形態(tài)學(xué)圖像處理第九章形態(tài)學(xué)形態(tài)學(xué)是生物學(xué)的一個(gè)分支，它是研究動(dòng)物和植物的形態(tài)和結(jié)構(gòu)的學(xué)科。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)被作為工具從圖像中提取對(duì)于表達(dá)和描述區(qū)域形狀有用處的圖像分量，例如邊界、骨架以及凸殼。主要內(nèi)容集合論膨脹和腐蝕開操作與閉操作常用形態(tài)學(xué)提取灰度級(jí)圖像擴(kuò)展集合、并集、交集、補(bǔ)集、集合的差9.1集合論的幾個(gè)基本概念集合A、B并集交集補(bǔ)集集合的差

1、集合令A(yù)為Z中的一個(gè)集合，如果a=(a1,a2)是A中的元素，則表示為；如果a不是A的元素，則寫成

9.1集合論的幾個(gè)基本概念2、集合的子集與相等

且當(dāng)且僅當(dāng)和同時(shí)成立時(shí),稱集合A和B集合相等。

9.1集合論的幾個(gè)基本概念BA3、集合的并

集合A和B集合的并9.1集合論的幾個(gè)基本概念4、集合的交

9.1集合論的幾個(gè)基本概念5、集合的補(bǔ)

集合的補(bǔ)9.1集合論的幾個(gè)基本概念6、集合的差

或集合的差9.1集合論的幾個(gè)基本概念

(1)集合的反射由集合A中所有元素相對(duì)于原點(diǎn)的反射元素組成的集合稱為集合A的反射，記為。

其中，x表示集合A中的元素a對(duì)應(yīng)的反射元素。集合的反射圖示9.1集合的平移和反射

(2)集合的平移由集合A中所有元素平移z=(z1，z2)后組成的元素集合稱為集合A的平移，記為。

其中，x表示集合A中的元素a平移z后形成的元素。集合的平移圖示9.1集合的平移和反射二值圖像的邏輯運(yùn)算二值圖像的邏輯運(yùn)算膨脹和腐蝕是形態(tài)學(xué)處理的基礎(chǔ)。1、膨脹：A被B膨脹的定義為：該式表明膨脹過(guò)程是B首先做關(guān)于原點(diǎn)的映像，然后平移z。A被B膨脹是所有位移z的集合，這樣和A至少有一個(gè)元素是重疊的。集合B在膨脹操作中常被稱為結(jié)構(gòu)元素。9.2膨脹與腐蝕膨脹運(yùn)算的基本過(guò)程是：

（1）求結(jié)構(gòu)元素B關(guān)于其原點(diǎn)的反射集合；（2）每當(dāng)結(jié)構(gòu)元素在目標(biāo)圖像A上平移后，結(jié)構(gòu)元素與其覆蓋的子圖像中至少有一個(gè)元素相交時(shí)，就將目標(biāo)圖像中與結(jié)構(gòu)元素的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的那個(gè)位置的像素值置為“1”，否則置為0。注意：（1）當(dāng)結(jié)構(gòu)元素中原點(diǎn)位置的值是0時(shí)，仍把它看作是0；而不再把它看作是1。

（2）當(dāng)結(jié)構(gòu)元素在目標(biāo)圖像上平移時(shí)，允許結(jié)構(gòu)元素中的非原點(diǎn)像素超出目標(biāo)圖像范圍。

9.2膨脹與腐蝕111

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（a）目標(biāo)圖像A（b）結(jié)構(gòu)元素B（c）結(jié)構(gòu)元素（d）膨脹運(yùn)算結(jié)果圖像

1、概念舉例：膨脹

2、結(jié)構(gòu)元素形狀對(duì)膨脹運(yùn)算結(jié)果的影響

當(dāng)目標(biāo)圖像不變，但所給的結(jié)構(gòu)元素的形狀改變時(shí)；或結(jié)構(gòu)元素的形狀不變，而其原點(diǎn)位置改變時(shí)，膨脹運(yùn)算的結(jié)果會(huì)發(fā)生改變。9.2膨脹與腐蝕111

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（a）目標(biāo)圖像A（b）結(jié)構(gòu)元素B（c）結(jié)構(gòu)元素（d）膨脹運(yùn)算結(jié)果圖像膨脹

下面給出的是目標(biāo)圖像相同但結(jié)構(gòu)元素不同時(shí)，膨脹運(yùn)算結(jié)果不同的例子。

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2020202212210222210

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（a）目標(biāo)圖像A（b）結(jié)構(gòu)元素B（c）結(jié)構(gòu)元素（d）膨脹運(yùn)算結(jié)果圖像膨脹

下面給出的是目標(biāo)圖像相同，但僅結(jié)構(gòu)元素的原點(diǎn)位置改變時(shí)，膨脹運(yùn)算結(jié)果不同的例子。

1111利用膨脹運(yùn)算將相鄰的物體連接起來(lái)

3、膨脹運(yùn)算的應(yīng)用

1111利用膨脹運(yùn)算填充目標(biāo)區(qū)域中的小孔

3、膨脹運(yùn)算的應(yīng)用

9.2膨脹與腐蝕9.2膨脹與腐蝕2、腐蝕：A被B腐蝕的定義為：該式表明腐蝕的結(jié)果為所有使B中包含于A中的點(diǎn)z的集合用z平移。膨脹和腐蝕對(duì)于集合求補(bǔ)運(yùn)算和反射運(yùn)算是彼此對(duì)偶的，即：9.2膨脹與腐蝕

腐蝕運(yùn)算的含義是：每當(dāng)在目標(biāo)圖像A中找到一個(gè)與結(jié)構(gòu)元素B相同的子圖像時(shí)，就把該子圖像中與B的原點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的那個(gè)像素位置標(biāo)注為1，圖像A上標(biāo)注出的所有這樣的像素組成的集合，即為腐蝕運(yùn)算的結(jié)果。

簡(jiǎn)而言之，腐蝕運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是在目標(biāo)圖像中標(biāo)出那些與結(jié)構(gòu)元素相同的子圖像的原點(diǎn)位置的像素。

注意，結(jié)構(gòu)元素中的原點(diǎn)位置可以不為1，但要求目標(biāo)圖像中的子圖像與結(jié)構(gòu)元素B的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的那個(gè)位置的像素值是1。9.2膨脹與腐蝕

腐蝕運(yùn)算的基本過(guò)程是：把結(jié)構(gòu)元素B看作為一個(gè)卷積模板，每當(dāng)結(jié)構(gòu)元素平移到其原點(diǎn)位置與目標(biāo)圖像A中那些像素值為“1”的位置重合時(shí)，就判斷被結(jié)構(gòu)元素覆蓋的子圖像的其它像素的值是否都與結(jié)構(gòu)元素相應(yīng)位置的像素值相同；只有當(dāng)其都相同時(shí)，就將結(jié)果圖像中的那個(gè)與原點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的像素位置的值置為“1”，否則置為0。注意：當(dāng)結(jié)構(gòu)元素在目標(biāo)圖像上平移時(shí)，結(jié)構(gòu)元素中的任何元素不能超出目標(biāo)圖像的范圍。

9.2膨脹與腐蝕1111111111110000100（a）目標(biāo)圖像A（b）結(jié)構(gòu)元素B（c）腐蝕運(yùn)算結(jié)果圖像圖a腐蝕運(yùn)算實(shí)例

1、概念9.2膨脹與腐蝕9.2膨脹與腐蝕

2、結(jié)構(gòu)元素形狀對(duì)腐蝕運(yùn)算結(jié)果的影響

腐蝕運(yùn)算的結(jié)果不僅與結(jié)構(gòu)元素的形狀(矩形、圓形、菱形等)選取有關(guān)，而且還與原點(diǎn)位置的選取有關(guān)。

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1010圖b與圖a結(jié)構(gòu)元素不同時(shí)的腐蝕運(yùn)算實(shí)例9.2膨脹與腐蝕11

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000

0100圖c與圖a的結(jié)構(gòu)元素的原點(diǎn)不同時(shí)的腐蝕運(yùn)算實(shí)例

2、結(jié)構(gòu)元素形狀對(duì)腐蝕運(yùn)算結(jié)果的影響舉例：

9.2膨脹與腐蝕1111利用腐蝕算法消除物體之間的粘連示例

2、結(jié)構(gòu)元素形狀對(duì)腐蝕運(yùn)算結(jié)果的影響舉例：

9.2膨脹與腐蝕利用腐蝕算法識(shí)別物體示例

3、腐蝕運(yùn)算在物體識(shí)別中的應(yīng)用舉例：

9.2膨脹與腐蝕

4、腐蝕運(yùn)算與膨脹運(yùn)算的對(duì)偶性

膨脹和腐蝕運(yùn)算的對(duì)偶性可分別表示為：也即：對(duì)目標(biāo)圖像的膨脹運(yùn)算，相當(dāng)于對(duì)圖像背景的腐蝕運(yùn)算操作；對(duì)目標(biāo)圖像的腐蝕運(yùn)算，相當(dāng)于對(duì)圖像背景的膨脹運(yùn)算操作。9.2膨脹與腐蝕(a)目標(biāo)圖像(b)結(jié)構(gòu)元素B(c）膨脹(d)腐蝕(e)

的補(bǔ)(f)

的反射(g)腐蝕(h)膨脹1111111111111111111111111111

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21111

21111211111111100110100腐蝕運(yùn)算與膨脹運(yùn)算的對(duì)偶性－示例

9.2膨脹與腐蝕腐蝕和膨脹的幾個(gè)重要性質(zhì)：1、交換性：2、結(jié)合性：3、遞增性：4、分配性：9.2膨脹與腐蝕

1、開操作使用同一個(gè)結(jié)構(gòu)元素對(duì)目標(biāo)圖像先進(jìn)行腐蝕運(yùn)算,然后再進(jìn)行膨脹運(yùn)算稱為開操作。開操作一般使對(duì)象的輪廓變得光滑，斷開狹窄的間斷和消除細(xì)的突出物。結(jié)構(gòu)元素B對(duì)目標(biāo)圖像A的開操作定義為：9.3開操作與閉操作

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01

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000100(a）目標(biāo)圖像A

(b)結(jié)構(gòu)元素BB的反射(c）B對(duì)A的腐蝕結(jié)果(d）B對(duì)(c)膨脹結(jié)果1

11

1、開操作舉例：11

119.3開操作與閉操作9.3開操作與閉操作圖8.18對(duì)含噪聲的印刷電路板圖像進(jìn)行開運(yùn)算實(shí)例

(a)印刷電路板二值圖像（b）對(duì)(a)進(jìn)行開運(yùn)算的結(jié)果圖像

1、開運(yùn)算實(shí)例：9.3開操作與閉操作

2、閉操作使用同一個(gè)結(jié)構(gòu)元素對(duì)目標(biāo)圖像先進(jìn)行膨脹運(yùn)算,然后再進(jìn)行腐蝕運(yùn)算稱為閉操作。閉操作同樣使輪廓線更光滑，但它通常消弭狹窄的間斷和長(zhǎng)細(xì)的鴻溝，消除小的孔洞，并填補(bǔ)輪廓線中的斷裂。結(jié)構(gòu)元素B對(duì)目標(biāo)圖像A的閉運(yùn)算定義為：9.3開操作與閉操作111

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112112

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1

(b)結(jié)構(gòu)元素B

(a）目標(biāo)圖像A

(c）B對(duì)A的膨脹結(jié)果(d)B對(duì)(c)

腐蝕結(jié)果

2、閉操作舉例：

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011

011

11

011

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1111B的反射9.3開操作與閉操作電路板二值圖像閉運(yùn)算實(shí)例

2、閉操作實(shí)例：(a)電路板二值圖像（b）對(duì)(a)進(jìn)行閉運(yùn)算的結(jié)果圖像

9.3開操作與閉操作

3、開運(yùn)算與閉運(yùn)算的對(duì)偶性開運(yùn)算與閉運(yùn)算互為對(duì)偶，并可表示為：閉操作可以使物體的輪廓線變得光滑。閉運(yùn)算具有磨光物體內(nèi)邊界的作用，而開運(yùn)算具有磨光圖像外邊界的作用。

9.3開運(yùn)算與閉運(yùn)算9.3開操作與閉操作9.3開操作與閉操作擊中或擊不中變換主要是在圖像中尋找相關(guān)對(duì)象的位置的一種方法。如果B可表示為由X和X的背景構(gòu)成的集合，則在A中對(duì)B進(jìn)行匹配的操作定義為：擊中或擊不中變換是形狀檢測(cè)的基本工具。通過(guò)腐蝕與膨脹之間的對(duì)偶關(guān)系，也存在：如果，變換也可以表示為：9.4擊中或擊不中變換9.4擊中或擊不中變換9.5基本的形態(tài)學(xué)算法1、邊界提?。哼吔缣崛】梢韵葘?duì)原始圖像進(jìn)行腐蝕，而后用原始圖像減去腐蝕的結(jié)果：B是一個(gè)適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)元素。當(dāng)B的原點(diǎn)在圖像的邊界上時(shí)，結(jié)構(gòu)元素的一部分在圖像的外面，此時(shí)假設(shè)圖像邊界外部的值為零。9.5.1邊界提取2、區(qū)域填充：以集合的膨脹、求補(bǔ)和交集為基礎(chǔ)對(duì)區(qū)域進(jìn)行填充。B是一個(gè)適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)元素。當(dāng)B的原點(diǎn)在圖像的邊界上時(shí)，結(jié)構(gòu)元素的一部分在圖像的外面，此時(shí)假設(shè)圖像邊界外部的值為零。確定一個(gè)種子，當(dāng)結(jié)果不發(fā)生變化時(shí)，認(rèn)為填充結(jié)束。即時(shí)，迭代結(jié)束。9.5基本的形態(tài)學(xué)算法9.5.2區(qū)域填充9.5.2區(qū)域填充3、連通分量的提?。禾崛D像中的連通分量。B是一個(gè)適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)元素。當(dāng)B的原點(diǎn)在圖像的邊界上時(shí)，結(jié)構(gòu)元素的一部分在圖像的外面，此時(shí)假設(shè)圖像邊界外部的值為零。確定一個(gè)種子，當(dāng)結(jié)果不發(fā)生變化時(shí)，認(rèn)為填充結(jié)束。當(dāng)時(shí)，迭代結(jié)束。9.5基本的形態(tài)學(xué)算法9.5.3連通分量的提取9.5.3連通分量的提取凸性(convexity)：如某集合A中任意兩點(diǎn)的連線上的所有點(diǎn)都在該集合中，則稱該集合是凸的。凸殼：任意集合S的凸殼H（表示成C(S)）指的是包含S的最小凸集。差H-S稱為S的凸缺。凸缺/殼主要用于對(duì)象的描述。凸殼算法如下：其中Bi代表下頁(yè)圖所示的4個(gè)結(jié)構(gòu)元素，且X0i＝A，令D=Xiconv為上述迭代的收斂(convergence)值,則A的凸殼由下式得到：凸殼算法的具體過(guò)程可參照下頁(yè)圖9.5基本的形態(tài)學(xué)算法9.5.4凸殼x219.5.4凸殼9.5.4凸殼上述方法的一個(gè)明顯的不足是凸殼可能在A基礎(chǔ)上生成的保證凸殼凸性所需的最小尺寸。一個(gè)簡(jiǎn)單的解決辦法是限制結(jié)果凸殼不超過(guò)原集合水平和垂直方向的最大尺寸。上述結(jié)果經(jīng)過(guò)此限制后的凸殼如下。5、細(xì)化：根據(jù)擊中或擊不中變換進(jìn)行定義：B是幾個(gè)適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)元素，反復(fù)使用擊中或擊不中變換。如果定義B為：則有：9.5基本的形態(tài)學(xué)算法其中是結(jié)構(gòu)元素序列，且Bi是對(duì)Bi-1旋轉(zhuǎn)而來(lái)的。對(duì)所有結(jié)果元素操作一遍后，如果沒收斂，再依次對(duì)各個(gè)結(jié)構(gòu)元素重復(fù)進(jìn)行運(yùn)算，直至沒有變化為止。9.5.5細(xì)化6、粗化：粗化在形態(tài)學(xué)上是細(xì)化的對(duì)偶過(guò)程。B是幾個(gè)適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)元素，反復(fù)使用擊中或擊不中變換。如果定義B為：則有：9.5基本的形態(tài)學(xué)算法其中所使用的結(jié)構(gòu)元素序列與細(xì)化算法一樣，并把所有的1和0互換。9.5.6粗化實(shí)際應(yīng)用中，很少直接用粗化算法，而是先對(duì)問(wèn)題集合的補(bǔ)集（即背景集合）進(jìn)行細(xì)化，接著對(duì)細(xì)化結(jié)果求補(bǔ)來(lái)得到粗化結(jié)果。但這種方式會(huì)產(chǎn)生不連續(xù)點(diǎn)，因此必須進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的后處理來(lái)去掉不連續(xù)的點(diǎn)。9.5.7骨架7、骨架：提取圖像的骨架的過(guò)程，可以用腐蝕和開操作表達(dá)。B是幾個(gè)適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)元素，對(duì)Sk(A)反復(fù)使用腐蝕變換：有：9.5基本的形態(tài)學(xué)算法9.5.7骨架（a）原圖像（b）提取的原圖像的骨架圖像骨架提取實(shí)例9.5.7骨架9.5.8裁剪灰度膨脹灰度腐蝕灰度開和閉運(yùn)算灰度形態(tài)學(xué)處理應(yīng)用9.6灰度級(jí)圖像擴(kuò)展9.6.1灰度膨脹令f(x,y)表示圖像，b(x,y)表示結(jié)構(gòu)元素，(x,y)是整數(shù)坐標(biāo)值對(duì)。f和b取實(shí)數(shù)或整數(shù)。b對(duì)f進(jìn)行灰度膨脹可定義為：為對(duì)其有個(gè)清楚的理解，先看一下一維的情況，這時(shí)上式變?yōu)椋夯叶扰蛎浀男Ч喝绻械慕Y(jié)構(gòu)元素的值是正的，則輸出圖像比輸入圖像更亮；暗的細(xì)節(jié)可被減少或消除，其程度依賴于這些暗細(xì)節(jié)的值和形狀與結(jié)構(gòu)元素間的關(guān)系。一維灰度膨脹圖示注意：此圖中移動(dòng)的是b而不是定義中的f，但結(jié)果是一樣的，因?yàn)榕蛎涍\(yùn)算滿足交換律。移動(dòng)b而不是f更直觀，更簡(jiǎn)單，因?yàn)閎的尺寸通常小于f。9.6.2灰度腐蝕定義：同樣可以先看一下一維的情況，這時(shí)上式變?yōu)椋夯叶雀g的效果：如果所有的結(jié)構(gòu)元素的值是正的，則輸出圖像比輸入圖像更暗；在比結(jié)構(gòu)元素還小的區(qū)域中的亮細(xì)節(jié)效果將減弱，其程度依賴于環(huán)繞亮細(xì)節(jié)的灰度值，及結(jié)構(gòu)元素的形狀和幅度值。一維灰度腐蝕圖示對(duì)一維膨脹示例中的同樣f和b，腐蝕的結(jié)果如下：灰度膨脹和腐蝕相對(duì)函數(shù)補(bǔ)和反射變換成對(duì)偶關(guān)系：灰度膨脹和腐蝕運(yùn)算應(yīng)用實(shí)例注意不同圖中亮和暗細(xì)節(jié)的變化灰度結(jié)構(gòu)元素灰度膨脹和腐蝕運(yùn)算應(yīng)用實(shí)例9.6.3灰度開和閉運(yùn)算開運(yùn)算：閉運(yùn)算：開、閉運(yùn)算也相對(duì)補(bǔ)和反射操作成對(duì)偶關(guān)系開運(yùn)算通常用于去除小的（相對(duì)于結(jié)構(gòu)元素而言）亮細(xì)節(jié)，而保留總體的灰度及和大的亮的特征不變。因?yàn)殚_始的腐蝕操作消除小細(xì)節(jié)的同時(shí)也使圖像變暗，所以后面的膨脹過(guò)程用于增加圖像的整個(gè)強(qiáng)度，但不會(huì)再引入被去除的細(xì)節(jié)。(a)Y為某常數(shù)時(shí)的圖像界面(c）b在f下方滑動(dòng)(d)開運(yùn)算結(jié)果灰度開運(yùn)算過(guò)程示意圖灰度開運(yùn)算

采用該結(jié)構(gòu)元素對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行開運(yùn)算的過(guò)程是：

在目標(biāo)圖像下方滑動(dòng)結(jié)構(gòu)元素時(shí)，在每一點(diǎn)記錄結(jié)構(gòu)元素上的最高點(diǎn)，則由這些最高點(diǎn)構(gòu)成的集合即為開運(yùn)算的結(jié)果。(b)球形結(jié)構(gòu)元素b的界面灰度閉運(yùn)算

采用該結(jié)構(gòu)元素對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行閉運(yùn)算的過(guò)程是：

在目標(biāo)圖像上方滑動(dòng)結(jié)構(gòu)元素時(shí)，在每一點(diǎn)記錄結(jié)構(gòu)元素上的最低點(diǎn)，則由這些最低點(diǎn)構(gòu)成的集合即為閉運(yùn)算的結(jié)果。(b)球形結(jié)構(gòu)元素b的界面(a)Y為某常數(shù)時(shí)的圖像界面(c）b在f上方滑動(dòng)(d)閉運(yùn)算結(jié)果灰度閉運(yùn)算過(guò)程示意圖9.6.3灰度開和閉運(yùn)算9.6.3灰度開和閉運(yùn)算開、閉運(yùn)算的效果開運(yùn)算通常用于去除小的（相對(duì)于結(jié)構(gòu)元素而言）亮細(xì)節(jié)，而保留總體的灰度及和大的亮的特征不變。因?yàn)殚_始的腐蝕操作消除小的亮細(xì)節(jié)的同時(shí)也使圖像變暗，所以后面的膨脹過(guò)程用于增加圖像的整個(gè)強(qiáng)度，但不會(huì)再引入被去除的細(xì)節(jié)。閉運(yùn)算通常用于去除小的（相對(duì)于結(jié)構(gòu)元