專(zhuān)訓(xùn)3利用相似三角形巧證線段的數(shù)量和位置關(guān)系名師點(diǎn)金：判斷兩線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系是幾何中的基本題型之一．由角的關(guān)系推出“平行或垂直”是判斷位置關(guān)系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判斷數(shù)量關(guān)系的常用方法．證明兩線段的數(shù)量關(guān)系eq\a\vs4\al(類(lèi)型1)證明兩線段的相等關(guān)系1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，BE與CD交于點(diǎn)O，直線AO與BC邊交于點(diǎn)M，與DE交于點(diǎn)N.求證：BM＝MC.(第1題)eq\a\vs4\al(類(lèi)型2)證明兩線段的倍分關(guān)系2．如圖，AM為△ABC的角平分線，D為AB的中點(diǎn)，CE∥AB，CE交DM的延長(zhǎng)線于E.求證：AC＝2CE.(第2題)證明兩線段的位置關(guān)系eq\a\vs4\al(類(lèi)型1)證明兩線段平行3．在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為BC，AB，AC上的點(diǎn)，連接DE，EF，F(xiàn)D，且EF∥BC，DF∥AB，連接CE和AD，分別交DF，EF于點(diǎn)N，M，連接MN.(1)如圖①，若E為AB的中點(diǎn)，圖中與MN平行的直線有哪幾條？并說(shuō)明理由．(2)如圖②，若E不為AB的中點(diǎn)，寫(xiě)出與MN平行的直線，并說(shuō)明理由．(第3題)eq\a\vs4\al(類(lèi)型2)證明兩線段垂直4．如圖，已知矩形ABCD，AD＝eq\f(1,3)AB，點(diǎn)E，F(xiàn)把AB三等分，DF交AC于點(diǎn)G，求證：EG⊥DF.(第4題)答案1．證明：∵DE∥BC，∴∠NEO＝∠MBO，∠ENO＝∠BMO.∴△NEO∽△MBO.∴eq\f(NE,MB)＝eq\f(ON,OM).同理可得eq\f(DN,MC)＝eq\f(ON,OM).∴eq\f(DN,MC)＝eq\f(NE,BM).∴eq\f(DN,NE)＝eq\f(MC,BM).∵DE∥BC，∴∠ANE＝∠AMC，∠AEN＝∠ACM.∴△ANE∽△AMC.∴eq\f(AN,AM)＝eq\f(NE,MC).同理可得eq\f(AN,AM)＝eq\f(DN,BM).∴eq\f(DN,BM)＝eq\f(NE,MC).∴eq\f(DN,NE)＝eq\f(BM,MC).∴eq\f(MC,BM)＝eq\f(BM,MC).∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.2．證明：如圖，延長(zhǎng)CE，交AM的延長(zhǎng)線于F.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F.易知△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴eq\f(BD,CE)＝eq\f(BM,MC)，eq\f(BA,CF)＝eq\f(BM,MC).∴eq\f(BD,CE)＝eq\f(BA,CF).又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.又AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM.∴∠CAM＝∠F.∴AC＝CF.∴AC＝2CE.(第2題)3．解：(1)MN∥AC∥ED.理由如下：由EF∥BC，易知△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.∴eq\f(EM,BD)＝eq\f(AM,AD)＝eq\f(MF,DC).∵E為AB的中點(diǎn)，EF∥BC，∴F為AC的中點(diǎn)．又∵DF∥AB，∴D為BC的中點(diǎn)．∴BD＝CD.∴EM＝MF.∵F為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)N∥AE，∴N為EC的中點(diǎn)．從而MN∥AC.又∵D為BC的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，∴ED∥AC.∴MN∥AC∥ED.(2)MN∥AC.理由如下：由EF∥BC，易得△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.∴eq\f(EM,BD)＝eq\f(AM,AD)＝eq\f(MF,DC).∴eq\f(EM,MF)＝eq\f(BD,DC).又∵DF∥AB，∴eq\f(BD,DC)＝eq\f(EN,NC).∴eq\f(EM,MF)＝eq\f(EN,NC).∴eq\f(EM,EF)＝eq\f(EN,EC).又∵∠MEN＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.4．證明：∵AD＝eq\f(1,3)AB，點(diǎn)E，F(xiàn)把AB三等分，∴設(shè)AE＝EF＝FB＝AD＝k(k>0)，則AB＝CD＝3k.∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，∠CDG＝∠AFG.∴△AFG∽△CDG.∴eq\f(FG,DG)＝eq\f(AF,CD)＝eq\f(2,3).設(shè)FG＝2m，則DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝eq\r(5)k.∴5m＝eq\r(5)k.∴m＝eq\f(\r(5),5)k.∴FG＝eq\f(2,5)eq\r(5)k.∴eq\f(AF,FG)＝eq\f(2k,\f(2,5)\r(5)k)＝eq\r(5)，eq\f(DF,