第七章應(yīng)力和變形陳偉問題提出：FPFPFPFP1.內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強(qiáng)度的大小。2.強(qiáng)度

(1)內(nèi)力在截面分布集度應(yīng)力；

(2)材料承受荷載的能力。第一節(jié)軸向拉（壓）桿的應(yīng)力軸向拉伸和壓縮FRAK總應(yīng)力：一、應(yīng)力的概念受力桿件截面上某一點(diǎn)處的內(nèi)力集度稱為該點(diǎn)的應(yīng)力。

總應(yīng)力p是一個(gè)矢量，通常情況下，它既不與截面垂直，也不與截面相切。為了研究問題時(shí)方便起見，習(xí)慣上常將它分解為與截面垂直的分量σ和與截面相切的分量τ。軸向拉伸和壓縮總應(yīng)力分解為與截面相切pK工程中應(yīng)力的單位常用Pa或MPa。

1Pa=1N/m2

1MPa=1N/mm2另外，應(yīng)力的單位有時(shí)也用kPa和GPa，各單位的換算情況如下：

1kPa=103Pa，

1GPa=109Pa=103MPa1MPa=106Pa正應(yīng)力σ剪應(yīng)力τ與截面垂直軸向拉伸和壓縮說明：（1）應(yīng)力是針對(duì)受力桿件的某一截面上某一點(diǎn)而言的，所以提及應(yīng)力時(shí)必須明確指出桿件、截面、點(diǎn)的名稱。（2）應(yīng)力是矢量，不僅有大小還有方向。（3）內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系：內(nèi)力在某一點(diǎn)處的集度為該點(diǎn)的應(yīng)力；整個(gè)截面上各點(diǎn)處的應(yīng)力總和等于該截面上的內(nèi)力。軸向拉伸和壓縮FPFP’變形規(guī)律試驗(yàn)：二、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力

觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)桿受到軸向拉力作用后，所有的縱向線都伸長了，而且伸長量都相等，并且仍然都與軸線平行；所有的橫向線仍然保持與縱向線垂直，而且仍為直線，只是它們之間的相對(duì)距離增大了。軸向拉伸和壓縮

根據(jù)從桿件表面觀察到的現(xiàn)象，從變形的可能性考慮，可推斷：

軸向拉桿在受力變形時(shí)，橫截面只沿桿軸線平行移動(dòng)。由此可知：橫截面上只有正應(yīng)力σ。假如把桿想象成是由許多縱向纖維組成的話，則任意兩個(gè)橫截面之間所有縱向纖維的伸長量均相等，即兩橫截面間的變形是均勻的，所以拉（壓）桿在橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力σ都相同。

sFNFP軸向拉伸和壓縮

通過上述分析知：軸心拉桿橫截面上只有一種應(yīng)力——正應(yīng)力，并且正應(yīng)力在橫截面上是均勻分布的，所以拉桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式為式中A—拉（壓）桿橫截面的面積；

FN—軸力。

當(dāng)軸力為拉力時(shí)，正應(yīng)力為拉應(yīng)力，取正號(hào)；當(dāng)軸力為壓力時(shí)，正應(yīng)力為壓應(yīng)力，取負(fù)號(hào)。軸向拉伸和壓縮

對(duì)于等截面直桿，最大正應(yīng)力一定發(fā)生在軸力最大的截面上。

習(xí)慣上把桿件在荷載作用下產(chǎn)生的應(yīng)力，稱為工作應(yīng)力。通常把產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的截面稱為危險(xiǎn)截面，產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。

對(duì)于產(chǎn)生軸向拉（壓）變形的等直桿，軸力最大的截面就是危險(xiǎn)截面，該截面上任一點(diǎn)都是危險(xiǎn)點(diǎn)。軸向拉伸和壓縮

例5-1

圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件AB、CB的應(yīng)力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15的方截面桿。FABC

解：1、計(jì)算各桿件的軸力。用截面法取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象45°12BF45°軸向拉伸和壓縮BF45°2、計(jì)算各桿件的應(yīng)力。軸向拉伸和壓縮一、拉壓桿的變形及應(yīng)變第二節(jié)軸向拉（壓）桿的變形及胡克定律縱向變形長度量綱FP

FP

all1a1橫向變形軸向拉伸和壓縮

為了消除原始尺寸對(duì)桿件變形量的影響，準(zhǔn)確說明桿件的變形程度，將桿件的縱向變形量△l除以桿的原長l，得到桿件單位長度的縱向變形。橫向線應(yīng)變

線應(yīng)變--每單位長度的變形，無量綱?？v向線應(yīng)變FP

FP

all1a1軸向拉伸和壓縮

二、泊松比

從上述分析我們已經(jīng)知道：桿件在軸向拉（壓）變形時(shí)，縱向線應(yīng)變?chǔ)排c橫向線應(yīng)變?chǔ)拧淇偸钦?、?fù)相反的。通過實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)軸向拉（壓）桿的應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，橫向線應(yīng)變?chǔ)拧渑c縱向線應(yīng)變?chǔ)诺谋戎档慕^對(duì)值為一常數(shù)，通常將這一常數(shù)稱為泊松比或橫向變形系數(shù)。用μ表示。或

泊松比μ是一個(gè)無單位的量。它的值與材料有關(guān)，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)出。

軸向拉伸和壓縮三、胡克定律

當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過材料的某一極限值（“比例極限”）時(shí)引進(jìn)比例常數(shù)EE稱為材料的彈性模量，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)出。量綱與應(yīng)力相同。

從式可推斷出：對(duì)于長度相同，軸力相同的桿件，分母EA越大，桿的縱向變形△l就越小，可見EA反映了桿件抵抗拉（壓）變形的能力，稱為桿件的抗拉（壓）剛度?！硕?。軸向拉伸和壓縮

若將上式的兩邊同時(shí)除以桿件的原長l，并將代入，于是得——胡克定律。

表明：在彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比。比例系數(shù)即為材料的彈性模量E。軸向拉伸和壓縮第三節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力扭轉(zhuǎn)一、剪應(yīng)力互等定理、剪切胡克定律

上式表明：在互相垂直的兩個(gè)平面上的切應(yīng)力必然成對(duì)存在，且大小相等，方向或共同指向兩平面的交線，或共同背離兩平面的交線。這種關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等定理?！洹?/p>

圖為某構(gòu)件上繞某點(diǎn)所取一微小的正六面體，可以證明

在剪應(yīng)力τ和τ’作用下，單元體的兩個(gè)側(cè)面將發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，使原來的長方六面微體變成平行六面微體，單元體的直角發(fā)生微小的改變，這個(gè)直角的改變量γ稱為剪應(yīng)變。

′′扭轉(zhuǎn)

當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系，稱為剪切胡克定律。

比例常數(shù)G稱為材料的剪切模量，它反映材料抵抗剪切變形的能力。單位GPa，其數(shù)值可由試驗(yàn)測(cè)得。觀察變形

與軸向拉壓桿相似,圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上應(yīng)力分布公式推導(dǎo)方法為：應(yīng)力分布規(guī)律應(yīng)力和變形公式物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系扭轉(zhuǎn)二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：

（1）各圓周線均繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，且各圓周線的形狀、大小及它們相互之間的距離都沒有變化。（2）各縱向線都傾斜了相同的角度，原來的矩形格變成了平行四邊形，但各邊的長度沒有改變（在小變形情況下），只是夾角發(fā)生了改變。

扭轉(zhuǎn)1.幾何變形方面

對(duì)圓軸內(nèi)部的變形可作如下假設(shè)：扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持平面，且其形狀、大小都不改變，只是繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，兩相鄰橫截面之間的距離也保持不變，這一假設(shè)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)。扭轉(zhuǎn)MeMe

根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)和切應(yīng)力互等定理、剪切胡克定律可知：實(shí)心圓軸橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的切應(yīng)力

，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。

此式表明距圓心為任一點(diǎn)處的與到圓心的距離成正比。——

扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。扭轉(zhuǎn)圓軸上任一點(diǎn)的切應(yīng)變，其大小為Ttmaxtmax2.物理關(guān)系胡克定律：代入上式得：扭轉(zhuǎn)3.靜力學(xué)關(guān)系令代入物理關(guān)系式扭轉(zhuǎn)TOdA橫截面上距圓心為處任一點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式。討論：

1）僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面直桿。2）式中：T—橫截面上的扭矩。

—該點(diǎn)到圓心的距離。

Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。3）盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。扭轉(zhuǎn)tmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）

工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。Ttmaxtmax扭轉(zhuǎn)

式中WP只與截面的幾何尺寸和形狀有關(guān)，稱為抗扭截面系數(shù)，單位為mm3或m3。扭轉(zhuǎn)橫截面上邊緣點(diǎn)的切應(yīng)力最大，其值為

令

二、極慣性矩IP和抗扭截面系數(shù)WPDdO對(duì)于實(shí)心圓截面

扭轉(zhuǎn)式中：對(duì)于空心圓截面

千萬不要出錯(cuò)！dDOd扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)

例6-3圖示的階梯圓軸。AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN?m，MeB=36kN?m，MeC=14kN?m。試求該軸的最大切應(yīng)力。

解（1）作扭矩圖用截面法求得AB段、BC段的扭矩分別為

T1=MeA=22kN?mT2=－MeC=－14kN?m作出該軸的扭矩圖如圖示。

扭轉(zhuǎn)(2)計(jì)算最大切應(yīng)力由扭矩圖可知，AB段的扭矩較BC段的扭矩大，但因BC段軸徑較小，所以需分別計(jì)算各段軸橫截面上的最大切應(yīng)力。AB段：BC段：

比較上述結(jié)果，該軸最大切應(yīng)力位于BC段內(nèi)任一截面的邊緣各點(diǎn)處，即該軸最大切應(yīng)力為τmax=71.3MPa。第四節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與剛度計(jì)算一、圓軸扭轉(zhuǎn)的變形由公式知：長為

l一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為Φ的單位為rad，其正負(fù)號(hào)與扭矩正負(fù)號(hào)相一致。GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。MeMe扭轉(zhuǎn)二、剛度計(jì)算[]稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。單位扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)

例6-7階梯狀圓軸承受外力偶作用，如圖示。已知：M1=0.8kN?m，M2=2.3kN?m，M3=1.5kN?m，AB段的直徑d1=4cm，BC段的直徑d2=7cm。已知材料的切變模量G=80GPa。試計(jì)算φAB和φBC。

解（1）作扭矩圖計(jì)算各段橫截面上的扭矩。AB段：T1=0.8kN?mBC段：T2=-1.5kN?m該軸的扭矩圖如圖示。扭轉(zhuǎn)BC段：

(2)計(jì)算極慣性矩AB段：φAC=φAB+φBC=（0.0319－0.0079）rad=0.024rad(3)計(jì)算扭轉(zhuǎn)角CD梁段橫截面上只有彎矩,而沒有剪力，這種平面彎曲稱為純彎曲。

AC和DB梁段橫截面上不僅有彎矩還伴有剪力，這種平面彎曲稱為橫力彎曲。MFPaFQFPFPFPFPaaCDAB第五節(jié)梁的正應(yīng)力及正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算彎曲應(yīng)力

與圓軸扭轉(zhuǎn)同樣，純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力研究方法是：觀察變形應(yīng)力分布應(yīng)力計(jì)算公式

σ與ε物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系一、純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲應(yīng)力Oyxzbhoyz觀察純彎曲梁變形現(xiàn)象o1ao2b12121.幾何變形方面彎曲應(yīng)力zyxoMMOyz

所有縱向線都彎成曲線，仍與橫向線垂直，靠近凸邊的縱向線伸長了，靠近凹邊的縱向線縮短了。橫向線仍為直線但轉(zhuǎn)過了一個(gè)角度；矩形截面的上部變寬下部變窄。1212MMo1a1o2b1彎曲應(yīng)力

平面假設(shè)：梁變形后其橫截面仍保持為平面，且仍與變形后的梁軸線垂直。同時(shí)還假設(shè)梁的各縱向纖維之間無擠壓。

單向受力假設(shè)：將梁看成由無數(shù)條縱向纖維組成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。彎曲應(yīng)力中性層MMzy中性軸受壓區(qū)受拉區(qū)

中性層：梁的下部縱向纖維伸長，而上部縱向纖維縮短，由變形的連續(xù)性可知，梁內(nèi)肯定有一層長度不變的纖維層，稱為中性層。

中性軸：中性層與橫截面的交線稱為中性軸，

由于荷載作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的變形沿縱向?qū)ΨQ，則中性軸垂直于橫截面的對(duì)稱軸。梁彎曲變形時(shí)，其橫截面繞中性軸旋轉(zhuǎn)某一角度。

彎曲應(yīng)力1212o1ao2b1212o1ao2b1122MMdx

梁中取出的長為dx的微段變形后其兩端相對(duì)轉(zhuǎn)了d角a1b1O2O1dr彎曲應(yīng)力距中性層為y處的縱向纖維ab的變形式中ρ為中性層上的纖維的曲率半徑?？芍毫簝?nèi)任一層縱向纖維的線應(yīng)變與其的坐標(biāo)成正比。

則纖維的應(yīng)變?yōu)樵L：))O1O2a1b1O2O1dr1212o1ao2b變形后長：彎曲應(yīng)力

2.物理關(guān)系方面

由于假設(shè)梁內(nèi)各縱向纖維只受拉伸或壓縮，所以當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，由虎克定律可得各縱向纖維的正應(yīng)力為

梁橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。即彎曲正應(yīng)力沿截面高度成線性分布。

中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力等于零，距中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣上各點(diǎn)處正應(yīng)力最大，其它點(diǎn)的正應(yīng)力介于零到最大值。彎曲應(yīng)力xyzO坐標(biāo)系的選?。?/p>

y軸：截面的縱向?qū)ΨQ軸。

z軸：中性軸。

x軸：沿縱向線。

受力分析：dA上的內(nèi)力為σdA，于是整個(gè)截面上所有內(nèi)力組成一空間平行力系，由于橫截面上只有繞中性軸的彎矩MZ，所以橫截面法向的軸力FN和力偶矩My應(yīng)為零，即：ΣFx＝0ΣMy=0ΣMz=M(y

z)M3.靜力學(xué)關(guān)系方面彎曲應(yīng)力故：Sz

=0

即中性軸z必過橫截面的形心。代入胡克定律：及：故：Iyz＝0，y軸為對(duì)稱軸，z軸又過形心，則軸y，z為橫截面的形心主慣性軸。（中性層曲率公式）故：彎曲應(yīng)力其中1／ρ是梁軸線變形后的曲率。稱EIZ為梁的抗彎剛度。得純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式：代入：

表明：橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該橫截面上的彎矩和該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而與該截面對(duì)中性軸的慣性矩成反比。彎曲應(yīng)力計(jì)算時(shí)公式中代入M和y的絕對(duì)值。σ的正負(fù)可由彎矩的正負(fù)和所求點(diǎn)的位置來判斷.-++-彎曲應(yīng)力適用條件是：

(1)梁的橫截面至少具有一個(gè)縱向?qū)ΨQ軸。

(2)正應(yīng)力不超過材料的比例極限。

(3)梁產(chǎn)生純彎曲。彎曲應(yīng)力

橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。此時(shí)，橫截面是不僅有正應(yīng)力，而且有切應(yīng)力。二、純彎曲理論的推廣

對(duì)于跨度與截面高度之比大于5的橫力彎曲梁，橫截面上的最大正應(yīng)力按純彎曲正應(yīng)力公式計(jì)算，滿足工程上的精度要求。梁的跨高比越大，誤差就越小。

梁在純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和各縱向纖維間無擠壓的假設(shè)不再成立。彎曲應(yīng)力

例簡支梁受均布荷載q作用，試完成：(1)求距左端為１m的C截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力。(2)求梁的最大正應(yīng)力值，并說明最大正應(yīng)力發(fā)生在何處。(3)作出C截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。

200q=3.5kN/mAB3m1m彎曲應(yīng)力解（1）求指定截面上指定點(diǎn)的應(yīng)力先求出支座反力,由對(duì)稱性C截面積的彎矩

矩形截面對(duì)中性軸z的慣性矩MC=(5.25×1－3.5×1×0.5)kN·m=3.5kN·m200q=3.5kN/mAB3m1m彎曲應(yīng)力

計(jì)算C截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力：200彎曲應(yīng)力(2)求梁的最大正應(yīng)力值，及最大正應(yīng)力發(fā)生的位置。

梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩Mmax所在的上、下邊緣處。由梁的變形情況可以判定，最大拉應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處；最大壓應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的邊緣處。其最大正應(yīng)力的值為彎曲應(yīng)力(3)作C截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。彎曲應(yīng)力一般情況下，最大正應(yīng)力發(fā)生于彎矩最大的橫截面上矩中性軸最遠(yuǎn)處。式中WZ僅與截面的幾何形狀及尺寸有關(guān)，稱為截面對(duì)中性軸的抗彎截面模量。單位：m3或mm3。令：三、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算1.梁的最大正應(yīng)力

習(xí)慣上把產(chǎn)生最大應(yīng)力的截面稱為危險(xiǎn)截面，產(chǎn)生最大應(yīng)力的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。彎曲應(yīng)力若截面是高為h，寬為b的的矩形，則

若截面是直徑為d的圓形，則彎曲應(yīng)力

若截面是外徑為D、內(nèi)徑為d的空心圓形，則DdDd=a

對(duì)于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數(shù)可從書后“附錄”型鋼表中查出。彎曲應(yīng)力

對(duì)于中性軸不是截面對(duì)稱軸的梁，例如T型截面的等直梁。yy1y2C

同一橫截面上σtmax≠σcmax

，這時(shí)整個(gè)梁的σtmax

或σcmax不一定發(fā)生在|Mmax|截面處，需對(duì)最大正彎矩和最大負(fù)彎矩處的σtmax和σcmax分別計(jì)算。彎曲應(yīng)力2.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算

對(duì)于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料（如低碳鋼），由于，所以只要求：梁橫截面上絕對(duì)值最大的正應(yīng)力不超過材料的彎曲許用應(yīng)力。其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：

對(duì)于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料（如鑄鐵），由于，所以要求：梁橫截面上的最大拉應(yīng)力不超過材料的彎曲許用拉應(yīng)力，同時(shí)，梁橫截面上的最大壓應(yīng)力不超過材料的彎曲許用壓應(yīng)力。其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：彎曲應(yīng)力

例

圖示簡支梁選用木材制成，其橫截面為矩形b×h=140mm×210mm，梁的跨度l=4m，荷載FP=6kN，q=2kN/m，材料的彎曲許用應(yīng)力[σ]=11MPa，試校核該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。FAyFByhbz解：（1）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。求支座反力,由對(duì)稱性FBy=FAy=7kNqABl=4mFP彎曲應(yīng)力10kNm(2)計(jì)算截面的幾何參數(shù)。

再作梁的彎矩圖，如圖示。hbz

從圖可知：跨中截面上彎矩最大，其值為Mmax=10kN·m

。FAyFByqABl=4mFP彎曲應(yīng)力(3)校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。該梁滿足正應(yīng)力強(qiáng)度要求。彎曲應(yīng)力y2y1C

例

T形截面外伸梁如圖示，已知：材料的彎曲許用應(yīng)力分別為[σt]=45MPa，[σc]=175MPa，截面對(duì)中性軸的慣性矩Iz=5.73×10-6m4，下邊緣到中性軸的距離y1=72mm，上邊緣到中性軸的距離y2=38mm。試校核該梁的強(qiáng)度。4FP1=40kN0.3m0.3m0.3mFP2=15kNABCD彎曲應(yīng)力

解：(1)求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。

4.5kNm3kNmFP2=15kNDFP1=40kN0.3m0.3mABC0.3m彎曲應(yīng)力B截面和C截面應(yīng)力分布規(guī)律圖y2y1C

C截面

B截面彎曲應(yīng)力B截面滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。C截面B截面C截面不滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。所以該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度不滿足要求。彎曲應(yīng)力第六節(jié)梁的切應(yīng)力及切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算

在工程中的梁，大多數(shù)并非發(fā)生純彎曲，而是橫力彎曲。由于其絕大多數(shù)為細(xì)長梁，并且在一般情況下，細(xì)長梁的強(qiáng)度取決于其正應(yīng)力強(qiáng)度，而無須考慮其切應(yīng)力強(qiáng)度。但在遇到梁的跨度較小或在支座附近作用有較大載荷；鉚接或焊接的組合截面鋼梁；木梁等特殊情況，則必須考慮切應(yīng)力強(qiáng)度。為此，將常見梁截面的切應(yīng)力分布規(guī)律及其計(jì)算公式簡介如下。

彎曲應(yīng)力式中，F(xiàn)Q—需求切應(yīng)力處橫截面上的剪力；

Iz—為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；

Sz*—為橫截面上需求切應(yīng)力處平行于中性軸的線以上（或以下）部分的面積對(duì)中性軸的靜矩；

b—為橫截面的寬度。一、梁橫截面上的切應(yīng)力bhyzyFQ1.矩形截面梁彎曲應(yīng)力

切應(yīng)力的分布規(guī)律：

1)切應(yīng)力的方向與剪力同向平行。

2)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即同一橫截面上，與中性軸等距離的點(diǎn)切應(yīng)力均相等。

3)切應(yīng)力沿截面高度按二次拋物線規(guī)律分布。距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處切應(yīng)力等于零；中性軸上切應(yīng)力取得該截面上的最大值，其值為彎曲應(yīng)力將

說明：矩形截面梁任一橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其值為該截面上平均切應(yīng)力FQ/A的1.5倍，切應(yīng)力沿截面高度的分布規(guī)律如圖示。

zyFQ彎曲應(yīng)力2.工字形截面梁結(jié)論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計(jì)算腹板上的tmax。鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應(yīng)力式中，h1—腹板的高度。b1—腹板的寬度。彎曲應(yīng)力1.切應(yīng)力強(qiáng)度條件

一般截面，最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。二、切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算zyFQ梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件表達(dá)式為：彎曲應(yīng)力2.梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件在工程中的應(yīng)用

與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件在工程中的應(yīng)用相似，切應(yīng)力強(qiáng)度條件在工程中同樣能解決強(qiáng)度方面的三類問題，即進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面、計(jì)算許用荷載。

在一般情況下，正應(yīng)力對(duì)梁的強(qiáng)度起著決定性作用。所以在實(shí)際計(jì)算時(shí)，通常是以梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件做各種計(jì)算，以切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核即可。彎曲應(yīng)力第七節(jié)梁的合理截面

一、根據(jù)抗彎截面系數(shù)選擇合理截面

從抗彎截面系數(shù)的計(jì)算可以推知：一般情況下，抗彎截面系數(shù)與截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形狀應(yīng)該是在橫截面面積A相等的條件下，比值Wz/A盡量大些。

彎曲應(yīng)力

1)通過對(duì)矩形、圓形、工字形、正方形截面進(jìn)行理論計(jì)算發(fā)現(xiàn)：在橫截面的面積A相等的情況下，比值Wz/A從大到小的截面依次是：工字形、矩形、正方形、圓形；zzzz

2)通過對(duì)具有相同截面面積的實(shí)心及空心截面進(jìn)行理論分析發(fā)現(xiàn)：不論截面的幾何形狀是哪種類型，空心截面的Wz/A總是大于實(shí)心截面的Wz/A。zzzz彎曲應(yīng)力3）對(duì)具有相同面積的矩形截面進(jìn)行理論計(jì)算還發(fā)現(xiàn)：盡管截面形狀和尺寸都沒變，只是放置方式不同（中性軸不同），從而使抗彎截面系數(shù)不相同。立放的矩形截面Wz/A值比平放的矩形截面Wz/A值大。若h=2b，梁平放時(shí)Wz/A=b/6，梁豎放時(shí)Wz/A=b/3。zybhhzyb彎曲應(yīng)力

注意：上面我們只是單從強(qiáng)度觀點(diǎn)出發(fā)分析了截面的選擇規(guī)律，事實(shí)上，在實(shí)際工程中，選擇截面時(shí)，除了考慮強(qiáng)度條件外，還要同時(shí)考慮穩(wěn)定性、施工方便、使用合理等因素后才正確選擇梁的截面形狀。這就是大家所看到的在實(shí)際工程中仍然大量使用實(shí)心矩形截面梁，而不常使用空心截面梁的原因。彎曲應(yīng)力二、根據(jù)材料特性選擇截面sGz對(duì)于抗拉和抗壓相同的塑性材料，一般采用對(duì)稱于中性軸的截面，如圓形、工字形等，使得上、下邊緣同時(shí)達(dá)到材料的許用應(yīng)力值。對(duì)于抗拉和抗壓不相同的脆性材料，最好選用關(guān)于中性軸不對(duì)稱的截面，如T形、槽形等。彎曲應(yīng)力三、采用變截面梁

為了充分利用材料，理想的梁應(yīng)該是在彎矩大的部位采用大截面，而在彎矩小的部分就采用小截面，使彎矩與截面相對(duì)應(yīng)，這種梁的橫截面尺寸在全梁范圍內(nèi)不是一個(gè)常數(shù)，而是沿著軸線有一定變化的梁稱為變截面梁。最理想的變截面梁應(yīng)該是：梁的每一個(gè)橫截面上的最大正應(yīng)力都恰好等于梁所用材料的彎曲許用應(yīng)力，這種變截面梁稱為等強(qiáng)度梁。

彎曲應(yīng)力

從強(qiáng)度的觀點(diǎn)來看，等強(qiáng)度梁最經(jīng)濟(jì)，能充分發(fā)揮材料的潛能，是一種非常理想的梁，但是從實(shí)際應(yīng)用情況分析，這種梁的制作比較復(fù)雜，給施工帶來好多困難，因此綜合考慮強(qiáng)度和施工兩種因素，它并不是最經(jīng)濟(jì)合理的梁。在建筑工程中，通常是采用形狀比較簡單又便于加工制作的各種變截面梁，而不采用等強(qiáng)度梁。彎曲應(yīng)力圖示為建筑工程中常見變截面梁的情況。

彎曲應(yīng)力xFPABy

梁在受到荷載作用產(chǎn)生平面彎曲時(shí)，它的軸線由原來的直線變成了一條光滑而連續(xù)的平面曲線。梁變形后的軸線稱為撓曲線。

一、撓曲線及撓曲線方程

撓曲線是x的函數(shù)用方程y=f(x)表示，稱為梁的撓曲線方程。量度彎曲變形有兩個(gè)基本量撓度和轉(zhuǎn)角

第八節(jié)梁的撓曲線近似微分方程彎曲變形

任一橫截面繞其中性軸相對(duì)于原來位置所轉(zhuǎn)過的角度，稱為該截面的轉(zhuǎn)角，一般用表示。二、撓度和轉(zhuǎn)角

梁彎曲時(shí)，任一橫截面的形心（即軸線上的各點(diǎn)）在垂直于x軸方向（即沿y軸方向）的線位移，稱為該截面的撓度，一般用y表示。

在圖示坐標(biāo)中對(duì)撓度的符號(hào)規(guī)定為：向下的撓度為正，向上的撓度為負(fù)。對(duì)轉(zhuǎn)角的符號(hào)規(guī)定為：順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為負(fù)。撓度的單位是m、cm、mm。轉(zhuǎn)角的單位常用弧度（rad）。xFPAByCCC’彎曲變形

由于梁上任一截面的轉(zhuǎn)角就等于撓曲線在該截面處的切線與x軸所夾的角，因此由于梁的變形很小，轉(zhuǎn)角是一個(gè)很小的角度，所以于是有

梁任一橫截面的轉(zhuǎn)角等于撓曲線在該點(diǎn)的切線斜率，即轉(zhuǎn)角等于撓曲線y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù)。我們把轉(zhuǎn)角隨截面位置變化的函數(shù)式，稱為轉(zhuǎn)角方程。

彎曲變形三、撓曲線近似微分方程由前面推出的梁變形基本公式

對(duì)于橫力彎曲，若l/h≥5時(shí)，剪力對(duì)彎曲變形的影響很小，可略去不計(jì)，上式仍然適用，而且此時(shí)M、ρ均為x的函數(shù)，故上式改寫為：彎曲變形平面曲線的曲率為

略去二階無窮小量

彎矩的正負(fù)號(hào)與撓曲線曲率的正負(fù)號(hào)相反

xyMMxyMMM>0y″<0M＜0y″＞0彎曲變形對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：

積分式中出現(xiàn)的積分常數(shù)C、D可通過梁的邊界條件確定。第七節(jié)積分法計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角積分一次再積分一次彎曲變形

邊界條件：梁產(chǎn)生彎曲變形時(shí)撓曲線上由變形相容條件確定的一些已知位移條件。ABCFPFPAB固定端處的轉(zhuǎn)角A=0撓度yA=0

在支座處只能轉(zhuǎn)動(dòng)而不能移動(dòng)，所以在鉸支座處的撓度yA=0及yB=0彎曲變形

簡支梁在C截面處有邊界條件：

由于撓曲線是一條光滑連續(xù)的彈性曲線，在曲線上任一點(diǎn)處只能有一個(gè)轉(zhuǎn)角，一個(gè)撓度，因此，對(duì)于在梁長度范圍內(nèi)EIz不變的等直梁，當(dāng)梁上的彎矩方程需要分段寫出時(shí)，雖然各段梁的撓曲線近似微分方程不同，但在相鄰兩段梁的交界處位移是唯一的，這種條件也是一種邊界條件。ABCFP彎曲變形

用積分法計(jì)算梁