四川省宜賓市太平中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)（滿分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83．則x+y的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：B【考點(diǎn)】莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】利用平均數(shù)求出x的值，中位數(shù)求出y的值，解答即可．【解答】解：由莖葉圖可知甲班學(xué)生的總分為70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，又甲班學(xué)生的平均分是85，總分又等于85×7=595．所以x=5乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是80+y=83，得y=3．∴x+y=8．故選B．2.在一個(gè)數(shù)列中,若每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的乘積都同為一個(gè)常數(shù)(有限數(shù)列最后一項(xiàng)除外),則稱該數(shù)列為等積數(shù)列,其中常數(shù)稱公積.若數(shù)列是等積數(shù)列,且,公積為6,則的值是（）A． B． C． D．參考答案：D3.在平面直角坐標(biāo)系中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，B，C分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，若，則直線CD的斜率為（

）A.

B.

C

D.參考答案：B略4.已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，fn（x）=fn﹣1′（x），則f2015（x）等于（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx參考答案：D【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】對(duì)函數(shù)連續(xù)求導(dǎo)研究其變化規(guī)律，可以看到函數(shù)解析式呈周期性出現(xiàn)，以此規(guī)律判斷求出f2015（x）【解答】解：由題意f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…由此可知，在逐次求導(dǎo)的過(guò)程中，所得的函數(shù)呈周期性變化，從0開始計(jì)，周期是4，∵2015=4×503+3，故f2015（x）=f3（x）=﹣cosx故選：D5.一個(gè)體積為8cm3的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則球的表面積是（）A．8πcm2 B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2參考答案：B【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積．【分析】先根據(jù)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，求出球的半徑，然后求出球的表面積．【解答】解：正方體體積為8，可知其邊長(zhǎng)為2，體對(duì)角線為=2，即為球的直徑，所以半徑為，表面積為4π2=12π．故選B．6.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)，射線交單位圓于點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是

(

）A．

B．C．

D．參考答案：A略7.

頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線方程是

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D8.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”（）時(shí)，從“”時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是 （

） A． B． C． D．參考答案：B略9.在△ABC中，已知b=，則a等于(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形．【分析】利用余弦定理即可求值得解．【解答】解：∵b=，∴由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，即：2=a2+1﹣2×，∴整理解得：a=或（舍去）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.已知tanα=，則=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．參考答案：A【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，即可得到cosα的值，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)代值，即可得答案．【解答】解：tanα=，則，又sin2α+cos2α=1，解得：cosα=﹣，則=cos2α﹣cosα=2cos2α﹣1﹣cosα=2×（）2﹣1=0．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若拋物線的頂點(diǎn)是拋物線上到點(diǎn)M（a,0）距離最近的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.參考答案：(-∞,4]略12.

參考答案：85，613.若，滿足約束條件

，為上述不等式組表示的平面區(qū)域，則：(1)目標(biāo)函數(shù)的最小值為__________；(2)當(dāng)從連續(xù)變化到_____時(shí)，動(dòng)直線掃過(guò)中的那部分區(qū)域的面積為．（改編）參考答案：-8,0.14.已知實(shí)數(shù)，且函數(shù)有最小值，則=__________。參考答案：15.甲、乙兩地都位于北緯45°，它們的經(jīng)度相差90°，設(shè)地球半徑為R，則甲、乙兩地的球面距離為________.參考答案：【分析】根據(jù)兩地的經(jīng)度差得兩地緯度小圓上的弦長(zhǎng)，再在這兩地與球心構(gòu)成的三角形中運(yùn)用余弦定理求出球心角，利用弧長(zhǎng)公式求解.【詳解】由已知得，所以，所以，所以在中，，所以，所以甲、乙兩地的球面距離為.故得解.

【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)的球面距離，關(guān)鍵在于運(yùn)用余弦定理求出球心角，屬于中檔題.16.已知圓x2+y2=9與圓x2+y2﹣4x+2y﹣3=0相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為．參考答案：【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】求出兩圓的公共弦，圓心到直線的距離，利用勾股定理，可得結(jié)論．【解答】解：由題意，兩圓的公共弦為2x﹣y﹣3=0，圓x2+y2=9的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為3，圓心到直線的距離d=，∴線段AB的長(zhǎng)為2=．故答案為．17.已知中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為．若的面積為S,且等于▲．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）已知m∈R，復(fù)數(shù)z=+（m2+2m﹣3）i，當(dāng)m為何值時(shí)，（1）z為實(shí)數(shù)？（2）z為虛數(shù)？（3）z為純虛數(shù)？參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】（1）利用“z為實(shí)數(shù)等價(jià)于z的虛部為0”計(jì)算即得結(jié)論；（2）利用“z為虛數(shù)等價(jià)于z的實(shí)部為0”計(jì)算即得結(jié)論；（3）利用“z為純虛數(shù)等價(jià)于z的實(shí)部為0且虛部不為0”計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：（1）z為實(shí)數(shù)?m2+2m﹣3=0且m﹣1≠0，解得：m=﹣3；（2）z為虛數(shù)?m（m+2）=0且m﹣1≠0，解得：m=0或m=﹣2；（3）z為純虛數(shù)?m（m+2）=0、m﹣1≠0且m2+2m﹣3≠0，解得：m=0或m=﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．19.如果方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于?1，另一個(gè)大于0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍(12分)。參考答案：解：設(shè)，則由題意得：

，即，解得。20.（10分）如圖3，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，直線AC與過(guò)B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，E為CH中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F，直線CF交直線AB于點(diǎn)G，（1）求證：點(diǎn)F是BD中點(diǎn)；（2）求證：CG是⊙O的切線；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．參考答案：解:(1)證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF,∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD

(2)方法一：連接CB、OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°∵F是BD中點(diǎn)，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切線。方法二：可證明△OCF≌△OBF(略)(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，可證得：FA＝FG，且AB＝BG由切割線定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2

……①在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2

……②由①、②得：FG2-4FG-12=0，解之得：FG1＝6，F(xiàn)G2＝－2（舍去）∴AB＝BG＝，∴⊙O半徑為。略21.．隨著機(jī)動(dòng)車數(shù)量的迅速增加，停車難已是很多小區(qū)共同面臨的問(wèn)題．某小區(qū)甲、乙兩車共用一停車位，并且都要在該泊位?？?小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)到達(dá)，試求兩車中有一車在停泊位時(shí)，另一車必須等待的概率．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】先確定概率類型是幾何概型中的面積類型，再設(shè)甲到x點(diǎn)，乙到y(tǒng)點(diǎn)，建立甲先到，乙先到滿足的條件，再畫出并求解0＜x＜24，0＜y＜24可行域面積，再求出滿足條件的可行域面積，由此求出概率．【解答】解：設(shè)甲、乙兩車達(dá)泊位的時(shí)刻分別為x，y．則作出如圖所示的區(qū)域：區(qū)域D的面積S1=242，區(qū)域d的面積S2=242﹣162．∴P===．即兩車中有一車在停泊位時(shí)另一車必須等待的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了建模與解模能力，解答時(shí)應(yīng)利用線性規(guī)劃作出事件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，再利用幾何概型概率公式求出對(duì)應(yīng)事件的概率．22.（12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M為棱DD1上的一點(diǎn)．（1）求三棱錐A－MCC1的體積；（2）當(dāng)A1M＋MC取得最小值時(shí)，求證：B1M⊥平面MAC.參考答案：(Ⅰ)由長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，∴點(diǎn)A到平面CDD1C1的距離等于AD＝1，又S△MCC1＝CC1×CD＝×2×1＝1，∴VA－MCC1＝AD·S△MCC1＝.(Ⅱ)將側(cè)面CDD1C1繞DD1逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°展開，與側(cè)面ADD1A1共面(如圖)，當(dāng)A1，