二次曲線中的“將軍飲馬”問題研究一．基本原理1.兩點間距離公式：間距離：.2.直線型將軍飲馬模型：如圖，動點為直線上一點，為直線一側(cè)的兩個定點，那么的最小值即為做點關(guān)于的對稱點，然后連接后其長度.3.其他形式的將軍飲馬模型：若動點為曲線上一點，為曲線所在平面內(nèi)的兩個定點，那么如何求的最值.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）4.三角不等式：任意兩邊之和大于等于第三邊，任意兩邊之差小于等于第三邊，取等條件當(dāng)且僅當(dāng)三點共線.如圖動點為直線上一點，為直線一側(cè)的兩個定點，那么的最大值當(dāng)且僅當(dāng)三點共線.倘若在兩側(cè)，則需先利用對稱將其搬到一側(cè)再尋找最大值！此時，的最小值為0，即為中垂線與的交點.二．典例分析例1.已知橢圓內(nèi)有一點，、分別為其左右焦點，是橢圓上一點，求：(1).的最大值與最小值；(2).的最大值與最小值.解析：（1）如圖：，等號成立當(dāng)在一側(cè)，且三點共線以及當(dāng)在一側(cè)，且三點共線.故的最大值與最小值為：.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）由橢圓定義可知：，由（1）可知：的最大值與最小值為：，故的最大值與最小值為：與.小結(jié)：已知橢圓上任意一點，橢圓內(nèi)一定點，如何求：的距離最值？距離差直接用結(jié)論，距離和轉(zhuǎn)化為距離差再利用上述結(jié)論4求解.例2．已知雙曲線的左、有焦點分別為，，實軸長為4，離心率，點Q為雙曲線右支上的一點，點．當(dāng)取最小值時，的值為（

）A． B． C． D．解析：由題意可得，又，故，所以，則雙曲線方程為，結(jié)合雙曲線定義可得，如圖示，連接,交雙曲線右支于點M，即當(dāng)三點共線，即Q在M位置時，取最小值，此時直線方程為，聯(lián)立，解得點Q的坐標(biāo)為,(Q為雙曲線右支上的一點)，故，故選：B小結(jié)：已知雙曲線上任意一點，雙曲線內(nèi)一定點，如何求：的距離最值？利用定義將動點出現(xiàn)在兩定點的同側(cè)轉(zhuǎn)化為兩定點的異側(cè)，再利用將軍飲馬解決.例3.已知動點為拋物線上任意一點，其焦點為，點，試求：（1）的最小值；（2）的最大值.解析：（1）過向做垂線，垂足為，則，故當(dāng)三點共線時，取最小值，最小值為.（2）當(dāng)在一側(cè)且三點共線時，有最大值.例4．已知圓，圓，分別為圓和圓上的動點，為直線上的動點，則的最小值為A． B． C． D．解析：由圓，圓，可知圓圓心為，半徑為1，如圖，圓圓心為，半徑為2，圓關(guān)于直線的對稱圓為圓，連結(jié)，交于，則為滿足使最小的點，此時點為與圓的交點關(guān)于直線對稱的點，為與圓的交點，最小值為，而，的最小值為，故選A.例5．已知圓，圓，點M、N分別是圓、圓上的動點，點P為x軸上的動點，則的最大值是（

）A． B．9 C．7 D．解析：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為．，又，，．點關(guān)于軸的對稱點為，，所以，，故選：B．三．習(xí)題演練習(xí)題1．，分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓上的動點，設(shè)點，則的最小值為（

）A． B． C． D．習(xí)題2．已知雙曲線的一條漸近線方程為，左焦點為F，點P在雙曲線右支上運動，點Q在圓上運動，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．9習(xí)題3．設(shè)拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為，為C上一動點，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．當(dāng)時，的值為6B．當(dāng)時，拋物線C在點P處的切線方程為C．的最小值為3D．的最大值為參考答案習(xí)題1.解：由橢圓方程得，如圖，連接，由于，所以，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，所以所以，故選：A習(xí)題2.由，所以有，設(shè)圓的圓心為，半徑為，設(shè)該雙曲線另一個焦點為，所以，求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，因此當(dāng)點依次共線時，有最小值，即，故選：B習(xí)題3.解析：當(dāng)時，，故，故A正確；當(dāng)時，，由可得，所以，所以拋物線C在點P處的切線方程為，整理得：，故B錯誤；如圖，過點P作PB⊥準(zhǔn)線于點B，則由拋物線定義可知：，則，當(dāng)A、P、B三點共線時，和最小，最小值為1+2=3