第3章水動力學(xué)基礎(chǔ)（BasicHydrodynamics)

水動力學(xué)是以動力學(xué)的理論和方法研究液體的機械運動規(guī)律。

3.1液體運動的描述方法

與固體不同，由于液體質(zhì)點間存在著相對運動，如何用數(shù)學(xué)物理方法來描述液體的運動是從理論上研究液體運動的首要問題。通常有拉格朗日法和歐拉法兩種方式。

3.1.1拉格朗日法（J.Lagrange）

拉格朗日法—把液體的運動看成是無數(shù)質(zhì)點運動的總和，以個別質(zhì)點作為研究對象加以描述，再將各質(zhì)點的運

動匯總起來，就得到整個流動的運動規(guī)律。又稱為質(zhì)點系法。xzyOM（a，b，c）（t0）（x，y，z）t若給定a，b，c，即為某一質(zhì)點的運動軌跡線方程。液體質(zhì)點在任意時刻的速度。返回

拉格朗日法是固體力學(xué)常用的方法，此法中運動軌跡、速度、加速度之間的關(guān)系可表示為：

由于液體的運動軌跡比較復(fù)雜，此法描述比較困難，因此故除個別流動（波浪運動）外，一般不采用。

3.1.2歐拉（Euler）法

歐拉法—以充滿液體的空間，即流場為對象，觀察不同時刻流場中各空間點上液體質(zhì)點的運動參數(shù)（流速等），將其匯總起來，就形成了對整個流場的描述。又稱為流場法xzyOM（x，y，z）t時刻若x，y，z為常數(shù)，t為變數(shù)，？若t為常數(shù)，x，y，z為變數(shù)，？質(zhì)點通過流場中任意點的加速度返回歐拉法的運動參數(shù)例如：式中x，y，z為流場中的空間坐標(biāo)，t為時間。于同一質(zhì)點來說，又是時間的函數(shù)。因此加速度需采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法求出，即

由于x，y，z為液體質(zhì)點在t時刻的運動坐標(biāo)，故對y同理上式為歐拉法描述液體運動中質(zhì)點加速度的表達(dá)式，其中為某空間點速度隨時間的變化率，稱為時變加速度或當(dāng)?shù)丶铀俣龋黄渌黜梽t是該空間點速度由空間點位置變化所引起的加速度，稱為位變加速度或遷移加速度。例如，水箱里的水經(jīng)水管流出水箱水位下降，兩水箱水管中均有時變加速度；水箱水位恒定不變，兩水箱水管中均無時變加速度；前面水箱水管管徑不變，A、B兩點速度相同，無位變加速度；ABAB后面水箱水管管徑變化，A、B兩點速度不同，有位變加速度。

3.2歐拉法的基本概念

（1）恒定流和非恒定流（steadyandunsteadyflows）恒定流—流場中各空間點的運動要素（流速等）均不隨時間變化的流動，反之為非恒定流。對于恒定流

恒定流時，時變加速度為零。

前面的例子中，水箱水位不變?yōu)楹愣鳌?/p>

（2）一元、二元和三元流動（one/two/threedimensionalflows）流動參數(shù)（如流速）是三個空間坐標(biāo)的函數(shù)，流動是三元的。其他依此類推。.下面的流動中哪個是恒定非均勻流？（）A.湖中繞等速行駛的船只的水流B.水位不平穩(wěn)時繞過橋墩的水流C.水箱水位下降過程中流經(jīng)長直管道的水流D.水箱水位穩(wěn)定時流經(jīng)漸擴管的水流（3）流線為形象地描述流動，特引入流線的概念。流線（streamline）—流場中的空間曲線，在同一瞬時線上各點的速度矢量與之相切。

兩流線不能相交或為折線，而是光滑曲線或直線。u1u2u3某時段內(nèi)，液體質(zhì)點經(jīng)過的軌跡稱跡線（pathline）。跡線與流線是完全不同的兩個概念。恒定流時，流線與跡線重合。

流線的基本特性：1.恒定流時，流線的形狀與位置不隨時間而改變，流線與跡線重合。2.非恒定流時，流線的形狀與位置隨時間而改變，即流線一般只有瞬時意義，跡線與流線一般不重合。3.流線不能相交或轉(zhuǎn)折。

（4）均勻流和非均勻流（uniformandnonuniformflows）流線為平行直線的流動為均勻流，否則為非均勻流。按流線是否為彼此平行的直線均勻流漸變流急變流非均勻流前面例子中，等直徑管內(nèi)的流動為均勻流動，變直徑管內(nèi)的流動為非均勻流。流線圖均勻流均勻流非均勻流均勻流非均勻流均勻流非均勻流非均勻流漸變流急變流急變流急變流返回返回返回均勻流、漸變流過水?dāng)嗝娴闹匾匦跃鶆蛄魇橇骶€為彼此平行的直線，應(yīng)具有以下特性：返回過水?dāng)嗝鏋槠矫?，且過水?dāng)嗝娴男螤詈统叽缪爻滩蛔儯煌涣骶€上不同點的流速應(yīng)相等，從而各過水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植枷嗤?，斷面平均流速相等；均勻流（包括漸變流）過水?dāng)嗝嫔系膭铀畨簭姺植家?guī)律與靜水壓強分布規(guī)律相同，即在同一過水?dāng)嗝嫔细鼽c的測壓管水頭為一常數(shù)；推論：均勻流過水?dāng)嗝嫔蟿铀倝毫Φ挠嬎惴椒ㄅc靜水總壓力的計算方法相同。

（5）元流與總流流場中取一非流線的封閉曲線，通過曲線上各點的流線所構(gòu)成的管狀表面稱為流管。由于流線不能相交，所以液體不能從流管的側(cè)壁流入或流出。恒定流時，流管形狀保持不變。與流管上所有流線都正交的橫斷面稱為過水?dāng)嗝妫╟rosssection）。流線相互平行時，過水?dāng)嗝鏋槠矫?，否則為曲面。過水?dāng)嗝鏋闊o限小時，流管及其內(nèi)部的液體稱為元流（elementaryflow）。元流的幾何特征與流線相同。過水?dāng)嗝鏋橛邢薮笮r，流管及其內(nèi)部的液體稱為總流（totalflow）?？偭魇怯蔁o數(shù)元流組成。

（6）流量與斷面平均流速單位時間內(nèi)通過過水?dāng)嗝嬉后w的體積，稱為體積流量，簡稱流量（flowrate/discharge），單位為立方米每秒（m3/s）。若以dA表示元流過水?dāng)嗝婷娣e，u表示該斷面流速，則總流流量為

除體積流量外，還可有質(zhì)量流量及重量流量等。

總流過水?dāng)嗝嫔细鼽c的速度u一般是不相等的。以管流為例，管壁處流速最?。?），管軸處最大。為便于計算，設(shè)想過水?dāng)嗝嫔狭魉倬鶆蚍植?，即各點流速相同，通過的流量與實際相同，于是定義v為該斷面的斷面平均流速（meanvelocity），表示為

或Auv

3.3連續(xù)性方程（continuityequation）流場中取一段總流，兩端過水?dāng)嗝婷娣e分別為A1和A2?？偭髦腥稳∫辉?，兩端過水?dāng)嗝婷娣e分別為dA1和dA2，流速分別為u1和u2?？紤]到：形狀不變；（2）連續(xù)介質(zhì)，元流內(nèi)部無間隙；（1）恒定流時，元流A1

A2

u1

u2

dA1

dA2

（3）流線性質(zhì)，流管側(cè)壁無液體流入流出。

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，單位時間內(nèi)從dA1流入液體的質(zhì)量等于從dA2流出液體的質(zhì)量，即

上式是在總流沿程無分流或合流條件下得出的，若總流沿程流量有變化，則所有流量變化可表示為對于不可壓縮液體，有

對總流過水?dāng)嗝娣e分，得或于是或

連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律的水力學(xué)表達(dá)式。

§3-3恒定一元流的連續(xù)性方程式返回在恒定總流中，取一微小流束，依質(zhì)量守恒定律：u1u2dA1dA2設(shè)，則即有：微小流束的連續(xù)性方程積分得：也可表達(dá)為：恒定總流的連續(xù)性方程適用條件：恒定、不可壓縮的總流且沒有支匯流。

若有支流：Q1Q2Q3Q1Q2Q33.5伯努利方程x

理想液體內(nèi)取邊長分別為dx,dy,dz的微元六面體，pMyzbdxb’aa’zyxdydzO’c’d’dcpN

受力和運動情況。中心點O’(x,y,z)壓強p(x,y,z)、流速u(x,y,z)。

根據(jù)牛頓第二定律，以x方向為例，分析微元六面體的3.5.1理想液體運動微分方程表面力：理想液體內(nèi)，不存在切應(yīng)力，只有壓強。故除abcd

與a’b’c’d’兩面外，其余面上作用的壓力在x軸上投影均為0。此兩面中心點壓強可用Taylor級數(shù)展開：兩個面上的總壓力則為：質(zhì)量力：x方向單位質(zhì)量力與六面體總質(zhì)量的乘積，即根據(jù)牛頓第二定律，x方向：化簡后得:上式即液體運動微分方程，由歐拉（Euler)于1755導(dǎo)出，同理得:又稱歐拉運動微分方程。

3.5.2理想液體運動微分方程的伯努利積分將歐拉運動微分方程各式分別乘以流線上微元線段的投影dx、dy和dz，然后相加引入限定條件：（1）作用在液體上的質(zhì)量力只有重力，即X=Y=0，Z=－g于是Xdx+Ydy+Zdz=－gdz

（2）不可壓縮液體做恒定流動時ρ=const，p=p(x,y,z)于是（3）恒定流動時，流線與跡線重合dx=uxdt，dy=uydt，dz=uzdt

于是將限定條件代回原方程積分該式由瑞士物理學(xué)家伯努利于1738年推出，稱伯努利方程。

或伯努利DanielBernoulli1700年生于荷蘭的格羅寧根，5歲同家人回遷瑞士的巴塞爾。1782年，逝世于瑞士的巴塞爾，享年82歲。曾在巴塞爾等多所大學(xué)學(xué)習(xí)。1716年獲藝術(shù)碩士學(xué)位；1721年又獲醫(yī)學(xué)博士學(xué)位。25歲為圣彼得堡科學(xué)院的數(shù)學(xué)院士。8年后回到瑞士的巴塞爾，先后任解剖學(xué)、植物學(xué)教授和物理學(xué)教授。

1738年出版了《流體動力學(xué)》一書，給出了流體動力學(xué)的基本方程，后人稱之為“伯努利方程”。他還提出把氣壓看成氣體分子對容器壁表面撞擊而生的效應(yīng)。1728年起，他和歐拉還共同研究柔韌而有彈性的鏈和梁的力學(xué)問題，還研究了弦和空氣柱的振動。伯努利的貢獻(xiàn)還涉及到醫(yī)學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)等各個方面。3.5.3伯努利方程的意義沿元流機械能守恒，故又稱能量方程。單位重量液體所具有的位置勢能，或位能；單位重量液體所具有的壓強勢能，或壓能；單位重量液體所具有的總勢能；單位重量液體所具有的動能；單位重量液體所具有的機械能；某點到基準(zhǔn)面的位置高度，或位置水頭；該點的測壓管高度，或壓強水頭；該點測壓管液面的總高度，或測壓管水頭；該點的流速高度，或流速水頭；該點的總水頭；沿元流各點總水頭相等，總水頭線水平。方程式的物理意義0012位置水頭壓強水頭流速水頭測壓管水頭總水頭單位位能單位壓能單位動能單位勢能單位總機械能表明：在不可壓縮理想液體恒定流情況下，微小流束內(nèi)不同過水?dāng)嗝嫔希瑔挝恢亓恳后w所具有的機械能保持相等（守恒）。返回

畢托管（Pitottube）與流速水頭1730年法國工程師畢托用一根前端彎成直角的玻璃管測量塞納河水的流速。h由此可見，測速管（畢托管）與測壓管之差即流速水頭。彎管前端迎向來流，水HAB深H，入口前取A點，入口后取B點，水流進入彎管后

由于A、B兩點距離很近，兩點的機械能相等，即或上升至h。3.5.4實際液體元流伯努利方程實際液體具有黏滯性，流動阻力消耗機械能。單位重量流體所具有的機械能沿程減少，總水頭線沿程下降。設(shè)hl’為單位重量液體由過水?dāng)嗝?-1運動至2-2的機械能損失，或元流的水頭損失，實際液體元流伯努利方程可為二、實際液體恒定流微小流束的能量方程式——單位重量液體從斷面1-1流至斷面2-2所損失的能量，稱為水頭損失。0012返回3.5.5實際液體恒定總流的能量方程式將構(gòu)成總流的所有微小流束的能量方程式疊加起來，即為總流的能量方程式。均勻流或漸變流過水?dāng)嗝嫔蟿幽苄拚禂?shù),1.05~1.1取平均的hwV→u，前進能量方程的圖示法—水頭線從能量方程中可以看出各項代表的是單位重量液體所具有的各種單位能量,都是長度的單位,所以用幾何線段來表示其大小一、實際液體恒定總流的能量方程的圖示200112實際液體恒定總流的能量方程式表明：水流總是從水頭大處流向水頭小處；或水流總是從單位機械能大處流向單位機械能小處。

總水頭線測壓管水頭線實際液體總流的總水頭線必定是一條逐漸下降的線，而測壓管水頭線則可能是下降的線也可能是上升的線甚至可能是一條水平線。水力坡度J——單位長度流程上的水頭損失，前進方程式的物理意義：二、應(yīng)用能量方程式的條件：（1）水流必需是恒定流；（2）作用于液體上的質(zhì)量力只有重力；（3）在所選取的兩個過水?dāng)嗝嫔?，水流?yīng)符合漸變流的條件，但所取的兩個斷面之間，水流可以不是漸變流；（4）在所取的兩個過水?dāng)嗝嬷g，流量保持不變，其間沒有流量加入或分出。若有分支，則應(yīng)對第一支水流建立能量方程式，例如圖示有支流的情況下,能量方程為：（5）流程中途沒有能量H輸入或輸出。若有，則能量方程式應(yīng)為：Q1Q2Q3112233返回方程可為

（4）有分流或合流的伯努利方程總流伯努利方程是在無分流或合流前提下導(dǎo)出的。在下述兩種情況下，總流伯努利方程還可用于有分流或合流的流動：對稱分流（合流）或過水?dāng)嗝媪魉倬鶆蚍植嫉姆至鳎ê狭鳎?1112233或者式中+Hm單位重量流體獲得的機械能，如水泵的揚程；（5）有能量輸入或輸出的伯努利方程總流伯努利方程是在無能量輸入或輸出的前提下導(dǎo)出的，若有能量輸入或輸出，方程需作修改，即

-Hm單位重量流體失去的機械能，如水輪機的水頭。11221122水泵水輪機應(yīng)用能量方程式的注意點：（1）分析流動；（3）選取兩過水?dāng)嗝妫?/p>

所選斷面上水流應(yīng)符合漸變流的條件，但兩個斷面之間，水流可以不是漸變流。（4）選取計算代表點；（5）斷面動水壓強的計算；（6）建立能量方程求解動能修正系數(shù)一般取值為1.0。前進三、能量方程式的應(yīng)用返回（2）選擇基準(zhǔn)面；

例1.如圖所示，一等直徑的輸水管，管徑為d=100mm，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心點的高度為H=2m，若不計水流運動的水頭損失，求管道中的輸水流量。H分析：Q=VA；A=πd2/4所以需要用能量方程式求出V；221100解：對1-1、2-2斷面列能量方程式：其中：所以有：可解得：則：答：該輸水管中的輸水流量為0.049m3/s。前進【例2】用直徑D=100mm的水管自開口水箱引水。水箱水面與管道出口斷面中心的高差H=4m且保持恒定，水頭損失hl

=3m。求管道流量Q。【解】由總流伯努利方程1.選取基準(zhǔn)面0-0；

z1=H，z2=0；p1=0，p2=0；v1=0，v2待求；令α=1。

于是HD002.選取計算斷面1-1和2-2；1122【例3】離心泵由水池抽水。已知泵的安裝高度為Hs=5m，泵的抽水量Q=5.56L/s，泵的吸水管直徑D=100mm，吸水管的水頭損失hl=0.25mH2O。試求水泵進口處的真空度。DHs【解】由伯努利方程1.取基準(zhǔn)面0-0；002.取計算斷面1-1，2-2；

z1=0，z2=Hs；p1=pa，p2待求。

v1=0，v2可求；令α=1。其中1122【例4】文丘里（Venturi)流量計。已知進口直徑D1=100mm，喉管直徑D2=50mm，測壓管水頭差h=0.6m（或水銀差壓計液面差hm=4.76cm），流量系數(shù)μ=0.98，試求輸水流量?！窘狻坑刹匠?/p>

1.取基準(zhǔn)面0-0；00

2.取計算斷面1-1，2-2；1122hhm

水頭損失忽略不計，則

列伯努利方程

令α=1。z1z2再將連續(xù)性方程于是，流量為與上式聯(lián)立求得令儀器常數(shù)為K或習(xí)題：流量一定,管徑沿程縮小時,測壓管水頭線（）A．可能沿程上升也可能沿程下降B．.總是與水頭線平行C．只能沿程下降D．不可能低于管軸線流量一定,管徑沿程增大時,測壓管水頭線（）A．可能沿程上升也可能沿程下降B.總是與水頭線平行C.只能沿程上升D.不可能低于管軸線

總流內(nèi)任取元流，過恒定流動，dt前后元流重疊部分動量相同，故3.6動量方程動量方程是質(zhì)點系動量定理的水力學(xué)表達(dá)式。設(shè)恒定總流，過水?dāng)嗝?-1、2-2面積分別為A1和A2，與總流側(cè)面所圍空間稱為控制體。經(jīng)dt時間，控制體內(nèi)液體由1-2運動到1’-2’。水?dāng)嗝婷娣edA1和dA2，流速分別為u1和u2。經(jīng)dt時間，元流的動量增量為：11221’1’2’2’dA1dA2u1u2取過水?dāng)嗝鏋闈u變流斷面，各點的流速接近平行并令動量定理則有對于不可壓縮液體，密度等于常數(shù)。若以斷面平均流速

v代若總流兩斷面間有分流或合流，總流動量方程可為替真實流速u，需引入動量修正系數(shù)β。于是根據(jù)質(zhì)點系得恒定總流動量方程3.5實際液體恒定總流的動量方程式11221′1′2′2′t時刻t+△t時刻依動量定律：

即：單位時間內(nèi)，物體動量的增量等于物體所受的合外力△t時段內(nèi)，動量的增量：dA1u1u2dA2u1△t在均勻流或漸變流過水?dāng)嗝嫔洗雱恿慷?，整理得：即為實際液體恒定總流的動量方程式作用于總流流段上所有外力的矢量和單位時間內(nèi)，通過所研究流段下游斷面流出的動量與上游斷面流入的動量之差前進動量方程的投影表達(dá)式：適用條件：不可壓縮液體、恒定流、過水?dāng)嗝鏋榫鶆蛄骰驖u變流過水?dāng)嗝?、無支流的匯入與分出。如圖所示的一分叉管路，動量方程式應(yīng)為：v3112233ρQ3ρQ1ρQ2v1v2前進應(yīng)用動量方程式的注意點：１．取脫離控制體；3．正確分析受力，未知力設(shè)定方向；2．建立坐標(biāo)系

４．右側(cè)為(下游斷面的動量)-(上游斷面的動量)５．設(shè)β１≈1，β２≈1。前進1122FP1FP2FRFGxzy動量方程式在工程中的應(yīng)用彎管內(nèi)水流對管壁的作用力水流對建筑物的作用力射流對平面壁的沖擊力前進返回彎管內(nèi)水流對管壁的作用力管軸水平放置管軸豎直放置1122FP1=p1A1FP2=p2A·2FRFGxzyV1V2FRzFRx沿x方向列動量方程為：沿z方向列動量方程為：沿x方向列動量方程為：沿y方向列動量方程為：FP1=p1A1FP2=p2A·2FRV1V2FryFRxxy返回

例1.水流通過一水平設(shè)置的漸變截面彎管,如圖所示。已知斷面1-1的直徑d1=250mm,流速v1=2.45m/s,相對壓強p1=1.8at,斷面2-2的直徑d2=200mm,轉(zhuǎn)角а=60度。若不計水流阻力，試求水流對此彎管的作用力R。解:(1)求管中流量與流速v21122P2P1v1v2RR`R`xR`yxyа(2)求2-2斷面中心處動水壓強p2不計水頭損失，以管軸水平面為基準(zhǔn)面，建立1-1和2-2斷面的能量方程(3)計算作用于1-1斷面與2-2斷面上動水總壓力(4)對彎頭內(nèi)水流沿x,y方向分別寫動量方程式沿x方向動量方程沿y方向動量方程合力R`與水平方向的夾角為：故水流對彎管的作用力R的大小為7.86kN，方向與R`相反。管壁對水流的總作用力水流對建筑物的作用力FP1122xFP1=ρgbh12/2FP2=ρgbh22/2FR沿x方向列動量方程為：返回

例2.如圖所示為一滾水壩,上游水位因壩的阻擋而抬高,測得漸變流過水?dāng)嗝?-1處的水深h1=1.5m,下游漸變流過水?dāng)嗝?-2處的水深h２=0.6m.假設(shè)上、下游渠底在同一水平面上，并且不計水流阻力。試求水流作用在單位寬度壩面上的水平推力F。1122P1P2F`Fh1h2解:(1)1-1,2-2過水?dāng)嗝娴撵o水壓力(２)流速與流量(３）建立動量方程為所求之力的反作用力，故的大小為1.70kN,方向與水流方向相同射流對平面壁的沖擊力FPV000VV1122FRV0VVx沿x方向列動量方程為：整理得：前進例：設(shè)有一股自噴嘴以速度v0噴射出來的水流，沖擊在一個與水流方向成α角的固定平面壁上，當(dāng)水流沖擊到平面壁后，分成兩面股水流流出沖擊區(qū)，若不計重量（流動在一個水平面上），并忽略水流沿平面壁流動時的摩擦阻力，試推求射流施加于平面壁上的壓力FP，并求出Q1和Q2各為多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿y方向列動量方程為：前進對0-0、1-1斷面列能量方程為：可得：同理有：依據(jù)連續(xù)性方程有：FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿x方向列動量方程為：整理得：所以：返回FP1=p1A1FP2=p2A·2FRV1V2FryFRx第三章習(xí)題如圖示為嵌入支座內(nèi)的一段輸水管（俯視圖），其直徑由d1=1.5m變到d2=1.0m。當(dāng)p1=196kPa（相對壓強）、流量Q=1.8m3/s時，求支座所受的水平力R。不計水頭損失。解:對1-1、2-2斷面建立總流的能量方程

圖示為一平面上的彎管，已知管徑dA=250mm，dB=200mm，A-A斷面相對壓強pA=17.66N/cm2，管中流量Q＝0.12m3/s，轉(zhuǎn)角θ＝60°，略去水頭損失，求彎管所受的作用力。

xy解：選取A-A斷面、B-B斷面及側(cè)表面所圍的流體為控制體，建立如圖坐標(biāo)系，分析受力情況。

取β1＝β2＝1.0沿x方向動量方程沿y方向動量方程

（4分）

(1)(2)連續(xù)性方程：取α1＝α2＝1.0代入已知數(shù)據(jù)得：pB＝172287.616N/m2

能量方程：

（6分）

（8分）

代入（1）（2）式得：Fx=6.02KNFy＝-5.08KN

管壁對水流的總作用力故水流對彎管的作用力F的大小為7.86kN，方向與F`相反。

（10分）

（12分）

圖示為一水平放置的分叉管路，干管直徑d1=600mm，支管直徑d2=400mm，α＝３０°，干管流量Q=0.6m3/s，壓力表讀數(shù)p=60kN/m2。略去分叉段的水頭損失，試計算該座墩所受的水平推力。（20分）

解:由于分叉后兩根管