計(jì)算機(jī)中的數(shù)制和碼制內(nèi)容提要數(shù)和數(shù)制有符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)的表示方法及溢出問(wèn)題定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)二進(jìn)制編碼11、數(shù)和數(shù)制計(jì)數(shù)制：一種計(jì)數(shù)的方法，用不同的代碼來(lái)表示任意數(shù)計(jì)算機(jī)中使用二進(jìn)制數(shù)（B）為方便二進(jìn)制數(shù)的記憶，使用十六進(jìn)制數(shù)（H）為與人們良好溝通，使用十進(jìn)制數(shù)（D）2十進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)代碼個(gè)數(shù)：具有10個(gè)不同的代碼，分別是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9進(jìn)位規(guī)則：逢10進(jìn)一權(quán)：以10為底的冪“權(quán)”是一種位置系數(shù)3二進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)代碼個(gè)數(shù)：具有2個(gè)不同的代碼，分別是0、1進(jìn)位規(guī)則：逢2進(jìn)一權(quán)：以2為底的冪4十六進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)代碼個(gè)數(shù)：具有16個(gè)不同的代碼，分別是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F進(jìn)位規(guī)則：逢16進(jìn)一權(quán)：以16為底的冪5十進(jìn)制、二進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)碼對(duì)照表十進(jìn)制二進(jìn)制十六進(jìn)制00000B0H10001B1H20010B2H30011B3H40100B4H50101B5H60110B6H70111B7H81000B8H十進(jìn)制二進(jìn)制十六進(jìn)制91001B9H101010B0AH111011B0BH121100B0CH131101B0DH141110B0EH151111B0FH1610000B10H6位置計(jì)數(shù)法（1）同一個(gè)數(shù)字在不同的數(shù)位代表的數(shù)值是不同的，這種計(jì)數(shù)方法稱(chēng)為位置計(jì)數(shù)法。在位置計(jì)數(shù)法中，對(duì)每一個(gè)數(shù)位賦予不同的位值，稱(chēng)為權(quán)。每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字所表示的量是這個(gè)數(shù)字和該數(shù)位的權(quán)的乘積。所以一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于基數(shù)為X的任意數(shù)可以用多項(xiàng)式表示7位置計(jì)數(shù)法（2）其中：Ki——第i位的系數(shù)，可以為0，1，…,(X-1)共X個(gè)數(shù)字符號(hào)中任一數(shù)字符號(hào)；m,n——冪指數(shù)，均為正整數(shù)；Xi——第i位的權(quán)。8書(shū)寫(xiě)規(guī)則為了區(qū)分不同數(shù)制，常用如下方法：后綴表示法：

B—二進(jìn)制；例：1011BO—八進(jìn)制；例：345o(或Q)D—十進(jìn)制（可省略）；例：678D(或678)H—十六進(jìn)制；例：8DFH9各種數(shù)制的相互轉(zhuǎn)換（1）非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)可將其按定義展開(kāi)為多項(xiàng)式，再將系數(shù)和權(quán)均用十進(jìn)制表示后，按照十進(jìn)制進(jìn)行乘法和加法計(jì)算，所得結(jié)果即為對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。例：二進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制整數(shù)101000101B=1*28+1*26+1*22+1*20=325D例：二進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制小數(shù)0.101001B=1*2-1+1*2-3+1*2-6=0.5+0.125+0.015625=0.640625D10各種數(shù)制的相互轉(zhuǎn)換（2）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)整數(shù)部分按照基數(shù)進(jìn)行連除，直到余數(shù)為０為止，所得的余數(shù)序列逆序就為對(duì)應(yīng)的非十進(jìn)制數(shù)；小數(shù)部分按照基數(shù)進(jìn)行連乘，直到小數(shù)部分為０或達(dá)到計(jì)算要求的精度為止，每次乘積的整數(shù)部分序列就為對(duì)應(yīng)的非十進(jìn)制小數(shù)。11各種數(shù)制的相互轉(zhuǎn)換（3）十進(jìn)制325整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)除基取余法：

除基余數(shù)ki

232521621k02810k1

2401k22200k3

2100k4250k5221k6210k701k8

325D=101000101B12各種數(shù)制的相互轉(zhuǎn)換（4）例：將十進(jìn)制數(shù)0.625轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制形式。

乘基整數(shù)ki

0.625×2=1.251k-1

0.25×2=0.50k-20.5×2=1.01k-3

0.625=0.101B注：如果一個(gè)任意十進(jìn)制數(shù)要轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)，可以把整數(shù)部分和小數(shù)部分分別加以轉(zhuǎn)換，然后把轉(zhuǎn)換后的整數(shù)部分和小數(shù)部分相加13各種數(shù)制的相互轉(zhuǎn)換（5）二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)從小數(shù)點(diǎn)開(kāi)始分別向左向右把整數(shù)及小數(shù)部分每４位分成一組，如果不足則補(bǔ)０。用十六進(jìn)制數(shù)取代每組的數(shù)值，就可得到對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)。例如：二進(jìn)制數(shù)1011101001.110101轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制：001011101001.11010100↓↓↓↓↓十六進(jìn)制：２E９.D４

1011101001.110101B=2E9.D4H14各種數(shù)制的相互轉(zhuǎn)換（6）十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)用對(duì)應(yīng)的４位二進(jìn)制數(shù)取代１位十六進(jìn)制數(shù)。例如：十六進(jìn)制數(shù)5C7A.3BH轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)：５C７A.３B↓↓↓↓↓↓二進(jìn)制數(shù)：0101110001111010.001110115C7A.3BH=101110001111010.00111011B15無(wú)符號(hào)數(shù)和有符號(hào)數(shù)在計(jì)算機(jī)中，可以區(qū)分正負(fù)的類(lèi)型，稱(chēng)為有符類(lèi)型，無(wú)正負(fù)的類(lèi)型（只有正值），稱(chēng)為無(wú)符類(lèi)型。當(dāng)我們指定一個(gè)數(shù)是無(wú)符號(hào)類(lèi)型時(shí)，那么其最高位的1或0，和其它位一樣，用來(lái)表示該數(shù)的大小。當(dāng)我們指定一個(gè)數(shù)是有符號(hào)類(lèi)型時(shí)，此時(shí)，最高位稱(chēng)為“符號(hào)位”。最高位為1時(shí)，表示該數(shù)為負(fù)值，最高位為0時(shí)表示為正值。16無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算加法：0＋0=00＋1=11＋0=11＋1=0減法：0－0=00－1=11－0=11－1=0乘法：0×0=00×1=01×1=11×0=0除法：乘法的逆運(yùn)算，可以用減法和左移運(yùn)算實(shí)現(xiàn)17無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的取值范圍：一個(gè)n位的無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)X，其取值范圍是

0≤X≤2n-1溢出:最高有效位產(chǎn)生進(jìn)位18無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的邏輯運(yùn)算“與”：0∧0=00∧1=01∧0=01∧1=1“或”：0∨0=00∨1=11∨0=11∨1=1“非”：1=00=1“異或”：0⊕0=00⊕1=11⊕0=11⊕1=0192、有符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的表示方法及溢出問(wèn)題一個(gè)有符號(hào)的數(shù)在機(jī)器中的表示形式稱(chēng)為機(jī)器數(shù)，其數(shù)值稱(chēng)為真值機(jī)器數(shù)有三種表示法：原碼、反碼、補(bǔ)碼計(jì)算機(jī)中帶符號(hào)的數(shù)用補(bǔ)碼表示20原碼表示法（1）正數(shù)的符號(hào)位用“0”表示，負(fù)數(shù)的符號(hào)位用“1”表示，絕對(duì)值的編碼與無(wú)符號(hào)數(shù)的編碼規(guī)則相同例如，X=＋1010011[X]原=01010011

X=－1010011[X]原=11010011對(duì)于8位二進(jìn)制原碼0有兩種表示形式：[＋0]原=00000000

正零

[－0]原=10000000負(fù)零所能表示的取值范圍：－127~＋127[＋127]原=01111111[－127]原=1111111121原碼表示法（2）原碼表示簡(jiǎn)單易懂，易于形成。但是，兩個(gè)異號(hào)數(shù)相加或兩個(gè)同號(hào)數(shù)相減，就要做減法操作22反碼表示法（1）正數(shù)的反碼表示與原碼相同，最高位為符號(hào)位，用“0”表示正，其余位為數(shù)值位

例如：[＋4]反=00000100負(fù)數(shù)的反碼，表示為該數(shù)對(duì)應(yīng)的正數(shù)按位取反（包括符號(hào)位）

例如：[＋4]反=00000100[－4]反=1111101123反碼表示法（2）對(duì)于8位二進(jìn)制反碼0有兩種表示形式：[＋0]反=00000000

正零

[－0]反=11111111

負(fù)零所能表示的取值范圍：－127~＋127[＋127]反=01111111[－127]反=1000000024補(bǔ)碼表示法（1）正數(shù)的補(bǔ)碼表示與原碼相同，最高位為符號(hào)位，用“0”表示正，其余位為數(shù)值位

例如：[＋4]補(bǔ)=00000100負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼等于其相應(yīng)的反碼加1（在最低位加1）

例如：[＋4]補(bǔ)=00000100[－4]補(bǔ)=[－4]反＋1=11111011＋1=1111110025補(bǔ)碼表示法（2）對(duì)于8位二進(jìn)制補(bǔ)碼：0的表示是唯一的：

[＋0]補(bǔ)=[－0]補(bǔ)=00000000所能表示的數(shù)值范圍：－128~＋127[＋127]補(bǔ)=01111111[－128]補(bǔ)=1000000026二進(jìn)制數(shù)、原碼、補(bǔ)碼關(guān)系二進(jìn)制數(shù)無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)原碼補(bǔ)碼000000000+0+000000001000000101+1+12+2+2…………01111110126+126+12601111111127+127+12710000000128-0-12810000001129-1-12710000010130-2-126…………11111110254-126-211111111255-127-127有符號(hào)數(shù)運(yùn)算時(shí)的溢出問(wèn)題（1）溢出：有符號(hào)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果超出可表示的有符號(hào)數(shù)的范圍時(shí)，就會(huì)發(fā)生溢出，使計(jì)算結(jié)果出錯(cuò)如果計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)是n位，最高位是符號(hào)位，采用補(bǔ)碼表示法時(shí)，可表示的數(shù)的范圍為-2n-1≤Ｘ≤2n-1-1溢出出現(xiàn)在兩個(gè)同號(hào)數(shù)相加或兩個(gè)異號(hào)數(shù)相減的情況下

28有符號(hào)數(shù)運(yùn)算時(shí)的溢出問(wèn)題（2）加法運(yùn)算時(shí)：如果次高位（數(shù)值部分最高位）形成進(jìn)位加入最高位，而最高位（符號(hào)位）沒(méi)有進(jìn)位輸出時(shí)；反過(guò)來(lái)，次高位沒(méi)有進(jìn)位加入最高位，但最高位卻有進(jìn)位輸出時(shí)，都會(huì)產(chǎn)生溢出。01001000B+72

＋

01100010B+9810101010B-8610101101B

-83+10110000B-8001011101B+93+72與+98之和為+170，超過(guò)了８位二進(jìn)制數(shù)的所能表示的最大數(shù)+127，產(chǎn)生了上溢，得到了錯(cuò)誤的結(jié)果-86。-83與-80之和應(yīng)為-163，超過(guò)了８位二進(jìn)制數(shù)所能表示的最小數(shù)-128，產(chǎn)生了下溢，得到了錯(cuò)誤結(jié)果+93。29有符號(hào)數(shù)運(yùn)算時(shí)的溢出問(wèn)題（3）減法運(yùn)算時(shí)：當(dāng)次高位不需從最高位借位，但最高位卻需借位（正數(shù)減負(fù)數(shù)，差超出范圍，結(jié)果為負(fù)數(shù)）；反過(guò)來(lái)，次高位需從最高位借位，但最高位不需借位（負(fù)數(shù)減正數(shù)，差超出范圍，結(jié)果為正數(shù)），都會(huì)產(chǎn)生溢出。01001000B

+72

－

10011110B-9810101010B-86+72與-98之差應(yīng)為170，超過(guò)了８位二進(jìn)制數(shù)所能表示的最大+127，產(chǎn)生了上溢，得到了錯(cuò)誤結(jié)果-86。10101101B

-83

－

01010000B+8001011101B+93-83與+80之差應(yīng)為-163，超出了８位二進(jìn)制數(shù)所能表示的最小數(shù)-128，產(chǎn)生下溢，得到錯(cuò)誤結(jié)果為+93。303、定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)在計(jì)算機(jī)中用二進(jìn)制表示實(shí)數(shù)的方法有兩種：定點(diǎn)法和浮點(diǎn)法定點(diǎn)法

所謂定點(diǎn)法，即小數(shù)點(diǎn)在數(shù)中的位置是固定不變的，以定點(diǎn)法表示的實(shí)數(shù)稱(chēng)作定點(diǎn)數(shù)。方法一：規(guī)定小數(shù)點(diǎn)固定在最高數(shù)值位之前，機(jī)器中所能表示的都是小數(shù)。n位數(shù)值部分所能表示的數(shù)N的范圍（原碼表示）為1-2-n≥N≥-(1-2-n)符號(hào)位數(shù)值位↑小數(shù)點(diǎn)符號(hào)位數(shù)值位↑小數(shù)點(diǎn)31方法二：規(guī)定小數(shù)點(diǎn)固定在最低數(shù)值位之后，機(jī)器中所能表示的數(shù)都是整數(shù)。n位數(shù)值部分所能表示的數(shù)N的范圍是2n-1≥N≥-(2n-1)符號(hào)位數(shù)值位↑小數(shù)點(diǎn)由于實(shí)際問(wèn)題中很少有純粹的整數(shù)或者小數(shù)，所以定點(diǎn)法要求程序員為了調(diào)整所要表示的數(shù)值范圍，而選擇比例因子。所有原始數(shù)據(jù)都要用比例因子化成小數(shù)或整數(shù)，計(jì)算結(jié)果又要用比例因子恢復(fù)。對(duì)于復(fù)雜的計(jì)算，計(jì)算中間需要多次調(diào)整比例因子。定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)32浮點(diǎn)法任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)N總可以寫(xiě)成下面的形式：N=±d·2±p其中：d稱(chēng)為尾數(shù)，是二進(jìn)制純小數(shù)，指明數(shù)據(jù)的全部有效數(shù)字。前面的符號(hào)稱(chēng)作數(shù)符，表示數(shù)的符號(hào)。P稱(chēng)為階數(shù)，它前面的符號(hào)稱(chēng)為階符，由此可知，將尾數(shù)d的小數(shù)點(diǎn)向右(對(duì)+p)或向左(對(duì)-p)移動(dòng)p位，即得數(shù)值N。所以階符和階碼指定小數(shù)點(diǎn)的位置，小數(shù)點(diǎn)隨著p的符號(hào)和大小而浮動(dòng)，所以這種數(shù)稱(chēng)為浮點(diǎn)數(shù)。定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)33如果尾數(shù)的絕對(duì)值小于1而且大于等于0.5，即采用原碼編碼的正數(shù)或者負(fù)數(shù)和采用補(bǔ)碼編碼的正數(shù)，其尾數(shù)的最高位數(shù)字為1；采用補(bǔ)碼編碼的負(fù)數(shù)，其尾數(shù)的最高位數(shù)字為0，則該浮點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)被稱(chēng)為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。數(shù)的加減運(yùn)算要求小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)而言，就是階碼（包括階符）相等，使階碼相等的操作稱(chēng)為對(duì)階。階符階碼數(shù)符尾數(shù)↑1位↑m位↑1位↑n位定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)34例如：已知m=4，n=10，有一個(gè)十進(jìn)制數(shù)17.75，將其轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，并對(duì)它進(jìn)行規(guī)格化。

(17.75)10=(10001.11)2=0.1000111×25

規(guī)格化后：001010

1000111000浮點(diǎn)運(yùn)算后，經(jīng)常要把結(jié)果規(guī)格化，規(guī)格化的操作就是尾數(shù)每右移1位(相當(dāng)于小數(shù)點(diǎn)左移1位)，階碼加1；尾數(shù)每左移1位，階碼減1。定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)35對(duì)階的規(guī)則是：將兩個(gè)數(shù)中階碼小的數(shù)的尾數(shù)右移，階碼增大，直到與另一個(gè)數(shù)的階碼相等為止。這樣的操作很合理，因?yàn)槲矓?shù)右移，不會(huì)打破尾數(shù)的范圍，只可能丟失最低有效位，造成的誤差較小。例如兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)1.10001和10011.1001相加，經(jīng)過(guò)規(guī)格化后分別為

00001011000100000010101001110010對(duì)階后變?yōu)?/p>

0010100000110001+00101010011100100010101010100011定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)364、二進(jìn)制編碼（1）二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)（BCD編碼）用二進(jìn)制編碼表示的十進(jìn)制數(shù)稱(chēng)為二-十進(jìn)制碼，簡(jiǎn)稱(chēng)BCD碼（BinaryCodedDecimal）BCD碼是十進(jìn)制數(shù)，但用二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示BCD碼有多種表示方法，最常用的是8421BCD碼8421BCD碼每一位用四位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示378421BCD碼的編碼方案十進(jìn)制8421BCD碼8421BCD碼十進(jìn)制0123456789101112131415000000010010001101000101011001111000100100010000000100010001001000010011000101000001010138BCD碼的兩種格式BCD碼的兩種基本格式：組合式BCD碼

分離式BCD碼

組合式：一個(gè)字節(jié)表示兩個(gè)BCD碼，即兩位十進(jìn)制數(shù)76543210

低位高位分離式：一個(gè)字節(jié)的低四位表示一個(gè)BCD碼，高四位通常為0000，它對(duì)這個(gè)字節(jié)所表示的十進(jìn)制數(shù)無(wú)影響。76543210

BCD碼39BCD碼的加減運(yùn)算例：用BCD碼求38+49

0011

1000

38的BCD碼＋0100100149的BCD碼

1000

0001

81的BCD碼錯(cuò)誤原因分析：由于BCD編碼是將每個(gè)十進(jìn)制數(shù)用一組4位二進(jìn)制數(shù)，即一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)表示。在十進(jìn)制數(shù)中是“逢十進(jìn)一”和“借一當(dāng)十”，而計(jì)算機(jī)按二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算，是“逢十六進(jìn)一”和“借一當(dāng)十六”，這樣在BCD碼的加減法運(yùn)算的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。40BCD碼的加減運(yùn)算由于BCD碼加法會(huì)出錯(cuò)，解決的方法就是“加6修正”，其規(guī)則是：⑴如果任何兩個(gè)對(duì)應(yīng)位BCD數(shù)相加的結(jié)果向高一位無(wú)進(jìn)位時(shí)，若得到的結(jié)果小于或等于9，則該位不需修正；若得到的結(jié)果大于9且小于16時(shí)，該位就需要修正。⑵如果任何兩個(gè)對(duì)應(yīng)位BCD數(shù)相加的結(jié)果向高一位有進(jìn)位時(shí)(即結(jié)果大于或等于16)，該位進(jìn)行加6修正。⑶低位修正結(jié)果使高位大于9時(shí)，高位進(jìn)行加6修正。這種修正稱(chēng)為BCD調(diào)整。同樣在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，可采用“減6修正法”。在計(jì)算機(jī)中，還有BCD調(diào)整指令，可得到正確的結(jié)果。41BCD碼的加減運(yùn)算例：用BCD碼求38+49

0011

1000

38的BCD碼＋0100100149的BCD碼

1000

0001低四位向高四位有進(jìn)位

0000

0110低四位加6修正

1000

0111

87正確結(jié)果42ASCII字符編碼計(jì)算機(jī)既要處理數(shù)值數(shù)據(jù)，還要處理字母、數(shù)字和符號(hào)（簡(jiǎn)稱(chēng)字符），而計(jì)算機(jī)內(nèi)部只能識(shí)別二進(jìn)制代碼，所以必須將字符進(jìn)行編碼目前微型計(jì)算機(jī)普遍采用的是美國(guó)國(guó)家信息交換標(biāo)準(zhǔn)字符碼—ASCII碼（AmericanStandardCodeforInformationInterchange）43ASCII字符編碼ASCII碼采用7位二進(jìn)制代碼對(duì)字符編碼，故可表示128個(gè)字符

44ASCII字符編碼一個(gè)字節(jié)為8位，在用一個(gè)字節(jié)表示一個(gè)ASCII碼時(shí)，通常認(rèn)為最高位為0。有時(shí)根據(jù)需要也用最高位作為奇偶校驗(yàn)位，用來(lái)檢驗(yàn)代碼在存儲(chǔ)和發(fā)送過(guò)程中是否發(fā)生錯(cuò)誤。偶校驗(yàn)時(shí)，每個(gè)代碼的二進(jìn)制形式中應(yīng)有偶數(shù)個(gè)1；奇校驗(yàn)時(shí)，每個(gè)代碼中應(yīng)有奇數(shù)個(gè)1。奇偶校驗(yàn)只具有發(fā)現(xiàn)代碼在存儲(chǔ)和發(fā)送過(guò)程中出現(xiàn)的奇數(shù)個(gè)位出現(xiàn)錯(cuò)誤的能力，由于簡(jiǎn)單可行，它被廣泛地用于信息的存儲(chǔ)和傳送。45ASCII碼字符表（7位碼）

000010012010301141005101611071110123450000000100100011010001016789A0110011110001001101010111100110111101111BCDEFNULSOHSTXETXEOTENQDLEDC1DC2DC3DC4NAKSP!“#$%012345@ABCDEPQRSTU、abcdepqrstuACKBELBSHTLFSYNETBCANEMSUB&‘()*6789：FGHIJVWXYZfghijvwxyzVTFFCRSOSIESCFSGSRSUS+,—。/；<=>