第三節(jié)不定積分的分部積分法問題解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式一、基本內(nèi)容例1

求積分解（一）令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解（二）令例2

求積分解再次使用分部積分法例3

求積分解分部積分法的關(guān)鍵是正確選擇和

.選擇和的原則是:例4

求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié):

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))即對(duì)類型的積分例5

求積分解令例6

求積分解令例7

求積分解總結(jié):

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.即對(duì)類型的積分例8

求積分解注意循環(huán)形式總結(jié):

若被積函數(shù)是正(余)弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,即對(duì)類型的積分,在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí),應(yīng)注意:前后幾次所選的應(yīng)為同類型函數(shù).例第一次時(shí)若選第二次時(shí)仍應(yīng)選說明:例9

求積分解例10

求積分解例11

求積分解令解兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得例13

求積分解例14

求積分解例15

求積分解利用分部積分法可得求不定積分的遞推公式解例16

求積分例17

求積分解合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結(jié)練習(xí)題練習(xí)題答案第四節(jié)

基本積分法:直接積分法;換元積分法;分部積分法

初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內(nèi)容:

第四章四種典型部分分式的積分:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束變分子為再分項(xiàng)積分一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時(shí),為假分式;時(shí),為真分式有理函數(shù)相除多項(xiàng)式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)用賦值法故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)混合法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束原式=例2.

求解:

已知例1(3)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

求解:

原式思考:如何求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束提示:變形方法同例3,并利用P209例9.例4.求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說明:將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.例5.求解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬(wàn)能代換t

的有理函數(shù)的積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.三角函數(shù)有理式的積分則例7.求解:

令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.求解:

說明:

通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.求解法1令原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.求解法2令原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例10.求解:

因被積函數(shù)關(guān)于cosx

為奇函數(shù),可令原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式,可通過根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令例11.

求解:

令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例13.

求解:

令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換根式代換2.

特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡(jiǎn)便計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束簡(jiǎn)便,思考與練習(xí)如何求下列積分更簡(jiǎn)便?解:1.2.原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P2183,6,13,18,21

第五節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用