會計學(xué)1Chap數(shù)字濾波器完整實用§5.1引言

一、DF按頻率特性分類可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通，其特點為：（1）頻率變量以數(shù)字頻率表示，，為模擬角頻率，T為抽樣時間間隔；（2）以數(shù)字抽樣頻率為周期；（3）頻率特性只限于范圍，這是因為依取樣定理，實際頻率特性只能為抽樣頻率的一半。第1頁/共233頁§5.1引言(續(xù))二、數(shù)字濾波器的性能要求

這里，為通帶截止頻率為阻帶起始頻率0通帶阻帶過渡帶平滑過渡第2頁/共233頁§5.1引言(續(xù))

三、DF頻響的三個參量

1、幅度平方響應(yīng)

2、相位響應(yīng)3、群延遲它是表示每個頻率分量的延遲情況；當(dāng)其為常數(shù)時，就是表示每個頻率分量的延遲相同。第3頁/共233頁§5.1引言(續(xù))四、DF設(shè)計內(nèi)容按任務(wù)要求確定Filter的性能指標(biāo)；數(shù)字逼近——用IIR或FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求；IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是的有理函數(shù)，F(xiàn)IR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是的多項式選擇適當(dāng)?shù)倪\算結(jié)構(gòu)實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)；通過模擬，驗證所設(shè)計的系統(tǒng)是否符合給定性能要求；第4頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)數(shù)字濾波器的表示方法：系統(tǒng)函數(shù)：差分方程：對上式進(jìn)行z反變換，得到：H(z)X(z)Y(z)第5頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）濾波器的功能與實現(xiàn)濾波就是對輸入序列x(n)進(jìn)行一定的運算操作,從而得到輸出序列.

實現(xiàn)濾波從運算上看,只需三種運算：加法、單位延遲、乘常數(shù)。數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)表示法1.方框圖法：方框圖法簡明且直觀，其三種基本運算，如下圖所示：單位延遲乘系數(shù)相加第6頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

第7頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）2.信號流圖法三種基本的運算：單位延時：乘系數(shù)：求和：第8頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

第9頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）一、無限長沖擊響應(yīng)數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)IIR濾波器特點：單位沖激響應(yīng)h（n）是無限長的。系統(tǒng)函數(shù)H（z）在有限Z平面（）上有極點存在。結(jié)構(gòu)上是遞歸型的，即存在著輸出到輸入的反饋。基本結(jié)構(gòu)1.直接I型（1）系統(tǒng)函數(shù)（2）差分方程第10頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

（3）結(jié)構(gòu)流程圖按差分方程可以寫出第11頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）（4）特點第一個網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點，即實現(xiàn)x(n)加權(quán)延時:第二個網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點，即實現(xiàn)y(n)加權(quán)延時:可見，第二網(wǎng)絡(luò)是輸出延時，即反饋網(wǎng)絡(luò)。*共需（M+N）個存儲延時單元。第12頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）2.直接型Ⅱ第13頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

對以上兩式進(jìn)行z變換，則：令：則:第14頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）3.級聯(lián)型先將系統(tǒng)函數(shù)按零、極點進(jìn)行因式分解其中，pk為實零點，ck為實極點；qk，qk*表示復(fù)共軛零點，dk，dk*表示復(fù)共軛極點，M=M1+2M2，N=N1+2N2第15頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）再將共軛因子展開，構(gòu)成實系數(shù)二階因子，則得為了方便，分子取正號，分母取負(fù)號；這樣，流圖上的系數(shù)均為正。最后，將兩個一階因子組合成二階因子（或?qū)⒁浑A因子看成是二階因子的退化形式），則有第16頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

當(dāng)（M=N=6）時Z-1Z-1第17頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）特點：僅影響第k對零點，同樣僅影響第k對極點，便于調(diào)節(jié)濾波器的頻率特性。所用的存儲器的個數(shù)最少。注意：*如果有奇數(shù)個實零點，則有一個同樣，如果有奇數(shù)個實極點，則有一個*通常M=N時，共有[（N+1）/2]節(jié)，符號[(N+1)/2]

表示?。∟+1)/2的整數(shù)。第18頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）4.并聯(lián)型將H（Z）展成部分分式形式:其中，均為實數(shù)，與復(fù)共軛當(dāng)M〈N時，不包含項；M=N時，該項為G。第19頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

當(dāng)M=N時，將兩個一階實極點合為一項，將共軛極點化成實系數(shù)二階多項式，H（Z）可表為當(dāng)N為奇數(shù)時，包含一個一階節(jié)，即第20頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

例：M=N=3時，為奇數(shù)，故所以：其結(jié)構(gòu)圖如下：第21頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

5.轉(zhuǎn)置定理如果將原網(wǎng)絡(luò)中所有支路方向加以倒轉(zhuǎn)，且將輸入和輸出交換其系統(tǒng)函數(shù)仍不改變。（原網(wǎng)絡(luò)）第22頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

（轉(zhuǎn)置后的網(wǎng)絡(luò)）第23頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）二、有限長沖擊響應(yīng)數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)h(n)為一個N點序列，Z=0處為（N-1）階極點，特點：1）h（n）在有限個n值處不為零。2）H（z）在3）非遞歸結(jié)構(gòu)，處收斂，極點全部在Z=0處。第24頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）基本結(jié)構(gòu)1.橫截型（卷積型、直接型）它就是線性移不變系統(tǒng)的卷積和公式h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)第25頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

用轉(zhuǎn)置定理可得另一種結(jié)構(gòu)h(N-1)h(N-2)h(N-3)h(2)h(1)h(0)2.級聯(lián)型將H（Z）分解為實系數(shù)二階因子的乘積形式第26頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

注：[N/2]表示取N/2的整數(shù)部分，如*N為偶數(shù)時，N-1為奇數(shù)，這時因為有奇數(shù)個根，所以*當(dāng)N為奇數(shù)時的結(jié)構(gòu)如下：中有一個為零。第27頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

特點：每節(jié)結(jié)構(gòu)可控制一對零點。所需系數(shù)第28頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）3.線性相位的FIR系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)線性相位特性：濾波器對不同頻率的正弦波所產(chǎn)生的相移和正弦波的頻率成直線關(guān)系。線性相位單位取樣響應(yīng)具有如下特性（后面將會看到）N為偶數(shù)時第29頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

N為奇數(shù)時：線性相位FIR系統(tǒng)的非遞歸型實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖所示第30頁/共233頁

§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）偶數(shù)階奇數(shù)階第31頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）注：當(dāng)且N為奇數(shù)時第32頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）4.頻率取樣型直接型由頻域取樣定理得FIR系統(tǒng)IIR系統(tǒng)第33頁/共233頁FIRDF頻率取樣結(jié)構(gòu)圖§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）第34頁/共233頁

§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）第35頁/共233頁頻率取樣結(jié)構(gòu)特點的零點：構(gòu)成一個梳狀濾波器。的極點：該系統(tǒng)在極點處的頻率響應(yīng)為，可看作是一個諧振頻率為的無耗諧振器。在處，零極點互消，響應(yīng)只為，故可直接控制濾波器的響應(yīng)。§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）第36頁/共233頁改進(jìn)的頻率取樣結(jié)構(gòu)1）極點位于單位圓上，系統(tǒng)穩(wěn)定的允余度為02）均為復(fù)數(shù)，需大量的復(fù)數(shù)運算，故實際運算復(fù)雜改進(jìn)方法：1）在半徑且接近于1的圓上取樣，則：§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）第37頁/共233頁2)將每對共軛對稱的復(fù)根合并為一個二階網(wǎng)絡(luò)，使系數(shù)均為實數(shù)利用§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）第38頁/共233頁結(jié)構(gòu)圖如下：§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）特點：優(yōu)點：1）每個二階節(jié)都與頻率取樣值相乘，若，可省掉一部分二階節(jié)，簡化結(jié)構(gòu)。

2）每一部分結(jié)構(gòu)都很規(guī)范，設(shè)計方便第39頁/共233頁改進(jìn)后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）第40頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）5.快速卷積如果，的長為N1，h（n）的長為N2。將補L-N1個零值點，h（n）補L-N2零值點，只要L

N1+N2-1,就有由卷積定理得Y（k）=X（k）H（k）所以有這樣，就可以得到FIRDF的快速卷積結(jié)構(gòu)第41頁/共233頁§5.2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)（續(xù)）

h(n)L點DFTL點DFTX(k)H(k)Y(k)L點IDFT這里的DFT和IDFT均可以利用FFT算法。快速卷積型結(jié)構(gòu)的特點時可進(jìn)行高速處理，適合寬帶雷達(dá)信號的實時數(shù)字濾波第42頁/共233頁§5.3無線長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計

一、IIR數(shù)字filter的設(shè)計方法

1、借助模擬filter的設(shè)計方法（1）將DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成AF的技術(shù)指標(biāo)；（2）按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo),設(shè)計模擬低通filter的；（3）將（4）如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通AF的技術(shù)指標(biāo)

2、計算機輔助設(shè)計法（最優(yōu)化設(shè)計法）先確定一個最佳準(zhǔn)則，如均方差最小準(zhǔn)則，最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后在此準(zhǔn)則下，確定系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。但這種方法需要大量的迭代運算。第43頁/共233頁§5.3無線長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計二、

將DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為ALF的技術(shù)指標(biāo)1.意義AF的設(shè)計有一套相當(dāng)成熟的方法：設(shè)計公式；設(shè)計圖表；有典型的濾波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。2.轉(zhuǎn)換舉例例如，一低通DF的指標(biāo)：在的通帶范圍，幅度特性下降小于1dB；在的阻帶范圍，衰減大于15dB；抽樣頻率；試將這一指標(biāo)轉(zhuǎn)換成ALF的技術(shù)指標(biāo)。解：按照衰減的定義和給定指標(biāo)，則有

假定處幅度頻響的歸一化值為1，即第44頁/共233頁§5.3無線長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）

這樣，上面兩式變?yōu)橛捎?，所以?dāng)沒有混疊時，根據(jù)關(guān)系式模擬filter的指標(biāo)為第45頁/共233頁三、ALF的設(shè)計ALF的設(shè)計就是求出filter的系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)

，使其逼近理想LF的特性，逼近的形式（filter的類型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近依據(jù)是幅度平方函數(shù)，即由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)。由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)1）幅度平方函數(shù)§5.3無線長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）由于所以

其中，是AF的系統(tǒng)函數(shù)，是AF的頻響，是AF的幅頻特性。第46頁/共233頁§5.3無線長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）

2)Ha（S）Ha（-S）的零極點分布特點（1）如果S1是Ha（S）的極點，那麼-S1就是Ha（-S）的極點；同樣，如果S0是Ha（S）的零點，那麼-S0就是Ha（-S）的零點。所以Ha（S）Ha（-S）的零極點是呈象限對稱的,例如：（2）虛軸上的零點一定是二階的，這是因為ha（t）是實數(shù)時的Ha（S）的零極點以共軛對存在；（3）虛軸上沒有極點（穩(wěn)定系統(tǒng)）；（4）由于filter是穩(wěn)定的，所以Ha（S）的極點一定在左半平面；最小相位延時，應(yīng)取左半平面的零點，如無此要求，可取任一半對稱零點為Ha（S）的零點。第47頁/共233頁§5.3無線長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）

第48頁/共233頁§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）

3)由確定的方法（1）求（2）分解得到各零極點，將左半面的極點歸于，對稱的零點任一半歸。若要求最小相位延時，左半面的零點歸（全部零極點位于單位圓內(nèi)）。（3）按頻率特性確定增益常數(shù)。第49頁/共233頁

§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）例6-1由確定系統(tǒng)函數(shù)。解：所以，極點為零點為均為二階的。我們選極點-6，-7，一對虛軸零點為的零極點，這樣由，可確定出，所以。因此第50頁/共233頁§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）

2.巴特沃斯低通濾波器

1)幅度平方函數(shù)其中，N為整數(shù)，是filter的階數(shù)；為截止頻率。當(dāng)時，則即第51頁/共233頁§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）

2)幅頻特性1.00N=2N=4N=8（1）通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性；（2）不管N為多少，都通過點。第52頁/共233頁§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）

3)巴特沃斯filter的系統(tǒng)函數(shù)由于所以其零點全部在處;即所謂全極點型，它的極點為也就是說，這些極點也是呈象限對稱的。而且分布在巴特沃斯圓上（半徑為），共有2N點。第53頁/共233頁§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）

取左半平面的極點為的極點，這樣極點僅有N個，即其中，常數(shù)由的低頻特性決定。低階巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)已作出表格，見p179-表5－1第54頁/共233頁§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))3.切比雪夫濾波器巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線：通帶和阻帶中都是頻率的單調(diào)函數(shù)。希望將精度均勻的分布在整個通帶或阻帶內(nèi)切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器：振幅是具有等波紋特性的逼近函數(shù)。分類切比雪夫Ⅰ型濾波器：幅頻特性在通帶內(nèi)是等波紋的，阻帶內(nèi)是單調(diào)的切比雪夫Ⅱ型濾波器：幅頻特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的，阻帶內(nèi)是等波紋的第55頁/共233頁

§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))切比雪夫Ⅰ型濾波器振幅特性（a）N=3(b)N=4切比雪夫Ⅱ型濾波器振幅特性（a）N為奇數(shù)(b)N為偶數(shù)第56頁/共233頁切比雪夫?型（a）幅度平方響應(yīng)§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))：小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)振幅波動的幅度：截止頻率（帶寬）（非3dB帶寬！通常）：N階切比雪夫多項式，表達(dá)式如下N為濾波器階數(shù)，極點分布軌跡為橢圓第57頁/共233頁

§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第58頁/共233頁（b）濾波器參數(shù)的確定的確定定義通帶波紋：§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第59頁/共233頁N的確定將代入切比雪夫?

型幅度平方響應(yīng)表達(dá)式，得：§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第60頁/共233頁

§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))的確定：（c）切比雪夫濾波器得極點共有2N個極點，分布在以為長軸，為短軸得橢圓上，N為奇數(shù)時，有極點落在實軸上，N為偶數(shù)時，無極點落在實軸上，這里，第61頁/共233頁切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第62頁/共233頁4.橢圓濾波器通帶和阻帶內(nèi)都具有“等波紋”振幅特性的濾波器。由于其振幅特性是由雅可比橢圓函數(shù)決定的，故稱“橢圓濾波器”。5.各種模擬濾波器的比較1）過渡帶陡峭要求：橢圓濾波器切比雪夫濾波器巴特沃斯濾波器§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))最陡平緩2）設(shè)計的復(fù)雜性和對靈敏度的要求：橢圓濾波器切比雪夫濾波器巴特沃斯濾波器高低第63頁/共233頁四、由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器的方法§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))AF設(shè)計完畢以后，還應(yīng)將變換成H(z)，也就是將s平面映射到z平面，通常有三種方法：（1）脈沖響應(yīng)不變法；（2）階躍響應(yīng)不變法；（3）雙線性變換法。需要考慮的兩個基本問題（1）H(z)的頻響要模仿的頻響，即s平面的虛軸應(yīng)映射到z平面的單位圓上。（2）的因果穩(wěn)定性經(jīng)過映射后在數(shù)字濾波器中應(yīng)得到保持，即s平面的左半平面映射到z平面單位圓以內(nèi)。)S(Ha)S(Ha第64頁/共233頁1.脈沖響應(yīng)不變法§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))(1)變換原理為DF的單位取樣響應(yīng)序列，為AF的單位脈沖響應(yīng)。脈沖響應(yīng)不變法就是使正好等于的抽樣值，即如果則有上式表明，先對沿虛軸作周期延拓，再經(jīng)過的映射關(guān)系映射到z平面(s平面與z平面的映射關(guān)系)

)],n(h[Z)z(H)],t(h[L)s(Haa==第65頁/共233頁(2)混迭失真

DF的頻響并不是簡單的重復(fù)AF的頻響，而是AF的頻響的周期延拓，即§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))根據(jù)取樣定理，只有當(dāng)AF的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)時，即才能使DF在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)AF的頻響，而不產(chǎn)生混疊失真。但是，任何一個實際AF的頻響卻不是嚴(yán)格帶限的，就會產(chǎn)生混迭失真，如下圖所示第66頁/共233頁

§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))00注：當(dāng)濾波器的指標(biāo)用數(shù)字域頻率給定時，不能用減小T的辦法解決混疊問題。因為：T減小，帶域加寬但不變，即同倍增大第67頁/共233頁

§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))（3）模擬濾波器的數(shù)字化一般方法：先，再對抽樣，使方法的簡化設(shè)只有單階極點，而且分母的階次大于分子的階次，則可展成如下的部分公式：最后，一般說來過程復(fù)雜。第68頁/共233頁

§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))因此，（1）第69頁/共233頁

§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))幾點結(jié)論脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計步驟可直接將寫成許多單極點的部分分式和的形式，然后將各個部分分式用（1）式代替即可。s平面的單極點變?yōu)閦平面單極點就可求得。與的系數(shù)相同，均為。AF是穩(wěn)定的，DF也是穩(wěn)定的。s平面的極點與z平面的極點一一對應(yīng)，但兩平面并不一一對應(yīng)。例如，零點就沒有這種對應(yīng)關(guān)系。第70頁/共233頁

修正的H(z)由于DF的頻響與T成反比，當(dāng)T很小時，DF的增益過高，為此做如下修正：§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))DF頻率響應(yīng)第71頁/共233頁

[例]AF的系統(tǒng)函數(shù)為，試用脈沖響應(yīng)不變法，設(shè)計IIRDF，T=1解：設(shè)T=1§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))第72頁/共233頁（4）逼近情況穩(wěn)定性AF：極點在s平面的左半平面，DF:極點在z平面的單位圓內(nèi)§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))故：由穩(wěn)定的AF設(shè)計出的DF也是穩(wěn)定的。

頻率特性轉(zhuǎn)換關(guān)系對于穩(wěn)定系統(tǒng)，根據(jù)第73頁/共233頁通常：在T很小時，增益很高，可作以下處理：令：§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))則：此時：第74頁/共233頁（5）優(yōu)缺點優(yōu)點：頻率坐標(biāo)的變換是線性的，因此，如果模擬濾波器的頻響是限帶于折疊頻率以內(nèi)的話，則通過變換后所得到的數(shù)字濾波器的頻響可以不失真的反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。缺點：頻譜的周期延拓效應(yīng)，因此，只能用于限帶的頻響特性。§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))第75頁/共233頁（6）應(yīng)用場合：適用于涉及某些要求在時域上能模仿模擬濾波器功能的DF，這樣，可把模擬濾波器時域特性的許多優(yōu)點在相應(yīng)的數(shù)字濾波器中保留下來。2階躍響應(yīng)不變變換法(略)§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(續(xù))

數(shù)字濾波器的單位階躍響應(yīng)等于模擬濾波器的單位階躍響應(yīng)的等間隔取樣值。第76頁/共233頁3.轉(zhuǎn)換舉例用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字巴特沃斯濾波器，要求其性能指標(biāo)為：在的通帶范圍，幅度特性下降小于1dB；在的阻帶范圍，衰減大于15dB；解：A.設(shè)計指標(biāo)的轉(zhuǎn)換按照衰減的定義和給定指標(biāo)，則有

假定處幅度頻響的歸一化值為1，即§5.3無線長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）第77頁/共233頁§5.3無線長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）

這樣，上面兩式變?yōu)橛捎?，所以?dāng)沒有混疊時，根據(jù)關(guān)系式為簡便計，假設(shè)參數(shù)T為1，則模擬filter的指標(biāo)為第78頁/共233頁§5.3無線長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）B.計算濾波器所需的階數(shù)N和截止頻率巴特沃斯濾波器的形式為用dB表示則得：第79頁/共233頁§5.3無線長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）解方程得為滿足或超過給定指標(biāo)取第80頁/共233頁§5.3無線長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）C.由求得的確定s平面上濾波器的極點分布?？傻米蟀肫矫娴娜龑O點，其坐標(biāo)分別為：D.模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)第81頁/共233頁§5.3無線長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù)）E.應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法，求得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)第82頁/共233頁4.雙線性變換法§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))通常，信號大都為時限的，據(jù)信號理論可知，時限信號變換到頻域，將變成非帶限信號，系統(tǒng)也遵循這一原則。這樣當(dāng)用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計DF時，不可避免的產(chǎn)生混疊失真。為了克服混疊失真，可采用雙變換法。這種方法的基本思想是，先將S平面中所設(shè)計的非帶限的系統(tǒng)函數(shù)變換到平面，并使其為帶限的，然后再轉(zhuǎn)換到Z平面。

1）變換原理在S平面與Z平面的映射關(guān)系中,我們知道，S平面中一條寬為（如到）的橫帶就可以變換到整個Z平面.因此，可先將整個S平面壓縮到一個中介的平面的一條橫帶里，再通過將此橫帶變換到整個Z平面上。這樣就使S平面和Z平面是一一映射關(guān)系。如下圖所示：第83頁/共233頁

§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第84頁/共233頁

時，將由經(jīng)過0變到

由上圖可知，將S平面進(jìn)行壓縮，實際上，就是將其軸壓縮到平面的軸上的到的范圍內(nèi)。這可通過正切變換實現(xiàn)：

其中C為任意常數(shù)。由上式可知，當(dāng)由經(jīng)過0變到通過歐拉公式，可得：§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第85頁/共233頁

§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))

上式表示兩個線性函數(shù)之比，稱作線性分式變換，若用S表示Z，可得：將上式關(guān)系延拓到整個S和平面，則有：借助于平面和Z平面的映射關(guān)系：，可以得到：第86頁/共233頁

可見，也是線性分式變換（函數(shù)），這樣()間的變換是雙向的，故稱作雙線性變換2）S平面與Z平面的映射關(guān)系由于可得：§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))

當(dāng)時，；這就是說，S平面的軸映射Z平面的單位圓上。

當(dāng)時，上式的分母大于分子，則有；這表明S左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)。兩者均是穩(wěn)定的。第87頁/共233頁3)變換常數(shù)C的選擇§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))

由于，所以只有當(dāng)很小（一般），和之間才存在線性關(guān)系，即：如果使AF和DF在低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系，則選擇這時有，即第88頁/共233頁

4）雙線性變換的特點b.S平面的虛軸（）映射到Z平面的單位圓上。這是因為時，不管常數(shù)C為何值，均為1c.穩(wěn)定的AF，經(jīng)雙線性變換后所得DF也一定是穩(wěn)定的，這是因為穩(wěn)定的AF，其極點必全部位于S的左半平面上，經(jīng)雙線性變換后，這些極點全部落在單位圓內(nèi)。d.其突出的優(yōu)點是避免了頻響的混疊失真。說明如下：將代入雙線性變換公式，且則a.模擬濾波器中的最大和最小值將保留在數(shù)字濾波器中，因此模擬濾波器的通帶或阻帶變換成數(shù)字濾波器的通帶和阻帶?！?.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第89頁/共233頁

§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))即亦即

從時，則從；這就是說，S平面的正虛軸被映射到Z平面的單位圓的上半部

從時，則從；這就是說，S平面的負(fù)虛軸被映射到Z平面的單位圓的下半部也就是說，從S平面到Z平面，頻率軸是單位變換關(guān)系，而且當(dāng)為折疊頻率，所以不會有高于折疊頻率的分量，因此不會產(chǎn)生混疊失真。第90頁/共233頁

變。只有能容忍或補償這種失真時，雙線性變換法才是實用的。e.頻率的非線性失真從的關(guān)系曲線可以看出，在零頻附近，與之間的變換關(guān)系近似于線性，隨著的增加，表現(xiàn)出嚴(yán)重非線性。因此，DF的幅頻響應(yīng)相對于AF的幅頻響應(yīng)會產(chǎn)生畸§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第91頁/共233頁5)模擬濾波器的數(shù)字化§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))直接代入法

只需將代入AF系統(tǒng)函數(shù)就可得到DF的系統(tǒng)函數(shù)，即頻率響應(yīng)也可用直接置換得到：第92頁/共233頁

未變換前，可將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)或級聯(lián)子系統(tǒng)函數(shù)，然后在對每個子系統(tǒng)函數(shù)分解進(jìn)行雙線性變換，如：并聯(lián)形式與上述類似.§5.3無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第93頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換由低通濾波器設(shè)計其他類型的數(shù)字濾波器如BF、HF、BS等。設(shè)計方法：將歸一化原型模擬低通所需要的AFDF由模擬低通原型所需要的DF（不能用沖激響應(yīng)不變法）由模擬低通原型數(shù)字LF所需要的DF沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法頻率轉(zhuǎn)換沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法頻率轉(zhuǎn)換第94頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）一、由模擬低通原型所需的AF所需的DF

（1）數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計模擬低通（LF）模擬帶通（ABF）數(shù)字帶通（DBF）

ALFABF的轉(zhuǎn)換設(shè)ALF: ABF: 沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法第95頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）二者變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

二者頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

:帶通濾波器的幾何中心頻率映射關(guān)系：第96頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）將上述映射關(guān)系代入

得：BF帶寬

帶通模擬濾波器得幾何中心角頻率。B定義為帶通濾波器的帶寬，與相應(yīng)的低通濾波器的帶寬相等，而在頻率處的幅度響應(yīng)相當(dāng)于處的低通響應(yīng)。第97頁/共233頁

IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）小結(jié)：由ALF設(shè)計ABF的步驟：

1、根據(jù)實際要求定出，其中截止頻率

2、變量替換得到ABF：

ABFDBF的轉(zhuǎn)換利用雙線性變換法將代入得：第98頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）直接由ALF設(shè)計DBF：

利用雙線性變換法中，模擬角頻率與數(shù)字角頻率的關(guān)系：代入（c），（d）（e）第99頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

分別將（e）、（f）、（g）代入p，整理后得數(shù)字帶通與模擬低通變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

注意：DBF的極點是ALF的兩倍！這里，第100頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）數(shù)字帶通與模擬低通頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：令：代入p得：

數(shù)字帶通與模擬低通系統(tǒng)函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

第101頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）例：要求設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器，取樣頻率為2kHz，技術(shù)指標(biāo)為：帶通范圍300Hz~400Hz，在此兩點處的衰減小于3dB，在200Hz和500Hz頻率處的衰減大于18dB，采用巴特沃斯濾波器。第102頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

根據(jù)（a）計算D、E

第103頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

（b）確定模擬低通設(shè)：模擬低通濾波器的阻帶起始頻率為

選擇使其截止特性更好。數(shù)字頻率400Hz處保證衰減小于3dB的模擬角頻率為

第104頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

模擬低通濾波器巴特沃斯幅度響應(yīng)如下：

解得故選擇二階巴特沃斯濾波器系統(tǒng)函數(shù)

第105頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

（c）由模擬低通確定數(shù)字濾波器根據(jù)

得：

第106頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）（2）數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計模擬低通（LF）模擬帶阻（ABRF）數(shù)字帶阻（DBRF）

ALFABRF的轉(zhuǎn)換二者變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

令：二者頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

：帶阻濾波器的幾何中心頻率第107頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）映射關(guān)系：第108頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

將上述影射關(guān)系代入式

得

兩式相加減得：阻帶寬度！第109頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

小結(jié)：由ALF設(shè)計ABRF的步驟：

1、根據(jù)實際要求定出。其中截止頻率2、變量替換得到模擬帶通濾波器ABRF

ABFDBRF的轉(zhuǎn)換利用雙線性變換法得，代入得：第110頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）直接由ALF設(shè)計DBRF

變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

將代入，并利用中心頻率與邊界頻率之間的關(guān)系得：第111頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

其中：ALFDBRF系統(tǒng)函數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

可見：DBRF的極點是ALF的兩倍！ALFDBRF頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：第112頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）（3）數(shù)字高通濾波器的設(shè)計模擬低通（LF）模擬高通（AHF）數(shù)字高通（DHF）

ALFAHF的轉(zhuǎn)換二者變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：令：代入上式得二者頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

：高通濾波器的通帶起始頻率第113頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）注意：若令反向映射！第114頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

小結(jié)：由ALF設(shè)計AHF的步驟：

1、根據(jù)實際要求定出，其中截止頻率

2、變量替換得到模擬高通濾波器AHF

AHFDHF的轉(zhuǎn)換利用雙線性變換法將代入得：第115頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

直接由ALF設(shè)計DHF變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

其中：

ALFDHF系統(tǒng)函數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：可見：DHF的極點與ALF個數(shù)相同！第116頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）令：ALFDHF頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：例題：設(shè)計一個二階巴特沃斯數(shù)字高通濾波器，取樣頻率，3dB截止頻率為解：選擇二階巴特沃斯模擬原型（此時可設(shè)）第117頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）則：

注：本題在選用模擬巴特沃斯濾波器系統(tǒng)函數(shù)時，也可不用原型，計算是可帶著一起做，在變量替換過程中可消掉。第118頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）AFDF的頻率變換公式

濾波器類型

頻率變換式

有關(guān)的設(shè)計公式

高通

帶通

帶阻第119頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）二、直接由數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換成其它類型的數(shù)字濾波器已知數(shù)字濾波器，復(fù)變量：z

要求設(shè)計一個數(shù)字濾波器，復(fù)變量：Z

方法：直接在數(shù)字域內(nèi)完成設(shè)計設(shè)：從z平面到Z平面的映射關(guān)系：則：第120頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）在滿足下述條件時，可以保證由一個因果、穩(wěn)定和有理的系統(tǒng)經(jīng)映射后仍然是因果、穩(wěn)定和有理的。即：是的有理函數(shù)

z平面單位圓內(nèi)映射到Z平面的單位圓內(nèi)設(shè)：分別代表z和Z平面的數(shù)字角頻率即代入得：由上述條件得第121頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）滿足上述關(guān)系的一般表達(dá)式當(dāng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定。選擇適當(dāng)?shù)?，可以得到一系列的變換。例：取，可以得到低通到低通的變換 變量映射關(guān)系 頻率映射關(guān)系 第122頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）由頻率映射關(guān)系，得不同的，得到不同的關(guān)系曲線可由以下計算得到：

分別表示兩個濾波器的截止頻率。第123頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

可見，由數(shù)字低通到數(shù)字低通的設(shè)計公式為

其它類型的數(shù)字濾波器的設(shè)計公式見p210表5-4

完！第124頁/共233頁直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器（續(xù)）

直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器IIR數(shù)字濾波器的頻域直接設(shè)計

1、點阻濾波設(shè)計采用零極點累試法。用于簡單的、要求不高的一二階數(shù)字濾波器設(shè)計。例：要求設(shè)計一點阻濾波器，指標(biāo)如下：第125頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）設(shè)計思想：1、

的分子部分應(yīng)有兩個因式，分別為2、要保證在其他頻率點處的幅頻特性為1，應(yīng)有兩個極點在零點附近，可與零點抵消。故：第126頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）一個由三對共軛極點和三對共軛零點組成的點阻濾波系統(tǒng)，零、極點分布如下：第127頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

局部分布圖所配置的極點坐標(biāo)

第128頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：

其中：第129頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

對應(yīng)的差分方程注：選取對頻率響應(yīng)影響不是很大，通常取對頻率響應(yīng)影響很大，越小，越接近理想。太小，有舍入誤差影響。此方法用于設(shè)計簡單的數(shù)字低通。將零極點位置互換，可設(shè)計數(shù)字高通。第130頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）2、幅度平方函數(shù)設(shè)計設(shè)：數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)則：第131頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）注：

而

第132頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

將寫為如下形式為有理三角式

當(dāng)時，對應(yīng)的是巴特沃斯濾波器

當(dāng)時，對應(yīng)的是切比雪夫濾波器

該方法的主要缺點：需要找需要因式分解得到零、極點，才能進(jìn)行解析延拓第133頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）IIR數(shù)字濾波器的時域直接設(shè)計

1、帕德逼近法設(shè)：為要求設(shè)計的濾波器實際設(shè)計出的濾波器為

設(shè)計思想：所設(shè)計出的IIRDF的沖激響應(yīng)在內(nèi)逼近所希望的響應(yīng)即：能夠找到一組，使得最小。第134頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

其中，為加權(quán)函數(shù)選擇得到個線性方程，求出最小時的

求解的方法：設(shè)：

由得：

將代入得第135頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

利用上式左右同冪次系數(shù)相等的原則，得到個方程例如：設(shè)：

則：

第136頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

一般形式為

b寫成矩陣形式

第137頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）我們希望能充分逼近，因此令

1）代入（b)式。求解出

2）將和代入（a）式，解出

3）將解出的代入表達(dá)式中，即為所求。上述過程可以通過矩陣求解。

由此可求解出

第138頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）小結(jié)；

1）帕德逼近法是用一個有理函數(shù)逼近一個冪級數(shù)中的前項逼近，對以后的各項不予考慮。

2）帕德逼近法是在時域內(nèi)進(jìn)行逼近設(shè)計，當(dāng)希望阻帶衰減特性為40db以上時，此方法不易達(dá)到要求。

第139頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）2.波形形成濾波器作用：用來產(chǎn)生與輸入波形相對應(yīng)的輸出波形。例：一波形形成濾波器時域技術(shù)條件為所需的輸出波形輸入波形取樣解：根據(jù)輸入輸出要求得：第140頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

則系統(tǒng)的差分方程

可見：輸入，輸出時，差分輸出共有?，F(xiàn)要求設(shè)計輸出少于項，但又能足夠逼近所需輸出波形的波形形成濾波器。前提：在舍去某些項后，系統(tǒng)穩(wěn)定性不變。第141頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）設(shè)計步驟：

（1）求DF的

設(shè)：輸入波形的取樣序列項實際輸出波形的取樣序列項希望的輸出序列即：其中：的長度：應(yīng)滿足使輸出最佳逼近，使最小。第142頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）令：

則：解出（2）根據(jù)利用帕德逼近法，確定相應(yīng)的濾波器系數(shù)例：要求確定四項濾波器系統(tǒng)函數(shù)第143頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）第144頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）由帕德逼近法求解系數(shù)第145頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）極點：穩(wěn)定實際輸出與希望輸出足夠逼近。第146頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的計算機輔助設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的計算機輔助設(shè)計（優(yōu)化技術(shù)設(shè)計）

當(dāng)所設(shè)計的DF為任意頻率響應(yīng)時，不存在具體解析算法。通常在某種最小化誤差準(zhǔn)則下，用計算機解線性或非線性方程組來確定濾波器系數(shù)。（1）最小均方誤差法（頻域內(nèi)設(shè)計）原理：設(shè)所要求的濾波器頻率響應(yīng)為在處的值已知，實際設(shè)計出的頻率響應(yīng)為，則二者在的均方誤差：第147頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

設(shè)計準(zhǔn)則：使E最小。令

共有K個二階節(jié)，每個二階節(jié)有四個未知數(shù)。中共有（4K+1）個未知數(shù)。令則：

第148頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

令

解出（4K+1）個未知數(shù)，代入即為所求。注：這種最小化算法對零、極點位置沒有限制，對設(shè)計出的濾波器中每一個二階因子進(jìn)行檢查，若有極點在單位圓外，可用其倒數(shù)代替，一方面保持濾波器的幅度形狀不變，同時可繼續(xù)進(jìn)行優(yōu)化處理，使E進(jìn)一步最小化。第149頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）（2）最小P誤差法—推廣的最小均方誤差法（頻域內(nèi)設(shè)計）要求設(shè)計一個IIRDF，逼近所要求的幅頻響應(yīng)，則P誤差準(zhǔn)則公式如下：：表示幅度加權(quán)函數(shù)時，為最小均方誤差函數(shù)與前面方法相同，解出使誤差最小的（4K+1）個未知數(shù)即可?？梢宰C明：當(dāng)且時，存在最小值，且所設(shè)計的濾波器穩(wěn)定。第150頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）（3）最小平方逆設(shè)計（時域內(nèi)設(shè)計）原理：對所求濾波器的逆濾波器進(jìn)行最小平方逼近

逆系統(tǒng)定義：若

反之

稱為的逆系統(tǒng)。第151頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

現(xiàn)要求設(shè)計一個濾波器，并且已知的L個值。假設(shè)實際設(shè)計出的濾波器為：

設(shè)計準(zhǔn)則是使最佳逼近，方法：將則第152頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

要使即：當(dāng)時，當(dāng)時，希望

即希望最小。將代入上式得：第153頁/共233頁IIR數(shù)字濾波器的頻率轉(zhuǎn)換（續(xù)）

此時：

求解使E最小的值即為所求。令：得到N個方程組，求出相應(yīng)的。

第154頁/共233頁一、概述1.§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計IIRDF的特點

1）DF的設(shè)計依托AF的設(shè)計，有圖表可查，方便簡單。

2）相位的非線性

H（Z）的頻響：其中，是幅度函數(shù)，是相位函數(shù)。

通常，與不是呈線性的，這是IIRfilter

（無限長響應(yīng)濾波器）的一大缺點。因此限制了它的應(yīng)用，如圖象處理，數(shù)據(jù)傳輸都要求信道具有線性相位特性。

3）用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，可以得線性特性。第155頁/共233頁

2、FIRDF的特點

1)單位抽樣響應(yīng)h（n）是有限長的，因此FIRDF一定

是穩(wěn)定的。

2)經(jīng)延時，h（n）總可變成因果序列，所以FIRDF總

可以由因果系統(tǒng)實現(xiàn)。

3)h（n）為有限長，可以用FFT實現(xiàn)FIRDF。

4)FIR的系統(tǒng)函數(shù)是Z-1的多項式，故IIR的方法不適用。

5)FIR的相位特性可以是線性的，因此，它有更廣泛的

應(yīng)用，非線性的FIR一般不作研究?！?.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第156頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))二、線性相位FIRDF的特點1、線性相位的條件如果FIRDF的單位抽樣響應(yīng)h（n）為實數(shù)，而且滿足偶對稱h（n）=h（N-1-n），或滿足奇對稱h（n）=-h（N-1-n），其對稱中心在處，可證明filter就具有準(zhǔn)確的線性相位。

N又分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，所以有4種線性相位FIRDF，如下所述。第157頁/共233頁

1)N為奇數(shù)的偶對稱例如N=11，對稱中心為n012345678910§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第158頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))2)N為偶數(shù)時的偶對稱例如N=10，對稱中心為n0123456789第159頁/共233頁

3)N為奇數(shù)時的奇對稱例如，N=11，對稱中心為

012345678910§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第160頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))4)N為偶數(shù)時的奇對稱例如，N=10，對稱中心為4.5，

n0123456789第161頁/共233頁2.線性相位特點§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))

為幅度函數(shù)，，是一個純實數(shù)，是相位函數(shù)，下面分為奇、偶對稱兩種情況討論第162頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))1）h（n）為偶對稱情況也就是第163頁/共233頁

上式兩邊同時加H（Z），再用2去除得：§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第164頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第165頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))所以，這時的幅度函數(shù)和相位函數(shù)如下所示:幅度函數(shù)為相位函數(shù)為顯然與呈正比，是嚴(yán)格的線性相位。第166頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))0第167頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))2）h（n）為奇對稱的情況當(dāng)h（n）=-h（N-1-n）時，可以通過類似的推導(dǎo)，得到所以，其幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為第168頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))

可見，其相位特性是線性相位，而且還產(chǎn)生一個900相移，這樣就使得通過filter的所有頻率都相移900，因此稱它為正交變換網(wǎng)絡(luò)。（相移900的信號與原信號為正交的）。0第169頁/共233頁3幅度函數(shù)的特點§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))1）N為奇數(shù)，h（n）為偶對稱的情況第170頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第171頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第172頁/共233頁

可見，對呈現(xiàn)偶對稱。§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))第173頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))2）N為偶數(shù)，h（n）為偶對稱的情況

可見，對呈奇對稱。第174頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))3）N為奇數(shù)，h（n）為奇對稱的情況可見，時，對呈奇對稱。第175頁/共233頁

§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))4）N為偶數(shù)，h（n）為奇對稱的情況可見，時，對呈奇對稱，而對呈偶對稱。這四種線性相位FIRfilter的特性歸納在表中（P230）。

第176頁/共233頁4.系統(tǒng)函數(shù)的零點分布情況§5.4有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計（續(xù))1)零點的分布原則所以，如果是零點，則也一定是H（Z）的零點，h（n）為實數(shù)時，H（Z）的零點必成共軛對出現(xiàn)，即也一定是H（Z）的零點，