù)進(jìn)行討論，則可得到一個具有普遍意義的結(jié)論。(1)反力VA=VB=V0A=ql/2H=M0C/f=(ql2/8)/f(2)任一截面的彎矩

M=M0－Hy

=0可見，拱內(nèi)無彎矩。(3)任一截面的剪力由于拱內(nèi)無剪力。(4)任一截面的軸力由于已知任一截面的剪力均等于零:由得

結(jié)論：拱內(nèi)只產(chǎn)生軸力，而彎矩和剪力均為零,是拱中最理想的受力狀態(tài)，截面上應(yīng)力均勻分布，能充分利用材料。當(dāng)均布荷載向下時，拱內(nèi)的軸力是壓力，可用抗壓性能好的磚、石或混凝土等材料建造。由軸力公式可知，軸力與cosφ成反比，兩端的cosφ小，軸力大；中段cosφ大，軸力小。為了使拱內(nèi)各點的應(yīng)力相同，常采用變截面拱，各截面高h(yuǎn)=hc

/cosφ，hc為拱頂截面高。最后根據(jù)本例的已知條件，進(jìn)行具體計算。VA=VB=V0A=ql/2=4×16

/2=32kNH=(ql

2/8)/f=(4×162/8)/4=32kNN=H/cosφ=32/cosφ由于對稱，只計算半邊拱。x

(m)y(m)φcosφN(kN)0045?0.70745.321.7536?520.840.04326?340.89435.863.7514?020.97033.0840?132.0根據(jù)表中數(shù)值，可畫出N圖如圖所示。（三）三鉸拱的合理拱軸1.合理拱軸的概念當(dāng)拱內(nèi)任一截面的彎矩等于零，處于無彎矩狀態(tài)，各截面均只有軸力，截面上的應(yīng)力均勻分布，材料得到最充分的利用，這樣，拱的受力狀態(tài)達(dá)到最理想的情況。在固定荷載作用下，使拱處于無彎矩狀態(tài)的拱軸線稱為“合理拱軸”。2.合理拱軸求法合理拱軸求法利用下面彎矩方程式，并令它等于零，即M=M0－Hy=0于是有y=M0/H=KM0

其中K=1/H=1/(M0C

/f)=f/M0C

說明，在豎向荷載作用下，合理拱軸的縱坐標(biāo)(y)與相應(yīng)簡支梁的彎矩(M0)成正比。在固定的豎向荷載作用下，如果兩個拱腳鉸的位置已確定，則M0圖就不變了，這時，y將隨C鉸的位置(即M0C)而變化。若頂鉸的位置亦已選定，則合理拱軸只有一個。若C鉸的位置可以任意選擇的話，則合理拱軸可以有無限多個。無論如何，合理拱軸的形狀始終與M0圖相似，即(y與M0成正比)。顯然，當(dāng)拱上受集中荷載或不連續(xù)的分布荷載作用時M0圖就是折線形或很不規(guī)則。此時合理拱軸雖然在理論上能夠找到，但實際上卻難以采用。y=M0/H=KM0其中K=1/H=1/(M0C

/f)=f/M0C例中，已知二次拋物線拱在全跨受豎向均布荷載作用下，各截面均無彎矩?，F(xiàn)假設(shè)拱軸方程y為未知，但三個鉸的位置已定，鉸C在拱頂處，如圖示?，F(xiàn)按照上述方法，求其合理拱軸方程。