基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)異方差第二篇

放寬經(jīng)典模型的假定Dr.Ouyang2學(xué)習(xí)思路概念成因 后果檢驗(yàn)消除方法Dr.Ouyang3第五章

異方差Dr.Ouyang4§1什么是異方差Dr.Ouyang5(A)(B)密度儲(chǔ)蓄Y收入X密度儲(chǔ)蓄Y收入X異方差的圖形表示Dr.Ouyang6（A)與(B)的比較：相同點(diǎn)：收入增加，儲(chǔ)蓄平均來(lái)說(shuō)也增加。不同點(diǎn)（A)儲(chǔ)蓄的方差在所有的收入水平上保持不變。（B)儲(chǔ)蓄的方差隨收入的增加而增加。解釋：隨收入增長(zhǎng)，人們有更多的備用收入，從而如何支配他們的收入有更大的選擇范圍。Dr.Ouyang7例2：邊錯(cuò)邊改學(xué)習(xí)模型人們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中，其行為誤差隨時(shí)間而減少。例如，在給定的一段時(shí)間里，大字出錯(cuò)個(gè)數(shù)與用于打字練習(xí)的小時(shí)數(shù)的關(guān)系。隨著打字練習(xí)小時(shí)數(shù)的增加，不僅平均打錯(cuò)字?jǐn)?shù)，而且打錯(cuò)個(gè)數(shù)的方差都有所下降。（圖略）注：一般橫截面數(shù)據(jù)容易出現(xiàn)異方差。Dr.Ouyang8以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型Yi=Ai1

Ki2

Li3ei

被解釋變量：產(chǎn)出量Y解釋變量：資本K、勞動(dòng)L、技術(shù)A，

那么：每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中。每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差性。這時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差并不隨某一個(gè)解釋變量觀測(cè)值的變化而呈規(guī)律性變化，呈現(xiàn)復(fù)雜型。例3:企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)Dr.Ouyang9§2出現(xiàn)異方差時(shí)的OLS估計(jì)Dr.Ouyang10一、參數(shù)OLS估計(jì)的方差增大參數(shù)OLS估計(jì)仍然是線性無(wú)偏的。Dr.Ouyang11為什么β2的估計(jì)值的方差可以直接用這個(gè)等式求到？Dr.Ouyang12二、t檢驗(yàn)失效這是因?yàn)橹苯討?yīng)用OLS所計(jì)算出的參數(shù)的不是最優(yōu)的（即不具備方差最小性），從而導(dǎo)致t檢驗(yàn)值變小。Dr.Ouyang13§3異方差的檢驗(yàn)檢驗(yàn)思路：由于異方差性就是相對(duì)于不同的解釋變量觀測(cè)值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差。那么：檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測(cè)值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。問(wèn)題在于用什么來(lái)表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差思路一般是，用OLS方法來(lái)估計(jì)模型，求得隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的估計(jì)量（注意，該估計(jì)量是不嚴(yán)格的），即“近似估計(jì)量”，再用其平方來(lái)表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差。Dr.Ouyang14一、非正式方法1、實(shí)際問(wèn)題：如截面數(shù)據(jù)2、圖解法：......................Dr.Ouyang15.......................................圖解法Dr.Ouyang16Dr.Ouyang172、格萊澤（Glejser)檢驗(yàn)Dr.Ouyang183、戈德菲爾德—匡特（Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn)（1）

（2）（3）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：（4）判別：

注：“大在分子，小在分母”?？偨Y(jié)：至今沒(méi)有很好的檢驗(yàn)方法！Dr.Ouyang19C個(gè)IIIX1Xn(n-c)/2個(gè)(n-c)/2個(gè)Dr.Ouyang20布魯士-帕根檢驗(yàn)(BP檢驗(yàn))

Breusch-Pagantest(BPtest)假設(shè)u2與x的線性組合之間存在某種函數(shù)關(guān)系：E(u2|x1,…,xk)=f(x)=f(d0+d1x1+…+dkxk)常見：f(z)=zu2=d0+d1x1+…+dkxk+e此時(shí)，異方差檢驗(yàn)等價(jià)于檢驗(yàn)：H0:d1=…=dk=0問(wèn)題：u2isunobservable一個(gè)自然的想法：用^u2代替u2

^u2=d0+d1x1+…+dkxk+eFtest/LMtest：H0：overallsignificanceDr.Ouyang21布魯士-帕根檢驗(yàn)(BP檢驗(yàn))

Breusch-Pagantest(BPtest)(i).用OLS估計(jì)多元回歸模型：y=b0+b1x1+b2x2+...bkxk+u得到^ui，計(jì)算^ui2.(ii).用^ui2對(duì)所有解釋變量進(jìn)行回歸：^ui2=d0+d1xi1+…+dkxik+ei得到擬合優(yōu)度R2u?2.(iii).對(duì)回歸方程(ii)進(jìn)行總體顯著性檢驗(yàn)：H0:d1=…=dk=0BP檢驗(yàn)[Breusch-Pagantestforheteroskedasticity

(BPtest)]:LMversionDr.Ouyang22布魯士-帕根檢驗(yàn)(BP檢驗(yàn))

Breusch-Pagantest(BPtest)如果懷疑異方差僅與某些特定解釋變量xj-xj+q有關(guān)，則在第(ii)回歸時(shí),只需將^ui2對(duì)xj-xj+q，并進(jìn)行F/LMtest即可.Dr.Ouyang23懷特檢驗(yàn)

TheWhiteTest但是，異方差可能是來(lái)源于：x高次項(xiàng)(2次項(xiàng)、交互項(xiàng))之間可能存在函數(shù)關(guān)系：假定E(u2|x1,…,xk)=f(x1,…,xk)是x1,…,xk的二次函數(shù),即所有解釋變量的一次項(xiàng)、平方項(xiàng)和交互項(xiàng)的線性組合,則(當(dāng)k=2時(shí))：^u2=d0+d1x1+d2x2+d3x12+d4x22+d5x1x2+eFtest/LMtest:H0:d1=0,d2=0,d3=0,d4=0,d5=0懷特異方差檢驗(yàn)(TheWhitetestforheteroskedasticity):LMversion問(wèn)題：當(dāng)k很大時(shí)，上述回歸方程中的解釋變量迅速增加。Dr.Ouyang24懷特檢驗(yàn)的一種變形

AlternateformoftheWhitetest回顧：?i=^b0+^b1xi1+^b2xi2+...+^bkxik

?i2是x1…xk的平方項(xiàng)和交互項(xiàng)的一個(gè)線性組合在一定條件下，可以用

?i

和

?i2的某種線性組合，來(lái)代替x1…xk的一次項(xiàng)、平方項(xiàng)和交互項(xiàng)線性組合，故可將^u2對(duì)?i,?i2進(jìn)行回歸:于是：^u2=a0+a1?i+a2

?i2+eFtest/LMtest:H0:a1=0,a2=0Note：onlytestingfor2restrictionsnowDr.Ouyang25§4、異方差的修正Dr.Ouyang26Dr.Ouyang27

Dr.Ouyang28Dr.Ouyang29當(dāng)未知X.....0.....X0...Dr.Ouyang30Dr.Ouyang31MoreonWLSWLSisgreatifweknowwhatVar(ui|xi)lookslike 如果我們知道Var(ui|xi)的形式，WLS很棒Inmostcases,won’tknowformofheteroskedasticity 在大多數(shù)情況下，我們并不清楚異方差的形式Dr.Ouyang32FeasibleGLS

可行GLSInthiscase,youneedtoestimateh(xi) 此時(shí)，你需要估計(jì)h(xi)Typically,westartwiththeassumptionofafairlyflexiblemodel,suchas 我們可以從一個(gè)非常靈活的方程形式入手 Var(u|x)=s2exp(d0+d1x1+…+dkxk)Sincewedon’tknowthed,mustbeestimated 由于d未知，我們必須對(duì)它進(jìn)行估計(jì)。為什么不用前面BP檢驗(yàn)中的水平線性模型？Dr.Ouyang33FeasibleGLS(continued)

可行GLSOurassumptionimpliesthat 我們的假定意味著 u2=s2exp(d0+d1x1+…+dkxk)v, whereE(v|x)=1.ln(u2)=a0

+d1x1+…+dkxk+eWhereE(e)=1andeisindependentofx 其中E(e)=1且e獨(dú)立于xNow,weknowthat?isanestimateofu,sowecanestimatethisbyOLS

現(xiàn)在，我們知道?是u的一個(gè)估計(jì)，所以我們可以通過(guò)OLS對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。Dr.Ouyang34FeasibleGLS(continued)

可行GLSNow,anestimateofhisobtainedas?=exp(?),andtheinverseofthisisourweight 對(duì)h的估計(jì)可以通過(guò)?=exp(?)得到，其倒數(shù)為我們的權(quán)重So,whatdidwedo? 那么，我們做了什么呢？RuntheoriginalOLSmodel,savetheresiduals,?,squarethemandtakethelog 對(duì)原方程做OLS回歸，保存殘差?，平方之，并取自然對(duì)數(shù)Regressln(?2)onalloftheindependentvariablesandgetthefittedvalues,?

將ln(?2)對(duì)全部解釋變量回歸，得到預(yù)測(cè)值?DoWLSusing1/exp(?)astheweight 將1/exp(?)作為權(quán)重，做WLSDr.Ouyang35Dr.Ouyang36三、具體例子1988年美國(guó)的研究開發(fā)與支出18個(gè)工業(yè)行業(yè)，RD～Sale1、OLS:Se=(990.99)(0.0083)t=(0.1948)(3.8434)R2=(0.4783)t值在0.002水平上是統(tǒng)計(jì)顯著的Dr.Ouyang372、Park檢驗(yàn)t=(0.8572)(1.1626)R2=0.0779無(wú)法拒絕同方差性Dr.Ouyang383、Glejser檢驗(yàn)t=(0.8525)(2.0931)R2=0.2150t=(-0.5032)(2.3704)R2=0.2599t=(3.7601)(-1.6175)R2=0.1405①②③