《排列與組合》同步練習一、選擇題1．2022年春節(jié)放假安排：農歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有()A．1440種 B．1360種C．1282種 D．1128種解析采取對丙和甲進行捆綁的方法：如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(2,2)＝1440種，如果“乙在正月初一值班”，則安排方案有：Ceq\o\al(1,1)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝192種，若“甲在除夕值班”，則“丙在初一值班”，則安排方案有：Aeq\o\al(5,5)＝120種．則不同的安排方案共有1440－192－120＝1128(種)．答案D2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的排法共有 ()．種 種 種 種解析可先排C、D、E三人，共Aeq\o\al(3,5)種排法，剩余A、B兩人只有一種排法，由分步計數(shù)原理滿足條件的排法共Aeq\o\al(3,5)＝60(種)．答案B3．如果n是正偶數(shù)，則Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)＋Ceq\o\al(n,n)＝ ()．A．2n B．2n－1C．2n－2 D．(n－1)2n－1解析(特例法)當n＝2時，代入得Ceq\o\al(0,2)＋Ceq\o\al(2,2)＝2，排除答案A、C；當n＝4時，代入得Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,4)＝8，排除答案D.故選B.答案B4．某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 ()． B.30 解析可分為兩類：兩個節(jié)目相鄰或兩個節(jié)目不相鄰，若兩個節(jié)目相鄰，則有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,6)＝12種排法；若兩個節(jié)目不相鄰，則有Aeq\o\al(2,6)＝30種排法．由分類計數(shù)原理共有12＋30＝42種排法(或Aeq\o\al(2,7)＝42)．答案A5．某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()．A．30種B．35種C．42種D．48種解析法一可分兩種互斥情況：A類選1門，B類選2門或A類選2門，B類選1門，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝18＋12＝30(種)選法．法二總共有Ceq\o\al(3,7)＝35(種)選法，減去只選A類的Ceq\o\al(3,3)＝1(種)，再減去只選B類的Ceq\o\al(3,4)＝4(種)，共有30種選法．答案A6．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為 ()．A．232 B．252 C．472 D．484解析若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝64種，若2張同色，則有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,4)＝144種；若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝192種，乘余2張同色，則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(2,4)＝72種，所以共有64＋144＋192＋72＝472種不同的取法．故選C.答案C二、填空題7．從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有________種．解析分1名男醫(yī)生2名女醫(yī)生、2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生兩種情況，或者用間接法．直接法：Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)＝70.間接法：Ceq\o\al(3,9)－Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,4)＝70.答案708．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三個房間內，要求甲、乙兩人不住同一房間，且每個房間最多住兩人，則不同的住宿安排有________種(用數(shù)字作答)．解析甲、乙住在同一個房間，此時只能把另外三人分為兩組，這時的方法總數(shù)是Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18，而總的分配方法數(shù)是把五人分為三組再進行分配，方法數(shù)是eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72種．答案729．某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2,3張為不同花色的A，有5次出牌機會，每次只能出一種點數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人不同的出牌方法共有________種．解析出牌的方法可分為以下幾類：(1)5張牌全部分開出，有Aeq\o\al(5,5)種方法；(2)2張2一起出，3張A一起出，有Aeq\o\al(2,5)種方法；(3)2張2一起出，3張A分3次出，有Aeq\o\al(4,5)種方法；(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,5)種方法；(5)2張2分開出，3張A一起出，有Aeq\o\al(3,5)種方法；(6)2張2分開出，3張A分兩次出，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,5)種方法．因此，共有不同的出牌方法Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,5)＝860(種)．答案86010．小王在練習電腦編程，其中有一道程序題的要求如下：它由A，B，C，D，E，F(xiàn)六個子程序構成，且程序B必須在程序A之后，程序C必須在程序B之后，執(zhí)行程序C后須立即執(zhí)行程序D，按此要求，小王的編程方法有__________種．解析對于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整體，A，B，C，D產生四個空，所以E有4種不同編程方法，然后四個程序又產生5個空，所以F有5種不同編程方法，所以小王有20種不同編程方法．答案20三、解答題11．7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種．(1)A，B必須當選；(2)A，B必不當選；(3)A，B不全當選；(4)至少有2名女生當選；(5)選取3名男生和2名女生分別擔任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔任，班長必須由女生擔任．解(1)由于A，B必須當選，那么從剩下的10人中選取3人即可，故有Ceq\o\al(3,10)＝120種選法．(2)從除去的A，B兩人的10人中選5人即可，故有Ceq\o\al(5,10)＝252種選法．(3)全部選法有Ceq\o\al(5,12)種，A，B全當選有Ceq\o\al(3,10)種，故A，B不全當選有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(3,10)＝672種選法．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或沒有女生，故可用間接法進行．所以有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(5,7)＝596種選法．(5)分三步進行；第1步，選1男1女分別擔任兩個職務有Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(1,5)種選法．第2步，選2男1女補足5人有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)種選法．第3步，為這3人安排工作有Aeq\o\al(3,3)方法．由分步乘法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,3)＝12600種選法．12．要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有1名女生入選；(2)至多有2名女生入選；(3)男生甲和女生乙入選；(4)男生甲和女生乙不能同時入選；(5)男生甲、女生乙至少有一個人入選．解(1)Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,7)＝771；(2)Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7)＝546；(3)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,10)＝120；(4)Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,10)＝672；(5)Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,10)＝540.13．某醫(yī)院有內科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災醫(yī)療隊，其中：(1)某內科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？(2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？(3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？(4)隊中至少有一名內科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？解(1)只需從其他18人中選3人即可，共有Ceq\o\al(3,18)＝816(種)；(2)只需從其他18人中選5人即可，共有Ceq\o\al(5,18)＝8568(種)；(3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,18)＋Ceq\o\al(3,18)＝6936(種)；(4)方法一(直接法)：至少有一名內科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類：一內四外；二內三外；三內二外；四內一外，所以共有Ceq\o\al(1,12)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(2,12)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(1,8)＝14656(種)．方法二(間接法)：由總數(shù)中減去五名都是內科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得Ceq\o\al(5,20)－(Ceq\o\al(5,12)＋Ceq\o\al(5,8))＝14656(種)．14．已知10件不同的產品中有4件次品，現(xiàn)對它們一一測試，直至找到所有4件次品為止．(1)若恰在第2次測試時，才測試到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？(2)若至多測試6次就能找到所有4件次品，則共有多少種不同的測試方法？解(1)若恰在第2次測試時，才測到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐個抽取測試．第2次測到第一件次品有4種抽法；第8次測到最后一件次品有3種抽法；第3至第7次抽取測到最后兩件次品共有Aeq\o\al(2,5)種抽法；剩余4次抽到的是正品，共有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,6)＝86400種抽法．(2)檢測4次可測出4件次品，不