會計學1D定積分在物理學上的應用例1.一個單(a<b),求電場力所作的功.解:當單位正電荷距離原點r

時,由庫侖定律電場力為則功的元素為所求功為說明:機動目錄上頁下頁返回結束位正電荷沿直線從距離點電荷

a

處移動到b處在一個帶+q電荷所產(chǎn)生的電場作用下,第1頁/共23頁例2.體,求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個面積為S的活塞從點a

處移動到點b

處(如圖),作的功.建立坐標系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強

p

與體積V

成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為機動目錄上頁下頁返回結束力為在底面積為S

的圓柱形容器中盛有一定量的氣第2頁/共23頁例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐標系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(KJ

)設水的密度為機動目錄上頁下頁返回結束(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,第3頁/共23頁面積為A的平板二、液體側壓力設液體密度為深為h

處的壓強:當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,所受側壓力問題就需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結束平板一側所受的壓力為??第4頁/共23頁小窄條上各點的壓強例4.

的液體,

求桶的一個端面所受的側壓力.解:

建立坐標系如圖.所論半圓的利用對稱性,側壓力元素端面所受側壓力為機動目錄上頁下頁返回結束方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為第5頁/共23頁說明:當桶內(nèi)充滿液體時,小窄條上的壓強為側壓力元素故端面所受側壓力為奇函數(shù)(P350公式67)機動目錄上頁下頁返回結束第6頁/共23頁三、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點,相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點的連線若考慮物體對質(zhì)點的引力,則需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結束第7頁/共23頁例5.設有一長度為l,線密度為的均勻細直棒,其中垂線上距a

單位處有一質(zhì)量為

m

的質(zhì)點

M,試計算該棒對質(zhì)點的引力.解:

建立坐標系如圖.細棒上小段對質(zhì)點的引力大小為故垂直分力元素為機動目錄上頁下頁返回結束在第8頁/共23頁利用對稱性棒對質(zhì)點引力的水平分力機動目錄上頁下頁返回結束故棒對質(zhì)點的引力大小為棒對質(zhì)點的引力的垂直分力為第9頁/共23頁說明:2)

若考慮質(zhì)點克服引力沿y

軸從a

處1)

當細棒很長時,可視

l

為無窮大,此時引力大小為方向與細棒垂直且指向細棒.移到b

(a<b)處時克服引力作的功,機動目錄上頁下頁返回結束則有第10頁/共23頁引力大小為機動目錄上頁下頁返回結束注意正負號3)當質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時,第11頁/共23頁四、轉動慣量(補充)質(zhì)量為m

的質(zhì)點關于軸

l

的轉動慣量為的質(zhì)點系若考慮物體的轉動慣量,則需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結束關于軸

l

的轉動慣量為第12頁/共23頁例6.⑴

求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉動慣量;⑵

求圓盤對直徑所在軸的轉動慣量.解:

⑴建立坐標系如圖.設圓盤面密度為.小圓環(huán)質(zhì)量對應于的小圓環(huán)對軸l

的轉動慣量為故圓盤對軸l

的轉動慣量為機動目錄上頁下頁返回結束設有一個半徑為R,質(zhì)量為M

的均勻圓盤,第13頁/共23頁平行y軸的細條關于y

軸的轉動慣量元素為細條質(zhì)量:故圓盤對y

軸的轉動慣量為機動目錄上頁下頁返回結束⑵取旋轉軸為

y

軸,建立坐標系如圖.第14頁/共23頁內(nèi)容小結(1)先用微元分析法求出它的微分表達式dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片、殼等.(2)然后用定積分來表示整體量

Q,并計算之.1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量Q

的步驟:2.定積分的物理應用:變力作功,側壓力,引力,轉動慣量等.機動目錄上頁下頁返回結束條、段、環(huán)、帶、第15頁/共23頁(99考研)思考與練習提示:

作x軸如圖.1.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s

的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由機動目錄上頁下頁返回結束抓起污x

提升dx

所作的功為

米重50N,第16頁/共23頁提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m∕s,

污泥以20N∕s的速度從抓斗縫隙中漏掉克服纜繩重:抓斗升至x

處所需時間:機動目錄上頁下頁返回結束克服抓斗自重:第17頁/共23頁2.設星形線上每一點處線密度的大小等于該點到原點距離的立方,提示:

如圖.在點O處有一單位質(zhì)點,求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力.機動目錄上頁下頁返回結束第18頁/共23頁同理故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點的習題課目錄上頁下頁返回結束引力大小為第19頁/共23頁習題課目錄上頁下頁返回結束作業(yè)

P2912,3,5,9,12第20頁/共23頁交成的銳角取多大時,薄板所受的壓力P

最大.備用題斜邊為定長的直角三角形薄板,垂直放置于解:

選取坐標系如圖