階行列式的計算方法徐亮（西北師大學(xué)數(shù)信學(xué)院數(shù)學(xué)系，730070）綱要：本文歸納總結(jié)了n階行列式的幾種常用的卓有收效的計算方法，并舉列說了然它們的應(yīng)運．要點詞：行列式，三角行列式，遞推法，起落階法，得蒙行列式TheCalculatingMethodoftheN-orderDeterminantXuLiang(CollegeofMathematicsandInformationScience，NorthwestNormalUniversity，Lanzhou730070，Gansu，China)Abstract:Thispaperintroducessomecommonandeffectivecalculatingmethodsofthen-orderdeterminantbymeansofexamples.Keywords:determinant;triangulairedeterminant;upanddownorder;vandermondedeterminant行列式是談?wù)摼€形方程組理論的一個有力工具，在數(shù)學(xué)的好多分支中都有這極為廣泛的應(yīng)用，是一種不可以缺少的運算工具，它是研究線性方程組，矩陣，特征多項式等問題的基礎(chǔ)，熟練掌握行列式的計算是特別必要的．行列式的計算問題多種多樣，靈便多變，需要有較強的技巧．現(xiàn)介紹總結(jié)的計算n階行列式的幾種常用方法．1．定義法應(yīng)用n階行列式的定義計算其值的方法，稱為定義法．依照定義，我們知道n階行列式a11a12La1na21a22La2n(1)(j1j2Ljn)a1ja2jLanj．MMLM12nj1j2Ljnan1an2Lann這里表示對1,2,L,n組成的所有排列j1,j2,L,jn求和．j1j2Ljn例1．計算n階行列式a1b1a1b2La1bnDna2b1a2b2La2bn．MMLManb1anb2Lanbn解：當n1時，Da1b1；當n2時，Da1a2b2b1；當n3時，a1b1a1b2La1bnrir1a2a1a2a1La2a1Dni2,L,nMML0Mana1ana1Lana1(rir1)表示第一行乘(1)加到各行上．故a1b1n1Dn(a1a2)(b1b2)n2．0n3由定義知n階行列式的張開式有n!項，計算量很大，它主要應(yīng)用于行列式中好多元素為零的情況．2．提公因式法依照行列式的性質(zhì)，把一個行列式中某行（列）所有元素的公因子提到列式符號的外邊的方法稱為提公因式法．即a11a12La1na11a12La1nMMLMMMLMai1ai2Lainai1ai2LainMMLMMMLMan1an2Lan3an1an2Lan3例2．計算n階行列式abbLbbabLbDnbbaLb．MMMLbbbbLa解：abbLbabLDnbbaLMMMLbbbL

b(n1)ba(n1)bLa(n1)babr1r2LrnbaLbbMMLMMbbLaa111L1100L0babLbbab0L0a(n1)bbbaLba(n1)bb0abL0MMMLMMMMLMbbbLab00Laba(n1)b(ab)n13．化三角形法利用行列式的性質(zhì)，將行列式化為上（下）三角行列式，爾后再計算行列式的值的方法稱為化三角形法．此種方法是把給定的行列式表示為一個非零數(shù)與一個三角形行列式之積．所謂三角形行列式是位于對角線一側(cè)的所有元素所有等于零的行列式，三角形行列式的值簡單求得，涉及主對角線的n階行列式等于主對角線上元素之積，涉及次nn1對角線的n階行列式等于次對角線上的元素之積且?guī)Х?1)2．總結(jié)以下：a10a1a10（1）O=O=O=a1a2an．0an0anan（對角形）（上三角形）（下三角形）0a1a10a1nn1（）N=N=N=12a1a2an．2an0an0an（次對角形）（次上三角形）（次下三角形）例3．計算n階行列式abLbDnbaLb．MMLMbbLa解：將行列式的第i列都加到第1列，i2,3,L,n，可知第1列元素都相同，再提出公因式an1b，得1bLbDnan1b0abL0MMLM00Laban1ban1b例4．計算n階行列式x1mx2x3Lxnx1x2mx3LxnDx1x2x3mLxn．MMMLMx1x2x3Lxnm解：將行列式的第i列都加到第1列，i2,3,L,n，第1列元素都相同，再提n出公因式xim，得i1nximx2x3Lxn1nximx2mx3Lxni1DnLximx2x3mxni1MMMLMnximx2x3Lxnmi11x2x3Lxnn1x2mx3Lxnxim1x2x3mLxni1MMMLM1x2x3Lxnm1x2x3Lxnn0m0L0Lxim00m0i1MMMLM000Lmnn1ximmi14．降階法利用行列式的性質(zhì)，將行列式的階數(shù)化低；爾后再計算行列式之值的方法稱為降階法．依照行列式按行（列）張開法規(guī)：n階行列式D等于它的任意一行（列）的所有元素與它們對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積的和．即Dai1Ai1ai2Ai2LainAini1,2,L,nDa1jA1ja2jA2jLanjAnjj1,2,L,n值得注意的是在使用時應(yīng)先利用行列式性質(zhì)，將某一行（列）元素盡可能多地化成零，爾后再張開，使計算簡略．例5．計算n階行列式xy0L000xyL00Dn00xL00．MMMLMM000Lxyy00L0x解：將行列式按第一列張開，得xyL00y0L000xL00n1xyL00DnxMMLMM1yMMLMM00Lxy00Ly000L0xn100Lxyn1xn1n1yn例6．計算n階行列式123Ln234L1D345L2MMMLMn12Ln1解：將行列式的第i列都加到第1列，i2,3,L,n，再從第1列中提出公因式nn1，得2123Lnnn1134L1D145L22MMMLM112Ln1從第n1行開始，各行乘1加到下1行，得：123Ln11L1n011L1nnn11L1111Lnn1D01MMLM2MMML2ML01n1L1n11n11n1n212

nn1D121n1L1其中D111nL1MML．M11L1nn1將D1用三角形法各行減去第1行，得1n1L11n1L1nnnnnL0n1n11L0D1MLMMMMLMn0Lnn110L1n11nn21L1nnnnn1n101L0nn2.nnMMLM00L1n1將D1代入式，得n1n2D12

nn1n1n2nn1n1n121n1n.225．升階法前面介紹了在計算行列式時利用依行（列）張開定理使行列式降階，從而使問題簡化．有時與此相反，即在原行列式的基礎(chǔ)上增加一行（列），使其升階構(gòu)造一個簡單計算的新行列式，從而求出原行列式的值，這種計算行列式的方法稱為升階法．凡可利用升階法計算的行列式擁有的特點是：除主對角線上的元素外，其余的元素都相同，或任兩行元素成比率．升階時，新行（列）由哪些元素組成，添加在那個地址，這要依照原行列式的特點作出合適的選擇．例7．計算n階行列式ca12a1a2La1anDna2a1ca22La2an．MMLMana1ana2Lcan2解：將原行列式增加1行1列，得1a1a2Lan0ca12a1a2La1anDn0a2a1ca22La2an，MMMLM0ana1ana2Lcan2將第1行乘(ai)后，加到第i1行，得1a1a2Lana1c0L0Da20cL0，MMMLMan00Lc將行列式的第j列分別乘c1aj1，j2,3,L,n1，加到第1列，就可以變?yōu)樯先切涡辛惺?，其對角線上的元素為1c1nai2,c,c,L,c．i1nn得Dncn1c1ai2cncn1ai2．i1i1例8．計算n階行列式1a111L111a21L1D111a3L1．MMMLM111L1an解：將原行列式增加1行1列，得1111L101a111L1011a21L1D111a3L，01MMMMLM0111L1an將第1行乘1加到其余各行上去，得1111L11a100L0D10a20L0，L100a30MMMMLM1000Lan將第i列分別乘1，i2,3,L,n1，所有加到第1列，得ai1n1111L1aii10a100L0D00a20L0，000a3L0MMMMLM0000Lan變化為上三角形行列式，得D1n1a1a2an．i1ai例9．計算n階行列式xa1a2a3Lana1xa2a3LanDa1a2xa3Lan．MMMLMa1a2a3Lxan解：將原行列式增加1行1列，得1a1a2a3Lan0xa1a2a3Lan0a1xa2a3Lan，Da1a2xa3Lan0MMMMLM0a1a2a3Lxan將第i行，i2,3,L,n，減去第1行，得1a1a2a3Lan1x00L0D10x0L0，100xL0MMMMLM1000Lx將第j列乘1，j2,3,L,n，加到第1列，得x11naia1a2a3Lanxi10x00L01nnD00x0L0xn1aixn1xai．000xL0xi1i1MMMMLM0000Lx若x0，顯然D0，故上式對所有x都成立．6．遞推法利用行列式的性質(zhì)，把某一行列式表示為擁有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式的關(guān)系式（稱為遞推關(guān)系），依照所獲得的遞推關(guān)系式及低階某初始行列式的值，即可遞推求得所需的結(jié)果，這種方法稱為遞推法．例10．計算n階行列式abab0L001ababL00Dn01abL00．MMMLMM000Labab000L1ab解：將行列式按第1行張開，得1abL000abL00DnabDn1abMMMMM00Labab00L1ababDn1abDn2于是獲得一個遞推關(guān)系DnabDn1abDn2變形得DnbDn1aDn1bDn2則DnbDn1aDn1bDn2a2Dn2bDn3Lan2D2bD1an22abbabanab所以DnanbDn1，據(jù)此再遞推，得Dnanban1bDn2anan1bb2Dn2Lanan1bLa2bn2bn1D1anan1bLa2bn2abn1bn７．翻開法利用行列式的性質(zhì)，按某一行（列）將已知行列式拆為易于求值的若干行列式的和的方法，稱為翻開法．即把某一行（列）的元素寫成兩個元素的和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩個行列式的和，使問題簡化，易于計算．若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則行列式可按此行（列）拆成兩個行列式之和．即a11a12La1na11a12La1na11a12MMLMMMLMMMa1b1a2b2Lanbna1a2Lanb1b2MMLMMMLMMMan1an2Lannan1an2Lannan1an2例11．計算n階行列式0aaLab0aLaDnbb0La．MMMLMbbbL0解：將第n列元素寫成兩個元素的和，即0aaLa0b0aLa0Dnbb0La0，MMMLMbbbLaa依照行列式的性質(zhì)，得0aaLa0aaL0b0aLab0aL0Dnbb0Labb0L0MMMLMMMMLMbbbLabbbLa0aaL10aaL0b0aL1b0aL0abb0L1bb0L0MMMLMMMMLMbbbL1bbbLa

a1nLMLbnMLann對上面的第一個行列式，將第n列乘b加到其余各列上；對第二個行列式按第n列張開，得：bababL10aaLa0babL1b0aLaDna00bL1abb0LaMMMLMMMMLM000L1nnbbbL0n1n1n1aDn1ab于是獲得第一個遞推關(guān)系Dnan1baDn1若是將Dn按下面方式拆項，又獲得bbaaLabaaLabaaLab00aLab0aLa00aLaDnb0b0Labb0La0b0LaMMMLMMMMLMMMMLMb0bbL0bbbL00bbL0又獲得另一個遞推關(guān)系Dnbn1bDn1aDnan1aDn故有遞推關(guān)系式b1Dnbn1bDna1當ab時，解得Dnn1aa3bLabn3bn21aban21n1an1bn1abab當ab時，解得Dnn1aa2Lan2an21a2an21n11ann例12．計算n階行列式xaaLaaxaLaDnaaxLa．MMMLMaaaLx解：將Dn的第n行可寫成0a,0a,L,0a,xaa，則：xaaLaxaaLaaxaLaaxaLaDnaaxLaaaxLa，MMMLMMMMLM000LxaaaaLa對第一個行列式，按最后1行張開；對第二個行列式，將最后1列分別加到第1列，第2列，L，第n-1列，再按最后1行張開，得：DnxaDn1n11axa若將Dn的第n列寫成0a,0a,L,0a,xaa，則DnxaDn1n12axa由以上1,2兩式，可解得Dn1nn2xaxa８．換元法將行列式的元素進行變換，爾后再計算行列式之值的方法，稱為換元法．這種方法主要依賴于行列式的下述性質(zhì)：a11x1La1nxna11La1nnnMLMMLMxjAkj．a(chǎn)n1x1Lannxnan1Lannj1k1a11La1n其中Akj為元素akj在行列式MLM中的代數(shù)余子式．a(chǎn)n1Lann特其余，若是x1x2Lxn，則上式變?yōu)閍11xLa1nxa11La1nnnMLMMLMxAkj．a(chǎn)n1xLannxan1Lannj1k1例13．計算行列式a1xxLxxa2xLxDnxxa3Lx．MMMLMxxxLan解：將Dn的所有元素減去x，得a1x00L00a2x0L0D00a3xL0，MMMLM000LanxD的非主對角線元素的代數(shù)余子式等于零，而每一個主對角線元素的代數(shù)余子式等于主對角線其余元素的積，則：nnDna1xa2xa3xLanxxAijn1xaixi1x

i1j111aix9利用德蒙（Vandermonde）行列式出名的德蒙行列式，在線性代數(shù)中占有重要的地位，在計算行列式的時候，可以直接利用其結(jié)果．德蒙行列式的形式和結(jié)果為111L1x1x2x3Lxnx12x22x32Lxn2xixj．MMMLM1jinx1n1x2n1x3n1Lxnn1例14．計算n階行列式111L1x1x11x2x21x3x31Lxnxn1Dnx12x11x22x21x32x31Lxn2xn1．MMMLMx1n1x11x2n1x21x3n1x31Lxnn1xn1解：將第1