非線性動力學(xué)

姚寶恒上海交通大學(xué)船舶海洋與建工學(xué)院1/15/20231非線性動力系統(tǒng)及混沌的基本概念

概述：混沌的發(fā)現(xiàn)1/15/20232龐加萊（1854～1912）

Poincar

，Jules-Henri

法國數(shù)學(xué)家。又譯彭加勒。1854年4月29日生于法國南錫，1912年7月17日卒于巴黎。1873年10月以第一名考入巴黎綜合工科學(xué)校。1875～1878年在國立高等礦業(yè)學(xué)校學(xué)習(xí)工程。后任工程師。1879年以數(shù)學(xué)論文獲博士學(xué)位。旋即去卡昂大學(xué)理學(xué)院任講師。1881年為巴黎大學(xué)教授，直到去世。1887年他當選為法國科學(xué)院院士，1908年當選為法蘭西學(xué)院院士。他還多次獲得法國及其他國家的榮譽和獎勵。

龐加萊的研究涉及數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓撲學(xué)等許多領(lǐng)域，最重要的工作是在分析學(xué)方面。他早期的主要工作是創(chuàng)立自守函數(shù)理論。龐加萊為了研究行星軌道和衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定性問題，在1881～1886年發(fā)表的4篇關(guān)于微分方程所確定的積分曲線的論文中，創(chuàng)立了微分方程的定性理論。開創(chuàng)了動力系統(tǒng)理論，1895年證明了龐加萊回歸定理。創(chuàng)立組合拓撲學(xué)，還提出龐加萊猜想。1/15/20233Poincaré

createdanoriginalmethod

tounderstandsuchsystems,anddiscoveredaverycomplicateddynamics,but:Poincarémap

"ItissocomplicatedthatIcannotevendrawthefigure."1/15/20234蝴蝶效應(yīng)1/15/20235為省時間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計算，指望重復(fù)出現(xiàn)上次計算的后半段結(jié)果，然后再接下去往前算。然而經(jīng)過一段重復(fù)后，計算機卻偏離了上次的結(jié)果。他第二次輸入時去掉了小數(shù)點后面三位：混沌的初值敏感性1/15/20236●蝴蝶效應(yīng)洛侖茲吸引子（奇怪吸引子）1/15/202371/15/20238克里斯蒂安·惠更斯

克里斯蒂安·惠更斯（ChristianHuygens1629-1695）是與牛頓同一時代的科學(xué)家，是歷史上最著名的物理學(xué)家之一，他對力學(xué)的發(fā)展和光學(xué)的研究都有杰出的貢獻，在數(shù)學(xué)和天文學(xué)方面也有卓越的成就，是近代自然科學(xué)的一位重要開拓者。生平簡介惠更斯于1629年4月14日誕生于海牙的一個富豪之家。他的父親是一個杰出的詩人和外交家?；莞箯男【拖矚g鉆研學(xué)問，跟隨父親學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)和力學(xué)。十六時，惠更斯進入萊頓大學(xué)，后轉(zhuǎn)到布雷達大學(xué)學(xué)習(xí)法律和數(shù)學(xué)。1650年起，惠更斯開始研究光學(xué)，同時對天文觀測產(chǎn)生了濃厚興趣。1655年獲得法學(xué)博士學(xué)位后，惠更斯轉(zhuǎn)入科學(xué)研究。他先后訪問了倫敦和巴黎，并在巴黎獲得了普遍的尊敬。1663年，惠更斯成為英國皇家學(xué)會第一個外國會員和并被巴黎科學(xué)院接納為唯一的一個外國院士。在倫敦和巴黎時，惠更斯結(jié)識了許多當時著名的科學(xué)家，包括牛頓、萊布尼茲等。在巴黎生活的第十五年，法國和荷蘭之間爆發(fā)了戰(zhàn)爭，惠更斯不得不離開巴黎，回到故鄉(xiāng)荷蘭，過著孤獨寂寞的晚年生活。1695年6月8日，惠更斯在海牙逝世

.1/15/20239單擺不計空氣阻力，在自然坐標系下，擺球的切向運動方程為mg令得擺球的運動微分方程相空間與相圖1/15/202310非線性動力系統(tǒng)及混沌的基本概念

一、任意擺角情況下單擺的運動★自由單擺的運動方程：線性近似：當

很小，(sin)按級數(shù)展開，取第一項而得.───從單擺到Duffing方程

1/15/202311若為任意值，故自由單擺為非線性振動系統(tǒng)：令，以及初始條件：而(sin)1/15/202312得通過了解方程解的一些特點，理解非線性動力系統(tǒng)的一些基本特征。上式兩端乘，積分上式1/15/202313方程解的非唯一性1.

設(shè)初始條件為0=

，0=0，運動分析：在最高點=，=0，系統(tǒng)非穩(wěn)定平衡點?？赡艹霈F(xiàn)三種運動情況：a.停留在該頂點，爾后徑直下落；b.調(diào)頭沿原路返回；c.越過該頂點繼續(xù)向前運動。則其解為1/15/202314，則解為類似地，當令0=0，最高點(=)，非穩(wěn)平衡，運動非唯一性。對于一個非線性系統(tǒng)，在確定的初始條件下，其解可能具有不可預(yù)測的隨機性。結(jié)論：1/15/202315★對于一般單擺的運動方程（受周期性驅(qū)動力作用的阻尼單擺）：●一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。其解更為復(fù)雜。周期力驅(qū)動下阻尼單擺的運動方程1/15/202316二、確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機性●在一個確定性的系統(tǒng)中，由于其本身的非線性性質(zhì)所產(chǎn)生的運動隨機性稱為確定性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性。例如，上述非線性單擺的運動?！镏湔麄€系統(tǒng)運動的因素是嚴格確定的（具有確定的運動方程），系統(tǒng)完全不存在隨機力的作用?！锶欢?jīng)過時間的演化，在這種確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)了隨機行為，產(chǎn)生出完全不可預(yù)測的、極為復(fù)雜的結(jié)果來，最后得到一條完全隨機的運動軌道。1/15/202317三、混沌的基本概念

1.混沌定義（物理學(xué)上）：在確定性系統(tǒng)中所表現(xiàn)出來的內(nèi)在隨機行為。是一個決定論的系統(tǒng)中所存在的運動的不可預(yù)測性。2.相圖●描述系統(tǒng)運動的各狀態(tài)參量之間的關(guān)系圖。例：自由單擺（簡諧振動）★簡諧振動是周期運動，每隔一定的時間運動又復(fù)原，所以相軌線

為一閉合曲線。1/15/2023183.自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)●不顯含時間t

的動力學(xué)方程稱為自治系統(tǒng)，而顯含時間t

的動力學(xué)方程稱為非自治系統(tǒng)。★由線性單擺方程可得不顯含t，在二維相空間中為自治系統(tǒng)。★由受阻力和周期策動力作用的非線性單擺方程可得（角諧振動）顯含t，在二維相空間中為非自治系統(tǒng)。1/15/202319自治系統(tǒng)的相空間與相軌線引入新變量=t

，可將方程化為三維相空間中的自治系統(tǒng)：●一個自治系統(tǒng)在其相空間上的相軌線不會相交，即通過每一相點的軌線是唯一的。

而非自治系統(tǒng)中相軌線則會相交。如上述系統(tǒng)在二維相平面上相軌線有相交情況。1/15/202320

AdynamicalsystemisdefinedasadeterministicmathematicalprescriptionforevolvingthestateofasystemforwardintimeExample:Asystemofnfirst-order,autonomousODE動力系統(tǒng)●不顯含時間t

的動力系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)，而顯含時間t

的動力系統(tǒng)稱為非自治系統(tǒng)。1/15/202321動力系統(tǒng)（數(shù)學(xué)定義）：若則滿足動力系統(tǒng)是線性的；若滿足則動力系統(tǒng)是非線性的；1/15/2023224.龐加萊截面圖若沿方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系統(tǒng)的性質(zhì)，每個截面上只有一個交點，即相軌線一次性的穿過每一個截面。

取 ，若以2為周長，將相空間彎成一圓環(huán)，則在該環(huán)形相空間上所取的任一固定截面稱為龐加萊截面。1/15/202323●相軌線在龐加萊截面上的交點的集合就稱為龐加萊截面圖。★通過分析相軌線在龐加萊截面上的交點的分布規(guī)律，就可了解到在長時間周期性的演變過程中系統(tǒng)的運動規(guī)律。1/15/202324龐加萊截面在高維相空間，為了更方便地了解復(fù)雜運動的性態(tài)（定態(tài)、周期或非周期），可取一個通過初態(tài)的截面（龐加萊截面），觀察相曲線與截面交點序列，可定性了解運動狀態(tài)的演化。相空間與相圖1/15/202325討論：●單周期振動，每隔2運動狀態(tài)復(fù)原，即相軌線每次都從同一點穿過龐加萊截面，★在龐加萊截面圖上只有一個不動點；●運動無周期性，則龐加萊截面圖上有無窮多個點。●倍周期的運動，龐加萊截面圖上有兩個不動點；…。1/15/202326四、單擺與混沌單擺方程按泰勒級數(shù)適當代換，得到非線性振動方程（Duffing杜芬方程）取前兩項近似，運動的演變討論

1.線性近似下的單擺運動

1/15/202327三種情況：a.

f==

=

0；b.

f==0；c.

=0，相應(yīng)得出簡諧振動、阻尼和受迫振動方程。令

=0，退化為線性方程★阻尼振動的相軌線：從外向內(nèi)收縮的螺旋線，最終停止于中點---不動點吸引子---

。★受迫振動：經(jīng)過暫態(tài)之后趨于一穩(wěn)定的閉合圈---周期吸引子或極限環(huán)。★簡諧振動的相軌線：閉合圈---周期環(huán)---。1/15/202328★方程代表復(fù)雜的非線性振動系統(tǒng)。2.非線性近似下的單擺運動混沌

為簡化問題，在四個參數(shù)中只改變f的值。數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，隨著f的逐漸增大，該振動系統(tǒng)產(chǎn)生了由簡單的周期運動到出現(xiàn)倍周期分岔，再進入混沌的演化過程。從周期運動到倍周期分岔

◎當f=0.8，系統(tǒng)的運動仍是一個簡單的周期運動。1/15/202329◎當f=0.89，其結(jié)果為一個二倍周期的運動，即出現(xiàn)了倍周期分岔。說明：圖中看上去的每一條曲線實際上是完全重合的兩條曲線，它們的初始值略有差異：a.

x0=1，0=0；b.

x0=1.001，0=0.001.結(jié)論：●初始條件的微小差別對周期性運動不產(chǎn)生影響，或者說周期運動對初值不敏感。混沌運動繼續(xù)增大f，當f

=1.3，隨機性運動取代了周期性運動，表明系統(tǒng)已進入混沌狀態(tài)。1/15/202330注意：圖(a)中的兩條運動曲線的初值分別為x0=1，0=0和x0=1.00001，0=0.00001。誤差僅在小數(shù)點后面第五位上，而給運動帶來的差別正可謂“差之毫厘，失之千里”?！裉幱诨煦鐮顟B(tài)時，系統(tǒng)的行為對于初值十分敏感，稱這一特性為混沌的初值敏感性?！裣鄨D(b)反映出混沌運動的隨機性。即相軌道(運動狀態(tài))完全不可預(yù)測。運動的隨機性---蝴蝶效應(yīng)---1/15/202331混沌的內(nèi)在規(guī)律性----混沌吸引子圖(a)中兩條曲線的運動完全各異，但它們的龐加萊截面圖[(c)和(d)]卻又是完全相同的。把混沌的相軌線在龐加萊截面上的這種點集稱為混沌吸引子?！蚧煦缥邮欠蔷€性耗散系統(tǒng)混沌的特征，表明耗散系統(tǒng)演化的歸宿。★代表混沌行為的全局特征?！窕煦缥芋w現(xiàn)出混沌運動的內(nèi)在規(guī)律性。1/15/202332結(jié)論★然而混沌的全局特征——混沌吸引子卻具有不依賴于初值的、確定的規(guī)則?！衩菜齐S機的混沌運動，其長期的演化行為遵從確定的規(guī)律---混沌運動的內(nèi)在規(guī)律性?！镞@是混沌運動區(qū)別于真實隨機運動的重要標志。初值懸殊的三個吸引子★混沌行為具有極為敏感的初值依賴性；1/15/202333如繼續(xù)增大f，當f=1.53，則出現(xiàn)一個三倍周期的運動---周期三窗口。當f=1.75時，系統(tǒng)又再次進入混沌狀態(tài)。周期窗口●在混沌狀態(tài)中又復(fù)現(xiàn)的周期性運動，稱為混沌區(qū)中的周期窗口。1/15/2023341/15/202335五、混沌的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性利用最簡單的非線性方程作進一步分析：---拋物線方程，得拋物線形迭代方程令在整個區(qū)間取值迭代便得出由周期運動到倍周期分岔，再進入混沌狀態(tài)的整個演化過程。1.混沌的演化（通向混沌的道路）1/15/202336倍周期分岔序列：12482n

.●當n，則解的數(shù)目，意味著系統(tǒng)已進入混沌狀態(tài)。將混沌開始時對應(yīng)的記為

(=1.40115518909205)。2.混沌區(qū)的結(jié)構(gòu)a.窗口

●在混沌區(qū)中重又出現(xiàn)的周期性運動。★窗口中包含著與整體完全相似的結(jié)構(gòu)。周期三窗口通向混沌的其它道路●準周期道路：平衡態(tài)→周期→準周期→混沌.●陣發(fā)混沌道路1/15/2023371框內(nèi)部分放大得下頁圖1/15/202338框內(nèi)再放大得下頁圖21/15/20233931/15/202340123混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)1/15/202341看似混亂的混沌體系中，包含著豐富有序的內(nèi)部結(jié)構(gòu)?！锶魏尉植康男^(qū)域都包含著整體的信息，具有與整體完全相似的規(guī)律?！裨诨煦鐑?nèi)部所包含的這種在不同尺度上的相似結(jié)構(gòu)稱為自相似性?！驈耐負淇臻g上來講，自相似結(jié)構(gòu)的維數(shù)往往不是整數(shù)維，而是分數(shù)維的，也就是具有分形的性質(zhì)。b.自相似結(jié)構(gòu)混沌帶的合并--從逆著混沌演化的方向，可找到混沌帶合并的規(guī)律：1/15/202342c.普適性若將第n倍周期分岔（或混沌帶合并）時對應(yīng)的參數(shù)記為n，則相繼兩次分岔（或合并）的間隔之比趨于同一個常數(shù)：注意：常數(shù)并不只限于單擺公式，而是對所有同一類型的變換，所得的值都精確地相同?！竦臄?shù)值只與系統(tǒng)的某種非線性性質(zhì)有關(guān)，而與各個系統(tǒng)的其他具體細節(jié)無關(guān)?！穹从吵龌煦缪莼^程中所存在的一種普適性.●是混沌內(nèi)在規(guī)律性的另一個側(cè)面反映。費根鮑姆常數(shù)1/15/202343在倍周期分岔序列圖中，同次周期分岔中上下的各對周期點之間的距離之比，以及第相鄰兩次周期分岔中的各對周期點之間的距離之比又趨于另一個常數(shù)，稱為標度因子或普適常數(shù):標度因子

例如，圖中注意：當不滿足，則比值只是近似的。1/15/202344Chaosvs.RandomnessDonotconfusechaoticwithrandom:Random:irreproducibleandunpredictableChaotic:deterministic-sameinitialconditionsleadtosamefinalstate…butthefinalstateisverydifferentforsmallchangestoinitialconditions

difficultorimpossibletomakelong-termpredictions1/15/202345討論●相同的常數(shù)

和

出現(xiàn)在不同的非線性系統(tǒng)之中，充分顯示出非線性系統(tǒng)中存在的某種共性，說明通往混沌的道路是有確定的規(guī)律可循的?！窕煦绗F(xiàn)象是確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機行為，是非線性系統(tǒng)的一種固有屬性?！窠?jīng)典力學(xué)的觀點并不能解釋內(nèi)在隨機性?！虬凑张ｎD決定論的觀念，一個沒有外來隨機因素影響的確定性系統(tǒng)，其運動的規(guī)律也必然是確定的。就是說，只要初始條件給定，則系統(tǒng)在以后任一時刻的運動狀態(tài)都是完全可以預(yù)見的，決不可能出現(xiàn)任何“越軌”的隨機行為。1/15/202346★從整個自然界來講，線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)之比正如有理數(shù)與無理數(shù)之比，我們實際上是生活在一個非線性的世界之中?！窕煦绗F(xiàn)象無處不有。混沌規(guī)律不僅支配著整個自然界的各個領(lǐng)域，而且也支配著人類的各種社會活動?！窕煦绲陌l(fā)現(xiàn)是對經(jīng)典的決定論的沖擊，或者說混沌理論是對經(jīng)典力學(xué)理論的補充和發(fā)展?！窕煦缭诂F(xiàn)代科技以及經(jīng)濟、社會領(lǐng)域中都有若干重要應(yīng)用。1/15/202347ChaosinPhysicsChaosisseeninmanyphysicalsystems:Fluiddynamics(weatherpatterns),somechemicalreactions,Lasers,Particleaccelerators,…Conditionsnecessaryforchaos:systemhas3independentdynamicalvariablestheequationsofmotionarenon-linear1/15/202348非線性動力學(xué)的參考文獻JournalofsoundandvibrationMechanicalSystemsandSignalProcessingChaosChaos,SolitonsandFractalsNonlinearDynamicsChaoticDynamics.G.L.Baker,J.P.Gollub.Cambridge,CambridgeUniversityPress,19901/15/202349PhysicaAPhysicaDPhysicalReviewAPhysicalReviewE

PhysicalReviewLettersRev.Mod.PhysPhysicsReportsPhysicsLettersA

NatureInternationalJournalofBifurcationandChaos

AnnalsofBiomedicalEngineering

1/15/202350

Europhys.letter

JapaneseJournalofAppliedPhysics

IEEETrans.Inform.Theory

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物理學(xué)報力學(xué)學(xué)報，應(yīng)用力學(xué)學(xué)報振動工程學(xué)非線性動力學(xué)報

→動力學(xué)與控制學(xué)報航空動力學(xué)報航空學(xué)報1/15/202351參考書目1.

非線性力學(xué)／(日)戶田盛和,渡邊慎介著,

昭和59[1983.1],

2.Understandingnonlineardynamics[monograph]／Da