1/15/20231第2章（物理系統(tǒng)）數(shù)學(xué)模型2.1控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和狀態(tài)方程2.2

Laplace變換

和

Laplace反變換2.3傳遞函數(shù)2.6控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)舉例2.0數(shù)學(xué)模型的基本概念2.4

系統(tǒng)方框圖(MathematicalModelingofPhysicalSystem)第2章數(shù)學(xué)模型常微分方程1/15/202323自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)1/15/202331/15/20234

機(jī)械系統(tǒng)[例]如圖所示單自由度彈簧-質(zhì)量-阻尼組成的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)。試列寫(xiě)出系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系的微分方程。其中:

K—

彈簧的彈性系數(shù)

m—

物體的質(zhì)量

?—

阻尼器粘性摩擦系數(shù)解：

(1)確定系統(tǒng)的輸入、輸出量：外力作用：F(t)

—

輸入量；質(zhì)量的位移：y(t)

—

輸出量；第2章數(shù)學(xué)模型1/15/20235(2)列出原始的微分方程（牛頓力學(xué)）:

(3)整理成標(biāo)準(zhǔn)微分方程形式:

第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202362.0數(shù)學(xué)模型的基本概念2.0.1

數(shù)學(xué)模型—知識(shí)點(diǎn)

數(shù)學(xué)模型是描述物理系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。

靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)中變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。第2章數(shù)學(xué)模型靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的概念1/15/202371/15/202382.0.2建立數(shù)學(xué)模型的方法

解析法

實(shí)驗(yàn)法

依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)定律列寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202392.0.3數(shù)學(xué)模型的形式

時(shí)間域：微分方程

差分方程

狀態(tài)方程

(現(xiàn)代控制理論)

復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)（經(jīng)典控制理論）

結(jié)構(gòu)圖

頻率域：頻率特性（經(jīng)典控制理論）第2章數(shù)學(xué)模型1/15/2023102.1.1控制系統(tǒng)微分方程的列寫(xiě)

機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素：

質(zhì)量mfm(t)參考點(diǎn)x

(t)v

(t)2.1控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（數(shù)學(xué)模型）的建立第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202311

彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)

x(t)—相對(duì)位移第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202312

阻尼(粘性阻尼—與運(yùn)動(dòng)速度成正比)CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202313

機(jī)械平移系統(tǒng)（質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)）mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)

機(jī)械平移系統(tǒng)力學(xué)模型fC(t)靜止（平衡）工作點(diǎn)作為零點(diǎn)，以消除重力的影響第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202314式中，m、C、K通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)線性微分方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。很顯然，上述微分方程中有兩個(gè)儲(chǔ)能元件（？），所以是二階的。

第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202315

彈簧－阻尼系統(tǒng)（無(wú)質(zhì)量）xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為一階常系數(shù)線性微分方程。（一個(gè)儲(chǔ)能元件？）第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202316

機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ

—旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K

—扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；C

—粘性阻尼系數(shù)柔性軸第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202317第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202318

電氣系統(tǒng)

電阻電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感Ri(t)u(t)第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202319

電容Ci(t)u(t)

電感Li(t)u(t)第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202320

R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202321一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階（儲(chǔ)能元件是什么？）常系數(shù)線性微分方程。

若L=0，則系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202322

小結(jié)

物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開(kāi)系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。

從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。

相似系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)。

第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202323

通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個(gè)數(shù)；因?yàn)橄到y(tǒng)每增加一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202324

線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)(LTI：LinearTimeInvariant)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間的函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)。

線性系統(tǒng)—知識(shí)點(diǎn)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：

可加性：

齊次性：或：第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202325用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。

非線性系統(tǒng)為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)處理。

實(shí)際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。

第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202326

液位控制系統(tǒng)(非線性系統(tǒng))節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮，通過(guò)節(jié)流閥的液流是湍流。

A：箱體截面積；第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202327這是非線性微分方程，因此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)，為常數(shù)。第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202328

線性系統(tǒng)微分方程的一般形式

式中：a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)；物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)滿足條件：m≤n

第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202329控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)

機(jī)械系統(tǒng)力學(xué)模型fC(t)第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202330狀態(tài)方程推導(dǎo)：第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202331設(shè)兩個(gè)狀態(tài)變量：位移和速度第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202332系統(tǒng)狀態(tài)方程（系統(tǒng)矩陣方程式）第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202333

寫(xiě)成矩陣表達(dá)式狀態(tài)方程：輸出方程：狀態(tài)變量：令：第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202334傳遞函數(shù)與狀態(tài)方程的一般關(guān)系傳遞函數(shù)：狀態(tài)方程：相互轉(zhuǎn)換關(guān)系：第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202335例題：動(dòng)力吸振器建模第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202336按牛頓定律建立數(shù)學(xué)模型

——

二階常系數(shù)線性微分方程組第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202337例題：雙質(zhì)量系統(tǒng)建模第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202338按牛頓定律建立數(shù)學(xué)模型

——

二階常系數(shù)線性微分方程組第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202339例題：車(chē)輛懸架系統(tǒng)建模第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202340按牛頓定律建立數(shù)學(xué)模型

——二階常系數(shù)線性微分方程組第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202341例題：倒立擺系統(tǒng)建模第2章數(shù)學(xué)模型1/15/202342假設(shè)：桿的質(zhì)量忽略不計(jì)（桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不計(jì)）第2章數(shù)學(xué)模型43

微分方程（組）如何處理？

現(xiàn)在面臨的問(wèn)題是第2章數(shù)學(xué)模型44拉普拉斯變換—知識(shí)點(diǎn)Pierre-SimonLaplace(1749-1827)第2章數(shù)學(xué)模型45

拉普拉斯—1749年3月23日生于法國(guó)西北部。1795年任巴黎綜合工科學(xué)校教授，后又在巴黎高等師范學(xué)校(SuperNormalSchoolofParis)任教授。1816年被選為法蘭西學(xué)院院士，1817年任該院院長(zhǎng)。被稱為法國(guó)的“牛頓”。

拉普拉斯是天體力學(xué)的主要奠基人、天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一，是分析概率論的創(chuàng)始人，因此可以說(shuō)他是應(yīng)用數(shù)學(xué)的先軀。

拉普拉斯創(chuàng)造和發(fā)展了許多數(shù)學(xué)的方法，以他的名字命名的Laplace變換、Laplace定理和Laplace方程，在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

第2章數(shù)學(xué)模型46SuperNormalSchoolofParis第2章數(shù)學(xué)模型47SuperNormalSchoolofParis

巴黎高師的既往歲月中，誕生了無(wú)數(shù)的科學(xué)和人文藝術(shù)領(lǐng)域的天才和大師。共計(jì)有11位來(lái)自物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、文學(xué)領(lǐng)域的諾貝爾獎(jiǎng)得主和6位菲爾茲獎(jiǎng)（FieldMedals，數(shù)學(xué)“諾貝爾獎(jiǎng)”）。

羅曼·羅蘭、薩特、路易·巴斯德曾就讀和工作在這里。

第2章數(shù)學(xué)模型48對(duì)數(shù)（變換）的應(yīng)用微分方程代數(shù)方程??第2章數(shù)學(xué)模型49用拉普拉斯變換（拉氏變換）解微分方程示意圖第2章數(shù)學(xué)模型502.2Laplace變換(積分)

和Laplace反變換2.2.1Laplace變換及其定義

式中：復(fù)數(shù)

s=+j（，均為實(shí)數(shù)）

F(s)

稱為函數(shù)f(t)

的Laplace變換或象函數(shù)

f(t)

稱為F(s)的原函數(shù)(注意字母的大小寫(xiě))L[]--為L(zhǎng)aplace變換的簡(jiǎn)化符號(hào)第2章數(shù)學(xué)模型512.2.2Laplace反變換定義L－1[]

--為L(zhǎng)aplace反變換的簡(jiǎn)化符號(hào)。簡(jiǎn)化表示：第2章數(shù)學(xué)模型52MATLAB計(jì)算Laplace變換

F=laplace(function)

f=ilaplace(Function)(過(guò)去是查表完成Laplace變換)第2章數(shù)學(xué)模型53原函數(shù)第2章數(shù)學(xué)模型5455

Laplace變換微分定理

微分式代數(shù)式第2章數(shù)學(xué)模型56

Laplace變換積分定理

積分式代數(shù)式第2章數(shù)學(xué)模型57質(zhì)量-彈簧-阻尼（m-K-C）系統(tǒng)的微分方程Laplace變換后微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程：第2章數(shù)學(xué)模型582.2.3幾種典型函數(shù)的Laplace變換

單位階躍函數(shù)1(t)

Heaviside階躍函數(shù)

helpheaviside第2章數(shù)學(xué)模型59

指數(shù)函數(shù)（t>0,a=const.）0tf(t)1

指數(shù)函數(shù)第2章數(shù)學(xué)模型60

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)

10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由歐拉(Euler)公式，有：

簡(jiǎn)諧信號(hào)

歐拉是人類(lèi)歷史上四個(gè)偉大數(shù)學(xué)家之一第2章數(shù)學(xué)模型61解得：同理：第2章數(shù)學(xué)模型62

單位脈沖函數(shù)(t)

0t1由洛必達(dá)法則：所以：Diracδ函數(shù)helpdirac第2章數(shù)學(xué)模型63

單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）

10tf(t)1

單位速度函數(shù)第2章數(shù)學(xué)模型64

單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的Laplace變換及反變換通?？梢杂蒐aplace變換表直接查得或通過(guò)MATLAB計(jì)算得到。

單位加速度函數(shù)第2章數(shù)學(xué)模型65傅里葉（Fourier）變換第2章數(shù)學(xué)模型66

2.3傳遞函數(shù)（TransferFunction）—古典控制理論的知識(shí)點(diǎn)第2章數(shù)學(xué)模型67mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)

m-K-C機(jī)械平移系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型fC(t)68LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C電路數(shù)學(xué)模型692.3.1傳遞函數(shù)的概念和定義

第2章數(shù)學(xué)模型在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的Laplace變換與引起該輸出的輸入量的Laplace變換之比。

零初始條件：

t<0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0；70第2章數(shù)學(xué)模型

傳遞函數(shù)求解示例

m-K-C系統(tǒng)所有初始條件均為零時(shí)，其Laplace變換為：71Laplace變換是求解線性常微分方程的有力工具，它可以將時(shí)域中的微分方程轉(zhuǎn)化為復(fù)域中的代數(shù)方程，并且可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不但可以直接反映系統(tǒng)的輸入、輸出動(dòng)態(tài)特性，而且可以間接反映結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)輸出的影響。第2章數(shù)學(xué)模型研究線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的意義72經(jīng)典控制理論中廣泛采用的頻域法和根軌跡法，就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)建立起來(lái)的。

傳遞函數(shù)經(jīng)典控制理論最基本和最重要的概念。第2章數(shù)學(xué)模型73第2章數(shù)學(xué)模型

R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

所有初始條件均為零時(shí)，其Laplace變換為：

傳遞函數(shù)求解示例

74第2章數(shù)學(xué)模型

幾點(diǎn)結(jié)論

傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，

其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無(wú)關(guān)。

若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動(dòng)態(tài)特性。

傳遞函數(shù)通過(guò)系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來(lái)描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來(lái)描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。75第2章數(shù)學(xué)模型

傳遞函數(shù)的一般形式考慮線性定常系統(tǒng)（LinearTimeInvariant(LTI

)）當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行Laplace變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：76第2章數(shù)學(xué)模型令：則：傳遞函數(shù)分母N(s)=0

稱為系統(tǒng)的特征方程(高次方程)，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。傳遞函數(shù)分母N(s)中s

的最高階次等于系統(tǒng)的階次。2.3.2特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)

特征方程—知識(shí)點(diǎn)

77第2章數(shù)學(xué)模型

零點(diǎn)和極點(diǎn)—知識(shí)點(diǎn)

將G(s)寫(xiě)成傳遞函數(shù)零極點(diǎn)表達(dá)形式（因式分解）：

N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0(特征方程)s=pj(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；式中:分子b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根

s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。分母的根：

78第2章數(shù)學(xué)模型2.3.3傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明

傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；

傳遞函數(shù)是s的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；

79第2章數(shù)學(xué)模型

傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律；

傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，無(wú)法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況；

一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。

80第2章數(shù)學(xué)模型2.3.4系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)—知識(shí)點(diǎn)

初始條件為0時(shí)，系統(tǒng)在單位脈沖

x(t)=(t)

輸入作用下的輸出響應(yīng)的Laplace變換為：即：g(t)稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的信息相同，也就是說(shuō)是系統(tǒng)在時(shí)域和復(fù)域的兩種表達(dá)方式。81第2章數(shù)學(xué)模型82傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表達(dá)式—知識(shí)點(diǎn)

第2章數(shù)學(xué)模型2.3.5典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式—知識(shí)點(diǎn)

83比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)分解化簡(jiǎn)第2章數(shù)學(xué)模型84第2章數(shù)學(xué)模型比例環(huán)節(jié)： K一階微分環(huán)節(jié)： s+1二階微分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：85第2章數(shù)學(xué)模型實(shí)際系統(tǒng)中還存在純時(shí)間延遲現(xiàn)象，輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入，但延遲了時(shí)間

。即:xo(t)=xi(t-)，此時(shí)復(fù)域表達(dá)式：其系統(tǒng)的傳遞函數(shù)—延遲環(huán)節(jié)86第2章數(shù)學(xué)模型

慣性環(huán)節(jié)

（一階系統(tǒng)環(huán)節(jié)）—知識(shí)點(diǎn)

凡運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：

T—時(shí)間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性式中：K—環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）實(shí)踐中兩個(gè)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)87第2章數(shù)學(xué)模型如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KC88第2章數(shù)學(xué)模型

振蕩環(huán)節(jié)

（二階系統(tǒng)環(huán)節(jié)）—知識(shí)點(diǎn)

含有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，且所存儲(chǔ)的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)方程為：

89第2章數(shù)學(xué)模型式中，T—振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)

—阻尼比，對(duì)于振蕩環(huán)節(jié)，0<<1

K—比例系數(shù)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標(biāo)準(zhǔn)形式為（K=1）：n—無(wú)阻尼固有頻率（NaturalFrequency）90第2章數(shù)學(xué)模型如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)式中：當(dāng)時(shí)為振蕩環(huán)節(jié)91傳遞函數(shù)的MATLAB函數(shù)

三種方式表達(dá)

傳遞函數(shù)模型G=tf(num,den)

狀態(tài)空間模型G=ss(A,B,C,D)

零極點(diǎn)模型G=zpk(z,p,K)92

質(zhì)量-彈簧-阻尼（m-K-C）系統(tǒng)第2章數(shù)學(xué)模型X0(s)Fi(s)

X0(s)Fi(s)

G(s)93

質(zhì)量-彈簧-阻尼（m-K-C）系統(tǒng)第2章數(shù)學(xué)模型x0(t)fi(t)

g(t)=L-1[G(s)]

時(shí)域輸出響應(yīng)等于系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與輸入信號(hào)的卷積。94第2章數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)（物理）方框圖表示95第2章數(shù)學(xué)模型96第2章數(shù)學(xué)模型第2章數(shù)學(xué)模型982.4(控制)系統(tǒng)方框圖（BlockDiagrams）2.4.1系統(tǒng)方框圖

—知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式，可以形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過(guò)程。X0(s)Fi(s)

第2章數(shù)學(xué)模型991.系統(tǒng)方框圖求法示例—電路系統(tǒng)

RCui(t)uo(t)i(t)

一階RC電路Laplace變換：第2章數(shù)學(xué)模型100從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖:

Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)Uo(s)I(s)第2章數(shù)學(xué)模型101Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)一階RC電路系統(tǒng)方框圖第2章數(shù)學(xué)模型1022.系統(tǒng)方框圖求法示例—4階機(jī)械系統(tǒng)

m1fi(t)K1Cx(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC第2章數(shù)學(xué)模型103m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fCx(t)0xo(t)0第2章數(shù)學(xué)模型104經(jīng)Laplace變換得：第2章數(shù)學(xué)模型105Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)(a)K1X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)

控制系統(tǒng)方框圖推導(dǎo)第2章數(shù)學(xué)模型106Xo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s)(c)K2Xo(s)FK2(s)(d)第2章數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)方框圖推導(dǎo)107

控制系統(tǒng)方框圖組成（合成）第2章數(shù)學(xué)模型108Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)Xo(s)FK2(s)K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2

系統(tǒng)方框圖第2章數(shù)學(xué)模型109

2.4.2（系統(tǒng)）方框圖代數(shù)（運(yùn)算）

方框圖的運(yùn)算法則

1.

串聯(lián)連接（相乘）：MATLAB

（series）G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)第2章數(shù)學(xué)模型1102.并聯(lián)連接

（相加）：MATLAB（parallel）Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)第2章數(shù)學(xué)模型111G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)-B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)消去E(s)、B(s)第2章數(shù)學(xué)模型3.

反饋連接

：MATLAB（feedback）112G(s)H(s)xix1

(y)-x24.系統(tǒng)方框圖符號(hào)運(yùn)算的MATLAB實(shí)現(xiàn)(1)第2章數(shù)學(xué)模型113第2章數(shù)學(xué)模型4.系統(tǒng)方框圖符號(hào)運(yùn)算的MATLAB實(shí)現(xiàn)(2)114第2章數(shù)學(xué)模型115①在方框圖上標(biāo)識(shí)狀態(tài)變量

x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7②建立代數(shù)狀態(tài)方程

5.系統(tǒng)方框圖符號(hào)運(yùn)算的代數(shù)狀態(tài)方程求解過(guò)程第2章數(shù)學(xué)模型116④列出系統(tǒng)代數(shù)狀態(tài)方程第2章數(shù)學(xué)模型117第2章數(shù)學(xué)模型1186.根據(jù)代數(shù)狀態(tài)方程求傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)理論第2章數(shù)學(xué)模型119系統(tǒng)方框圖符號(hào)運(yùn)算的代數(shù)狀態(tài)方程求解symsG1G2G3G4H1H2H3A=[0,0,0,0,0,0,-G1;G2,0,0,0,0,-G2,0; 0,G3,0,0,G3,0,0; 0,0,G4,0,0,0,0; 0,0,0,H2,0,0,0; 0,0,0,H1,0,0,0; 0,0,0,H3,0,0,0];b=[G1;0;0;0;0;0;0];c=[ 0,0,0,1,0,0,0];Y2Ua=c*((eye(size(A))-A)\b);

disp([blanks(5),'傳遞函數(shù)

Y2Ua為'])pretty(Y2Ua)第2章數(shù)學(xué)模型120例圖2.44（P50）：用MATLAB方法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)Ax1x2x3x5x4x6第2章數(shù)學(xué)模型121列出系統(tǒng)代數(shù)狀態(tài)方程第2章數(shù)學(xué)模型122第2章數(shù)學(xué)模型123symsG1G2G3H1H2H3A=[0,0,0,G1,0,-G1;G2,0,0,0,-G2,0; 0,G3,0,0,0,0; 0,H1,0,0,0,0; 0,0,H2,0,0,0; 0,0,H3,0,0,0];b=[G1;0;0;0;0;0];c=[ 0,0,1,0,0,0];Y2Ua=c*((eye(size(A))-A)\b); disp([blanks(5),'傳遞函數(shù)Y2Ua為'])pretty(Y2Ua)系統(tǒng)方框圖符號(hào)運(yùn)算的代數(shù)狀態(tài)方程求解第2章數(shù)學(xué)模型124第2章數(shù)學(xué)模型125

機(jī)械4階系統(tǒng)

(2個(gè)自由度)m1fi(t)K1Cx(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC7.系統(tǒng)方框圖數(shù)值運(yùn)算的MATLAB實(shí)現(xiàn)

第2章數(shù)學(xué)模型126Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)Xo(s)FK2(s)K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2控制系統(tǒng)方框圖第2章數(shù)學(xué)模型1278.傳遞函數(shù)的Simulink求解（sys1.mdl）第2章數(shù)學(xué)模型[A,B,C,D]=linmod('sys1')

ssmodel=ss(A,B,C,D)

tfmodel=tf(ssmodel)128

作業(yè)1.教材P46-圖2.34用MATLAB符號(hào)運(yùn)算狀態(tài)方程求解。2.習(xí)題2-11用MATLAB符號(hào)運(yùn)算狀態(tài)方程求解。129G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)-B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)第2章數(shù)學(xué)模型

單輸入單輸出閉環(huán)（負(fù)）反饋線性控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)

H(s)

=1被稱為單位（負(fù)）反饋130第2章數(shù)學(xué)模型2.4.4控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

考慮擾動(dòng)N(s)=L[n(t)]

的閉環(huán)控制系統(tǒng)

G1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)N(s)+Xi(s)到Xo(s)

的信號(hào)傳遞通路被稱為前向通道

Xo(s)到B(s)

的信號(hào)傳遞通路被稱為反饋通道131

閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)—知識(shí)點(diǎn)

閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)也可定義為反饋信號(hào)B(s)和偏差信號(hào)

(s)之間的傳遞函數(shù)，或前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。即：第2章數(shù)學(xué)模型(注：閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)量綱,為什么？)132

xi(t)輸入作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)—知識(shí)點(diǎn)

令干擾n(t)=0，此時(shí)在輸入xi(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：G1(s)H(s)Xi(s)Xo1(s)B(s)

(s)G2(s)xi(t)-xo1(t)閉環(huán)傳遞函數(shù)第2章數(shù)學(xué)模型133xi(t)作用下系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)—知識(shí)點(diǎn)

1H(s)Xi(s)G1(s)G2(s)

(s)

偏差信號(hào)與輸入信號(hào)之間的關(guān)系令n(t)=0，此時(shí)系統(tǒng)輸入Xi(s)與偏差

(s)之間的傳遞函數(shù)稱為輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)。用表示。第2章數(shù)學(xué)模型134

干擾n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)—知識(shí)點(diǎn)

令xi(t)=0，此時(shí)在擾動(dòng)n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)（干擾傳遞函數(shù)）為：

G1(s)H(s)N(s)Xo2(s)G2(s)n(t)-xo2(t)的傳遞函數(shù)第2章數(shù)學(xué)模型135

干擾n(t)作用下系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)—知識(shí)點(diǎn)

令xi(t)=0，此時(shí)系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的偏差傳遞函數(shù)（稱擾動(dòng)偏差傳遞函數(shù)）。

-1N(s)G1(s)n

(s)

偏差信號(hào)與干擾信號(hào)之間的關(guān)系G2(s)H(s)+136

輸入、輸出位置不同時(shí)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的異同

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

具有相同的特征多項(xiàng)式(分母)：

1+G1(s)G2(s)H(s)

其中G1(s)G2(s)H(s)

為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)。即各閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)相同。

系統(tǒng)的固有特性與輸入、輸出的形式、位置均無(wú)關(guān)；同一個(gè)外作用加在系統(tǒng)不同的位置上，系統(tǒng)的響應(yīng)不同，但不會(huì)改變系統(tǒng)的固有特性（極點(diǎn)相同）。

第2章數(shù)學(xué)模型137

系統(tǒng)的總輸出根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)在輸入xi(t)

及擾動(dòng)n(t)

共同作用下的總輸出為：第2章數(shù)學(xué)模型138若

；，則：上式表明：采用反饋控制的系統(tǒng)，合理選擇元部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以增強(qiáng)系統(tǒng)抑制干擾的能力。（即：輸出與外界干擾輸入n(t)無(wú)關(guān)）第2章數(shù)學(xué)模型139

控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)舉例

機(jī)械系統(tǒng)

電機(jī)驅(qū)動(dòng)進(jìn)給裝置

工作臺(tái)m絲杠L電動(dòng)機(jī)如右圖，絲杠螺母裝置將電機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)楣ぷ髋_(tái)的直線運(yùn)動(dòng)。第2章數(shù)學(xué)模型1402款伺服電機(jī)選擇設(shè)計(jì)軟件第2章數(shù)學(xué)模型141電機(jī)驅(qū)動(dòng)進(jìn)給裝置等效系統(tǒng)J電動(dòng)機(jī)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量按等功原理，工作臺(tái)等直線運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量m的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：L—

絲杠螺距，即絲杠每轉(zhuǎn)一周工作臺(tái)移動(dòng)的直線距離。第2章數(shù)學(xué)模型142

齒輪傳動(dòng)裝置

z1T11T22z2齒輪副假設(shè)齒輪傳動(dòng)中無(wú)功率損耗，且忽略齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、嚙合間隙與變形，則：T1、T2：輸入、輸出轉(zhuǎn)矩1、2：角位移1、2：角速度z1、z2：齒數(shù)r1、r2：齒輪分度圓半徑第2章數(shù)學(xué)模型143T1z1T22z2J1C1J2C2T1集中參數(shù)齒輪副模型：J1、J2：齒輪（包括軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量C1、C2：嚙合齒輪、支承粘性阻尼系數(shù)T

：輸入轉(zhuǎn)矩第2章數(shù)學(xué)模型144齒輪1：齒輪2：利用：有：第2章數(shù)學(xué)模型145式中：——等效折算到輸入端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中:動(dòng)慣量折算到齒輪1一側(cè)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為齒輪2一側(cè)的轉(zhuǎn)第2章數(shù)學(xué)模型146——等效折算到輸入端的粘性阻尼系數(shù)顯然，利用，齒輪2一側(cè)的轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速和角位移同樣可等效折算到齒輪1一側(cè)。其中:性阻尼系數(shù)折算到齒輪1一側(cè)的等效粘性阻尼系數(shù)為齒輪2一側(cè)的粘第2章數(shù)學(xué)模型147考慮扭轉(zhuǎn)彈性變形效應(yīng)時(shí)，齒輪2一側(cè)的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)等效到齒輪1一側(cè)時(shí)，剛度系數(shù)也應(yīng)乘以。即若K1、K2的分別為齒輪1和2的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)，則齒輪1一側(cè)的等效剛度KI為：第2章數(shù)學(xué)模型148

實(shí)例1：數(shù)控機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)鏈數(shù)學(xué)模型工作臺(tái)m絲杠L伺服電機(jī)xo(t)

J3,K3,C3J2,K2,C2J1,K1,C1Cmz1z2z3z4IIIIIITiKm第2章數(shù)學(xué)模型149m(t)為工作臺(tái)位移xo(t)折算到I軸上的等效當(dāng)量轉(zhuǎn)角：空載時(shí)，I軸轉(zhuǎn)矩平衡方程為：其中：i(t)為I軸輸入轉(zhuǎn)角；，第2章數(shù)學(xué)模型150J、C、K分別為工作臺(tái)及各軸折算到I軸上的等效總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、等效總粘性阻尼系數(shù)及等效總剛度系數(shù)。第