第七章應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論§7–1應(yīng)力狀態(tài)概述

一、一點的應(yīng)力狀態(tài)前面研究了桿件在軸向拉伸(壓縮)、扭轉(zhuǎn)和彎曲時的強(qiáng)度問題。這些桿件的危險點（發(fā)生最大應(yīng)力的點)或處于單向受力狀態(tài)，或處于純剪切狀態(tài)，相應(yīng)的強(qiáng)度條件為例：一個點的所有截面上的應(yīng)力情況的集合，稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)

二、應(yīng)力狀態(tài)單元體

研究一點的應(yīng)力狀態(tài)時，常常圍繞該點從受力構(gòu)件中截取任意的微小正六面體，這個微小正六面體稱為單元體。單元體的兩個平行截面上的正應(yīng)力數(shù)值相等，符號相同；單元體的兩個正交截面上的剪應(yīng)力數(shù)值相等，符號相反。三、應(yīng)力狀態(tài)的分類

單向應(yīng)力狀態(tài):只有一個主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)(平面應(yīng)力狀態(tài)):兩個主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)三向（空間）應(yīng)力狀態(tài):三個主應(yīng)力均不等于零的應(yīng)力狀態(tài)

剪應(yīng)力為零的平面稱為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，用s1、s2、s3

表示，并按代數(shù)值排列，即

s1>s2>

s3,在各個面上只有主應(yīng)力（單元體的三組正交平面都是主平面）的單元體稱為主單元體?！?–2二向應(yīng)力狀態(tài)分析一、用解析法研究二向應(yīng)力狀態(tài)ba圖a所示的是一個平面應(yīng)力狀態(tài)單元體，又可以圖b來表示?，F(xiàn)在來討論該單元體在各個方位的變化。1、任意斜截面上的應(yīng)力

ασxτxσyτy

ατyσyσxτxσαταnt

αdAdAsinαdAcosαΣN=0,σαdA+τxdAcosαsinα-σxdAcosαcosα+τydAsinαcosα-σydAsinαsinα=0ΣT=0,ταdA-τxdAcosαcosα-σxdAcosαsinα+τydAsinα

sinα+σydAsinα

cosα

=0任意斜截面上的應(yīng)力式(1)(2)就是任意斜截面上的應(yīng)力計算式。由式(1)又可得：

式(3)表明互相垂直截面上的正應(yīng)力之和是常數(shù)，與截面位置無關(guān)。

2.主應(yīng)力與主平面

由式(1)，令，可得：

以表示正應(yīng)力取得極值的方位，則有：

正應(yīng)力隨角度變化而變化，其極值等于多少？又在什么方位呢？

從式(4)可得到和相互垂直的主平面的方位。兩個主平面上的正應(yīng)力，一個是最大正應(yīng)力，一個是最小正應(yīng)力。計算式為：式(a)表示正應(yīng)力為極值的截面，也就是剪應(yīng)力的截面。這個截面就是主平面，極值應(yīng)力就是主應(yīng)力。由式(a)可得到主應(yīng)力的方位：

主應(yīng)力單元體見右圖minmax同樣最大正應(yīng)力與最小正應(yīng)力之和應(yīng)滿足式(3)，即

以表示剪應(yīng)力取得極值的方位，上式可化為：

3.極值剪應(yīng)力及其方位

剪應(yīng)力也隨角度變化而變化，同理，由式(2)，令，得：

由式(6)可得到和兩個剪應(yīng)力極值所在的平面，最大、最小剪應(yīng)力所在平面是相互垂直的，其值為：比較式(5)和式(7)可得

比較式(4)和式(6)得：

式(9)說明

或

即：剪應(yīng)力極值所在平面和主平面成45度角（見上圖）。

maxminmaxmin圖

中的主應(yīng)力表示的單元體為主應(yīng)力單元體，以主剪應(yīng)力表示的單元體為主剪應(yīng)力單元體。下面以實例說明數(shù)解法的求法。極值剪應(yīng)力又稱主剪應(yīng)力。此時主剪應(yīng)力所在平面上有正應(yīng)力存在，其值為：

maxminmaxmin例1

已知平面應(yīng)力狀態(tài)如圖示。試用數(shù)解法求：

①斜面上的應(yīng)力并表示于圖中（斜面法線與x軸成30度）；②主應(yīng)力大小及方位，并繪主應(yīng)力單元體；③最大剪應(yīng)力大小及方位，并繪主剪應(yīng)力單元體。例1圖解（一）斜面上的應(yīng)力

已知：

（壓應(yīng)力）

（拉應(yīng)力）

（逆時針）將代入式(1)和式(2)可得：

（拉應(yīng)力）（逆時針）將表示于圖中。

（二）主應(yīng)力大小及方位

將代入式(4)可得：

解出：一個主平面的方位角為，另一主平面的方位角為，將兩個方位角分別代入式(1)可得兩個面上的主應(yīng)力。

也可由式(5)求出主應(yīng)力

應(yīng)當(dāng)指出，由于平面應(yīng)力狀態(tài)單元體前后兩平面是零應(yīng)力平面，主應(yīng)力為零，因此，它也是主平面，按三個主應(yīng)力排列次序，應(yīng)為：

繪主應(yīng)力單元體圖如下：

主應(yīng)力單元體圖

（三）主剪應(yīng)力大小及方位

將代入式(6)(7)得：

解得：

將代入式(2)可得：為所在方位，則為所在方位。繪主剪應(yīng)力單元體圖于主應(yīng)力單元體圖中。主應(yīng)力單元體圖主剪應(yīng)力單元體圖§7–3三向應(yīng)力狀態(tài)

tmax的作用面與1和3作用平面夾角均為45。例題：簡支梁受力如圖。試定性地從梁中點5,4,3,2,1處取出應(yīng)力單元體，并繪應(yīng)力單元體圖。

§7–4廣義虎克定律a)廣義虎克定律的一般形式

平面應(yīng)力狀態(tài)時（設(shè)）

b)主應(yīng)力表示的虎克定律

二向應(yīng)力狀態(tài)時（設(shè)），上式為；

式中，為主應(yīng)變。體積應(yīng)變：

例題：

1、工字鋼制成的簡支梁，其彈性模量E=200GPa，泊松比=0.3。已知P=15kN，試求腹板上A點處沿0，45，90方向的線應(yīng)變0，45，90，及該點處的主應(yīng)變。根據(jù)上述現(xiàn)象，設(shè)想梁內(nèi)部的變形與外表觀察到的現(xiàn)象相一致，可提出如下假設(shè)：

a.平面假設(shè)：變形前橫截面是平面，變形后仍是平面，只是轉(zhuǎn)過一個角度，仍垂直于變形后梁的軸線。

b.各縱向纖維間無正應(yīng)力假設(shè)：梁由無數(shù)縱向纖維組成，各纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互擠壓2、已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。為了用實驗方法測定拉力P與作用在垂直于桿軸平面內(nèi)的外力偶矩m0的值，可沿軸向及與軸向成45方向測出線應(yīng)變?，F(xiàn)測得軸向應(yīng)變0=50010-6，45方向的應(yīng)變u=40010-6。若軸的直徑D=100mm，彈性模量E=200Gpa，泊松比μ=0.3。試求P和m0的值。一、強(qiáng)度理論的概念及材料的兩種破壞形式1．強(qiáng)度理論的概念前面幾章中，討論了四種基本變形時的強(qiáng)度條件，即a．正應(yīng)力強(qiáng)度條件b．剪應(yīng)力強(qiáng)度條件§7–5強(qiáng)度理論前式適用于單向應(yīng)力狀態(tài)，式左邊的工作應(yīng)力常為拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力或梁彎曲時最大彎矩橫截面邊緣處的正應(yīng)力。后者適用于純剪切應(yīng)力狀態(tài)，式左邊的工作應(yīng)力常為圓軸受扭最大扭矩橫截面邊緣處的剪應(yīng)力或梁最大剪力橫截面中性軸處的彎曲剪應(yīng)力。式中的許用正應(yīng)力和許用剪應(yīng)力是由軸向拉（壓）試驗和純剪切試驗所測得的極限應(yīng)力除以安全系數(shù)而得。這兩類強(qiáng)度條件是能夠直接通過試驗來建立。

a．正應(yīng)力強(qiáng)度條件b．剪應(yīng)力強(qiáng)度條件然而，在工程實際中許多構(gòu)件的危險點是處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，其應(yīng)力組合的方式有各種可能性。如采用拉（壓）時用的試驗方法來建立強(qiáng)度條件，就得對材料在各種應(yīng)力狀態(tài)下一一進(jìn)行試驗，以確定相應(yīng)的極限應(yīng)力，這顯然是難以實現(xiàn)的。強(qiáng)度理論就是根據(jù)對材料破壞現(xiàn)象的分析，采用判斷推理的方法，提出一些假說，從而建立相應(yīng)的條件。二、四種常用的強(qiáng)度理論（一）關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論1．第一強(qiáng)度理論（最大拉應(yīng)力理論）這一理論認(rèn)為最大拉應(yīng)力是引起材料脆性斷裂破壞的主要因素，即不論材料處于簡單還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力達(dá)到材料在單向拉伸時斷裂破壞的極限應(yīng)力，就會發(fā)生脆性斷裂破壞。建立的強(qiáng)度條件為：實踐證明，該理論適合脆性材料在單向、二向或三向受拉的情況。此理論不足之處是沒有考慮其它二個主應(yīng)力對材料破壞的影響。2．第二強(qiáng)度理論（最大伸長線應(yīng)變理論）這一理論認(rèn)為最大伸長線應(yīng)變是引起材料脆性斷裂破壞的主要因素，即材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)最大伸長線應(yīng)變ε1達(dá)到單向拉伸斷裂時的最大拉應(yīng)變時，材料就發(fā)生斷裂破壞。建立的強(qiáng)度條件為：（二）關(guān)于塑性流動的強(qiáng)度理論1．第三強(qiáng)度理論（最大剪應(yīng)力理論）這一理論認(rèn)為最大剪應(yīng)力是引起材料塑性流動破壞的主要因素，即不論材料處于簡單還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，只要構(gòu)件危險點處的最大剪應(yīng)力達(dá)到材料在單向拉伸屈服時的極限剪應(yīng)力就會發(fā)生塑性流動破壞。建立的強(qiáng)度條件為：2．第四強(qiáng)度理論（形狀改變比能理論）這一理論認(rèn)為形狀改變比能是引起材料塑性流動破壞的主要因素，即不論材料處于簡單還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。只要構(gòu)件危險點處的形狀改變比能，達(dá)到材料在單向拉伸屈服時的形狀改變比能，就會發(fā)生塑性流動破壞。建立的強(qiáng)度條件為：這一理論較全面地考慮了各個主應(yīng)力對強(qiáng)度的影響。（三）強(qiáng)度理論的選用1．相當(dāng)應(yīng)力四個強(qiáng)度理論可用如下統(tǒng)一的形式表達(dá)：式（11-5）中的稱為相當(dāng)應(yīng)力。四個強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為：在工程中的受力構(gòu)件，經(jīng)常會有一種二向應(yīng)力狀態(tài)（圖11-3），這種應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力為：將主應(yīng)力代入第三、第四強(qiáng)度理論公式中可得：例1．No20a工字鋼梁受力如圖，已知材料的許用應(yīng)力，校核其強(qiáng)度。例1圖解：（一）畫梁的剪力圖和彎矩圖危險截面發(fā)生在C、D截面MC=32KN·m

QC=100KN

（二）強(qiáng)度校核a．正應(yīng)力強(qiáng)度校核（K1）點先繪出C截面正應(yīng)力