第八節(jié)應(yīng)用舉例考試說明內(nèi)容知識要求了解(A)理解(B)掌握(C)解三角形及其簡單應(yīng)用√三年考題13年(5考)：新課標全國卷ⅡT4江蘇T18福建T21重慶T18浙江T1812年(4考)：江西T16湖南T8新課標全國卷T17安徽T1611年(2考)：福建T14新課標全國卷T15考情播報1.應(yīng)用正、余弦定理及面積公式解三角形是高考考查的熱點2.常與角度、方向、距離及測量等問題有關(guān)的實際問題相結(jié)合命題3.三種題型都有可能出現(xiàn),屬中低檔題【知識梳理】1.三角形中常用的面積公式(1)S=ah(h表示邊a上的高).(2)S=bcsinA=

=

.(3)S=r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).2.實際應(yīng)用中的常用術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線所成的角中,目標視線在水平視線上方的叫做仰角,目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.方位角α的范圍是0°≤α<360°術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角,通常表達為北(南)偏東(西)××度例:(1)北偏東m°(2)南偏西n°術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為α,坡度為i,則i==tanα坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比【考點自測】1.(思考)給出下列命題：①面積公式中S=bcsinA=absinC=acsinB，其實質(zhì)就是面積公式S=ah=bh=ch(h為相應(yīng)邊上的高)的變形;②俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為[0,];③方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系;④方位角大小的范圍是［0,2π)，方向角大小的范圍一般是[0,).其中正確的是()A.①②B.①③④C.①②③D.②④【解析】選B.①正確.如S=absinC=ah(h=bsinC)，h即為邊a上的高.②錯誤.俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角.③正確.方位角與方向角均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系的.④正確.方位角是由正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，故大小的范圍為［0,2π)，而方向角大小的范圍由定義可知為[0,).2.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東80°D．南偏西80°【解析】選D.由條件可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°.3.如圖所示，D，C，B三點在地面的同一直線上，DC＝a，從C，D兩點測得A點的仰角分別為60°，30°，則A點離地面的高度AB等于()【解析】選B.因為∠DAC=∠ACB－∠D=60°-30°=30°，所以AC=CD=a，在Rt△ABC中，AB=AC·sin60°=a.4．某工程中要將一長為100m,傾斜角為75°的斜坡，改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長()【解析】選A.設(shè)坡底需加長xm，由正弦定理得解得x=100.5.(2014·宜昌模擬)甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°的方向,兩船相距a海里的B處,乙船正向北行駛,若甲船是乙船速度的倍,甲船為了盡快追上乙船,則應(yīng)取北偏東

(填角度)的方向前進.【解析】設(shè)兩船在C處相遇，則由題意∠ABC＝180°－60°＝120°，且由正弦定理得又0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.答案：30°6.海上有A,B兩個小島相距10nmile,從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角,那么B島和C島的距離是

nmile.【解析】畫出示意圖如圖,由題意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得所以BC=5.答案:5考點1測量距離問題【典例1】(1)(2014·汕頭模擬)如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，在河岸選取相距40米的C，D兩點，測得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA=60°，則A，B間距離為

米.

(2)(2014·泰安模擬)如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個觀測點,現(xiàn)位于A點北偏東45°,B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里/小時,該救援船到達D點需要多長時間?【解題視點】(1)觀察AB所在的三角形,根據(jù)已知條件求出有關(guān)的邊角再求解.(2)已知速度,要求時間,只要求出路程,即CD的長即可;再觀察CD所在的三角形,確定已知條件較集中的三角形求解.【規(guī)范解答】(1)由已知得，∠BCD=30°+60°=90°,又因為∠BDC=45°,CD=40米，所以BD=40米，在△ADC中，∠ADC=60°+45°=105°,所以∠CAD=180°-105°-30°=45°，由正弦定理，得在△ADB中，由余弦定理，得AB2=AD2+DB2－2AD·DBcos∠ADB所以AB=(米).答案：(2)由題意知AB＝5(3＋)海里，因為∠DAB=90°-45°=45°，∠DBA=90°-60°=30°，所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°，在△ADB中，由正弦定理，得所以==(海里)，又因為∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°，所以在△DBC中，由余弦定理，得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC所以CD=30(海里)，所以需要的時間t==1(小時)，即救援船到達D點需要1小時.【互動探究】本例(2)中若不知救援船的速度，其他條件不變，要求救援船必須在40分鐘內(nèi)到達，則救援船的最小速度為多少？【解析】設(shè)救援船的速度為v海里/小時，由例題解析可求得CD=30海里，由得v≥45.即救援船的最小速度為45海里/小時.【易錯警示】注意開方本例第(1)題在利用余弦定理時，很容易忽略對最后的結(jié)果開方，從而導(dǎo)致結(jié)果錯誤，在應(yīng)用余弦定理時一定要注意對最后的結(jié)果開方.【規(guī)律方法】距離問題的類型及解法(1)類型：測量距離問題分為三種類型：兩點間不可達又不可視、兩點間可視但不可達、兩點都不可達.(2)解法：選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正余弦定理求解.解三角形應(yīng)用題的兩種情形(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解能求解的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解.【變式訓(xùn)練】某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛.公路的走向是M站的北偏東40°.開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米.此時汽車離汽車站的距離是____.【解析】由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進20千米后到達B處.在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理，得則所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC=在△MAC中，由正弦定理，得從而有MB=MC-BC=15(千米),所以汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站.答案：15千米【加固訓(xùn)練】1.甲船在島B的正南A處，AB＝10千米.甲船以每小時4千米的速度向北航行，同時，乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?當(dāng)甲船在A，B之間，且甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間是()【解析】選A.如圖，設(shè)航行x小時,甲船航行到C處，乙船航行到D處，在△BCD中，BC=10-4x，BD=6x,∠CBD＝120°，兩船相距S千米,根據(jù)余弦定理可得，DC2=BD2+BC2-2BC·BDcos∠CBD=(6x)2+(10-4x)2-2×6x(10-4x)·cos120°，即S2=28x2-20x+100所以當(dāng)時，S2最小，從而S也最小，即航行分鐘時兩船相距最近.故選A.2.如圖所示，一艘海輪從A處出發(fā)，測得燈塔在海輪的北偏東15°方向，與海輪相距20海里的B處，海輪按北偏西60°的方向航行了30分鐘后到達C處，又測得燈塔在海輪的北偏東75°的方向，則海輪的速度為

海里/分鐘.【解析】由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得所以所以海輪航行的速度為(海里/分鐘).答案：

考點2測量高度、角度問題【典例2】(1)(2014·湘潭模擬)要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，則電視塔的高度為

m.(2)在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距A處(-1)nmile的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°的方向,距離A處2nmile的C處的緝私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此時,走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄,問緝私船沿著什么方向能最快追上走私船?【解題視點】(1)點A與點B,C,D不在同一個平面內(nèi),且AB⊥平面BCD,故本題的數(shù)學(xué)模型為三棱錐,根據(jù)已知條件和所求三角形的聯(lián)系求解.(2)注意到最快追上走私船且兩船所用時間相等,若在D處相遇,則可先在△ABC中求出BC,再在△BCD中求∠BCD.【規(guī)范解答】(1)如圖,設(shè)電視塔AB高為xm,則在Rt△ABC中,由∠ACB=45°,得BC=x.在Rt△ADB中,∠ADB=30°,所以BD=x.在△BDC中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,即(x)2=x2+402-2·x·40·cos120°,解得x=40,所以電視塔高為40m.答案:40(2)設(shè)緝私船用th在D處追上走私船，如圖，則有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，因為AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，所以由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC所以BC＝，在△ABC中，由正弦定理，得所以所以∠ABC＝45°，所以BC與正北方向垂直.因為∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得所以所以∠BCD＝30°.即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船.【規(guī)律方法】1.求解高度問題的三個關(guān)注點(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.(3)注意豎直線垂直于地面構(gòu)成的直角三角形.2.測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.提醒：方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角.【變式訓(xùn)練】(2014·大連模擬)如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝30m，并在點C處測得塔頂A的仰角為30°，則塔高AB為()【解析】選D.在△BCD中，∠CBD＝180°-15°-135°＝30°，由正弦定理，得所以在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝30tan30°＝10(m).【加固訓(xùn)練】1.地面上有兩座塔AB，CD，相距120米，一人分別在兩塔底測得一塔頂?shù)难鼋鞘橇硪凰斞鼋堑?倍，在兩塔底連線的中點O處測得塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?，則兩塔的高度分別為()A.50米，100米B.40米，90米C.40米,50米D.30米,40米【解析】選B.設(shè)高塔高H，矮塔高h，在矮塔下望高塔仰角為α,在O點望高塔仰角為b.分別在兩塔底部測得一塔頂仰角是另一塔頂仰角的兩倍，所以在高塔下望矮塔仰角為,即根據(jù)倍角公式有在塔底連線的中點O測得兩塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?，所以在O點望矮塔仰角為即根據(jù)誘導(dǎo)公式有②，聯(lián)立①②得H=90，h=40.即兩座塔的高度為40米，90米,故選B.2.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若偵察艇以每小時14nmile的速度沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇.若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值.【解析】如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根據(jù)正弦定理得解得所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α的正弦值為.考點3三角形的面積公式的應(yīng)用【考情】與三角形的面積有關(guān)的問題是高考的熱點.在高考中以解答題的形式出現(xiàn),考查面積的計算、最值,根據(jù)面積求邊、角等問題.

高頻考點

通關(guān)【典例3】(1)(2013·新課標全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知b=2，則△ABC的面積為()(2)(2014·宜昌模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知c=2，若△ABC的面積等于，則a=

，b=

.【解題視點】(1)先由正弦定理求出邊c，再由面積公式求解.(2)根據(jù)余弦定理及面積構(gòu)造含有a，b的方程組求解.【規(guī)范解答】(1)選B.因為所以由正弦定理得解得所以三角形的面積為因為所以選B.(2)由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4，又因為△ABC的面積等于，即absinC＝，所以ab＝4.由解得答案：22【通關(guān)錦囊】高考指數(shù)重點題型破解策略◆◆◆求面積對于已知邊、角求面積的問題,應(yīng)考慮求出兩邊之積與夾角的正弦◆◆◆已知面積求邊、角問題面積公式中含有兩邊夾角共四個量,故可利用其構(gòu)造方程知三求一◆◆◆求面積的最值問題將面積用邊角表示,利用函數(shù)或基本不等式求最值【關(guān)注題型】◆

面積與向量相結(jié)合的問題向量數(shù)量積中涉及邊角問題,而面積中也涉及邊角問題,二者問題可相互聯(lián)系【通關(guān)題組】1.(2014·長沙模擬)在△ABC中，BC=1，∠B=，△ABC的面積S=，則sinC=()【解析】選D.由已知得S=BC·AB·sinB=×1×AB×=，所以AB=4.由余弦定理得則所以2.(2014·廈門模擬)若△ABC中，b=3，B=，則該三角形面積的最大值為

.【解析】由b=3，B=及余弦定理可得9=b2=a2+c2-2accos=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，所以ac≤9，當(dāng)a=c=3時，取“=”，所以所以S△ABC的最大值為當(dāng)a=b=c=3時取得.答案：3.(2011·安徽高考)已知△ABC的一個內(nèi)角為120°，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為

.【解析】設(shè)三角形一邊長為x，則另兩邊的長為x-4,x+4,那么(x+4)2=x2+(x－4)2－2x(x－4)cos120°，解得x=10,所以S△ABC=×10×6×sin120°=.答案：【加固訓(xùn)練】1.(2011·福建高考)若△ABC的面積為，BC=2，C=60°，則邊AB的長度等于

.【解析】在△ABC中，由面積公式，得S=BC·CA·sinC=×2·AC·sin60°所以AC=2,再由余弦定理，得AB2＝BC2+AC2－2AC·BC·cosC=22+22－2×2×2×=4，所以AB=2.答案：22.(2014·南昌模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，且=4，則△ABC的面積等于

.【解析】由余弦定理，得又0<A<π，所以A=.又所以bc=8.所以答案：3.(2012·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA.(2)若a=3，△ABC的面積為2，求b，c.【解析】(1)3(cosBcosC+sinBsinC)-1=6cosBcosC，3cosBcosC-3sinBsinC=-1，3cos(B+C)=-1，cos(π-A)=-,則cosA=.(2)由(1)得sinA=,由面積可得bc=6①，則根據(jù)余弦定理cosA=則b2+c2=13②，①②兩式聯(lián)立可得b=2,c=3或b=3,c=2.【規(guī)范解答6】三角形面積公式的應(yīng)用【典例】(12分)(2013·新課標全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2,求△ABC面積的最大值.【審題】分析信息,形成思路信息提取思路分析(1)a=bcosC+csinB根據(jù)正弦定理→統(tǒng)一為角的條件→根據(jù)內(nèi)角和定理將角A用B,C表示→利用三角變換得角B的函數(shù)值→求角B(2)若b=2,求△ABC面積的最大值由角B和邊b→利用余弦定理構(gòu)造含有a,c的等式→利用基本不等式轉(zhuǎn)化為ac的不等式→將面積用a,c及角B表示→求最值【解題】規(guī)范步驟,水到渠成(1)因為a=bcosC+csinB,所以由正弦定理,得sinA=sinBcosC+sinCsinB,

①………2分所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB②,即cosBsinC=sinCsinB,因為sinC≠0,所以tanB=1,……4分解得B=.………5分(2)由余弦定理，得b2=a