第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲線積分第十一章一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.

引例:變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xOy平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過程中變力所作的功W.1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F沿則用有向線段上任取一點(diǎn)在3)“近似和”4)“取極限”(其中為n個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)2.定義.設(shè)L為xOy平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對(duì)L的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作若為空間曲線弧,記稱為對(duì)x的曲線積分;稱為對(duì)y的曲線積分.若記,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地,3.存在條件：4.組合形式5.性質(zhì)(1)若L可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!6.物理意義⌒⌒⌒二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明:下面先證存在,且有對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義由于對(duì)應(yīng)參數(shù)因?yàn)長(zhǎng)為光滑弧,同理可證特別是,如果L的方程為則對(duì)空間光滑曲線弧:類似有定理例1.計(jì)算其中L為沿拋物線解法1取x為參數(shù),則解法2取y為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.例2.計(jì)算其中L為(1)半徑為a圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則例3.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式例4.設(shè)在力場(chǎng)作用下,質(zhì)點(diǎn)由沿移動(dòng)到解:(1)(2)的參數(shù)方程為試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.其中為例5.求其中從z軸正向看為順時(shí)針方向.解:取的參數(shù)方程三.兩類曲線積分之間的聯(lián)系：（可以推廣到空間曲線上）有向曲線弧L的切向量為))(),((tttyj￠￠=r可用向量表示有向曲線元?jiǎng)t推廣空間曲線類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A在t上的投影為例6解

所以把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分.其中L為沿拋物線從點(diǎn)(0,0)到(1,1).例7解oxyzPQ(3,2,1)32練習(xí).將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解：其中L沿上半圓周1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)3.計(jì)算?對(duì)有向光滑弧?對(duì)有向光滑弧4.兩類曲線積分的聯(lián)系?對(duì)空間有向光滑弧:原點(diǎn)O的距離成正比,思考與練習(xí)1.設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在處受恒指向原點(diǎn),沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿逆時(shí)針移動(dòng)到提示:F的大小與M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若題中F的方向改為與OM垂直且與y軸夾銳角,則2.

已知為折線ABCOA(如圖),計(jì)算提示:備用題1.解:線移動(dòng)到向坐標(biāo)原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到xOy面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F