普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材

《傅里葉光學(xué)?第2版》電子教案

周哲海呂乃光編著機械工業(yè)出版社第一章傅里葉分析本章主要內(nèi)容1、常用函數(shù)2、卷積和相關(guān)3、空間頻率及空間頻譜4、傅里葉級數(shù)5、傅里葉變換許多內(nèi)容已在“信號與系統(tǒng)”課程中介紹。本章教學(xué)目標(biāo)1、本章及下一章內(nèi)容都將介紹傅里葉光學(xué)中基礎(chǔ)理論，包括常用函數(shù)、常見的光學(xué)運算，以及傅里葉變換方法和線性系統(tǒng)理論。2、本章主要介紹傅里葉變換方法，掌握一些常用函數(shù)的傅里葉變換；3、理解常見光學(xué)運算，特別是卷積和相關(guān)運算的基本概念，并將兩者與傅里葉變換聯(lián)系起來。在科學(xué)技術(shù)及工程問題中，有一些參量的變化在整個區(qū)間內(nèi)無法用一般的代數(shù)函數(shù)來描述，必須進行分區(qū)間定義，需要引入一些特殊函數(shù)。幾個常用的非初等函數(shù)矩形函數(shù)(rect函數(shù)，RectangularFunction)sinc函數(shù)（SincFounction)三角函數(shù)(TriangleFunction)符號函數(shù)(SignumFunction)階躍函數(shù)(StepFunction)

圓函數(shù)(circlefunction)

高斯函數(shù)(GaussianFunction)1、一些常用函數(shù)1、一些常用函數(shù)1）階躍函數(shù)(Stepfunction)定義當(dāng)它和某個函數(shù)相乘，x>0的部分，乘積等于原函數(shù)；x<0的部分，乘積恒為零。作用：如同一個“開關(guān)”，可在某點“開啟”或“關(guān)閉”另一個函數(shù)，常用來表示直邊（或刀口）的透過率。函數(shù)圖形階躍函數(shù)的定義為10階躍函數(shù)與某函數(shù)相乘時，如x>0，則積等于原函數(shù)，在x<0的部分，其積為零。因而階躍函數(shù)的作用如同一個開關(guān)，可開啟或關(guān)閉另一函數(shù)。1、一些常用函數(shù)Step(x-x0)則表示間斷點移到x0的階躍函數(shù)。間斷點在x=0處.1、一些常用函數(shù)2）符號函數(shù)(Signfunction)定義應(yīng)用當(dāng)它與某函數(shù)相乘，可使函數(shù)x<x0部分的函數(shù)極性改變。Sgn(x-x0)表示間斷點移到x0的符號函數(shù)。函數(shù)圖形相位板的復(fù)振幅透過率例如：某孔徑的一半嵌有的位相板，可用符號函數(shù)描述它的復(fù)振幅透過率。1、一些常用函數(shù)3）矩形函數(shù)(Rectanglefunction)

定義函數(shù)圖形 當(dāng)x為時間變量時,可表示一個時間方波,如:電路中的開關(guān)(閘門)作用,相機的快門作用.

當(dāng)x為空間變量時,可表示一個狹縫的透過率.定義應(yīng)用常用矩形函數(shù)表示狹縫、矩孔的透過率；它與某函數(shù)相乘時，可限制該函數(shù)自變量的范圍，起到截取的作用，故又常稱為“門函數(shù)”。二維矩形函數(shù)可表示一個矩孔的透過率1、一些常用函數(shù)4）三角形函數(shù)(Trianglefunction)

定義作用常用來表示光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)。函數(shù)圖形表示矩形光瞳OTF二維三角形函數(shù)1、一些常用函數(shù)5）sinc函數(shù)(Sincfunction)定義作用：常用來描述狹縫或矩形孔的夫瑯和費衍射圖樣。零點位置：函數(shù)圖形思考題：能否寫出sinc2(x)函數(shù)的表達式并畫出圖形？其與sinc函數(shù)有何區(qū)別？狹縫的夫瑯和費衍射圖樣如：單縫的夫朗和費衍射振幅分布：強度分布：1、一些常用函數(shù)6）高斯函數(shù)(Gaussfunction)定義應(yīng)用常用來描述激光器發(fā)出的高斯光束強度分布。圖形分布特點函數(shù)在原點具有最大值1，曲線下的面積為a。高斯函數(shù)在運算中常用到的幾個積分1、一些常用函數(shù)7）圓域函數(shù)(Circlefunction)定義應(yīng)用：常用來表示圓孔的透過率。1、一些常用函數(shù)*8）斜坡函數(shù)(Rampfunction)定義應(yīng)用常用來表示邊界透過率的灰階變化。0xx01x0+bslope=1/bx-201slope=-1/2-1-3-412小結(jié)在rect函數(shù)、tri函數(shù)、sinc函數(shù)、sinc2函數(shù)及gaus函數(shù)的定義中，中心的縱坐標(biāo)總是1，面積總是等于定標(biāo)因子的大小|a|。要想得到這些函數(shù)的變形:若改變其高度,則只要用一個適當(dāng)?shù)某?shù)乘以上面所定義的函數(shù)即可。若要得到任何所希望的寬度和面積,則適當(dāng)選擇常數(shù)a。在物理和工程技術(shù)中，常用于描述能量或質(zhì)量在空間或時間上高度集中的各種現(xiàn)象，如：質(zhì)點，點電荷，點光源，電壓/電流脈沖信號，光脈沖等。

δ函數(shù)不是普通函數(shù)（或者說它根本不是一個函數(shù)，之所以還用“函數(shù)”這個詞，是因為它已成為通常的用法）。一個函數(shù)是將一個數(shù)（函數(shù)的自變量）映射為一個數(shù)（函數(shù)的值），而δ函數(shù)不能完全由這種數(shù)值對應(yīng)關(guān)系確定。它是一個“廣義函數(shù)”或“泛函”，其屬性完全由它在積分中的作用體現(xiàn)出來。1、一些常用函數(shù)9）脈沖函數(shù)(Deltafunction)1、一些常用函數(shù)9）脈沖函數(shù)(Deltafunction)定義(definitionofDeltaFunction)二維的脈沖函數(shù)應(yīng)用常用函數(shù)代表點質(zhì)量、點電荷、點脈沖或者其他在某一坐標(biāo)系中高度集中的物理量。對于實際物理問題而言，函數(shù)只是一種理想化處理，主要目的是使許多物理過程的研究更加方便。1、一些常用函數(shù)脈沖函數(shù)的另一種定義方式是將它看作一些普通函數(shù)構(gòu)成的序列的極限。

函數(shù)的普通函數(shù)序列極限形式的定義若有一個函數(shù)序列，gN(x,y),N=1,2,3,…,該函數(shù)序列中的任何一個函數(shù)gN(x,y)均滿足：則常用的函數(shù)序列有g(shù)aus函數(shù)、sinc函數(shù)及rect函數(shù)等，即：脈沖函數(shù)的另一種定義是可以把函數(shù)看作是寬度逐漸減小、高度逐步增大但體積保持為1的一個脈沖序列的極限.廣義函數(shù)形式的定義一個泛函是將一個函數(shù)映射為一個數(shù)，一個簡單的例子是一個定積分，它將一個任意給定的函數(shù)映射為其面積值根據(jù)泛函的這一精神，來定義δ函數(shù)的一個重要特性——篩選特性(x,y)是檢驗函數(shù)；要求檢驗函數(shù)是連續(xù)的、在一個有限區(qū)間外為零，并具有所有階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

函數(shù)的運算要通過積分作用于另一個函數(shù)才能得到定值，它是一種“廣義函數(shù)”。把函數(shù)當(dāng)作廣義函數(shù)給出比較嚴格的定義.1、一些常用函數(shù)函數(shù)的常用性質(zhì)篩選性質(zhì)b)對稱性c)比例變化性質(zhì)d)與其他函數(shù)的乘積（也可稱作與函數(shù)積分的性質(zhì)或SiftingProperty）④與其它函數(shù)的卷積＊x0(x)(x+a)(x-a)a-a函數(shù)的圖示方法

①位置用游動坐標(biāo)；②長短用系數(shù)表示；③指向由正負確定。SomeUsefulRelationsProvebyusingEuleridentitiesandpropertyoftheSineandCosineintegral.ThisimpliesFourierTransform(FT)andInverseFourierTransform(IFT)ofunityyieldsadeltafunction.1、一些常用函數(shù)10）梳狀函數(shù)(Comb

function)一維情況沿x軸間隔為1的無窮個脈沖函數(shù)的和沿x軸間隔為的無窮個脈沖函數(shù)的和應(yīng)用可以利用梳狀函數(shù)對其他普通函數(shù)作等間距抽樣。二維情況應(yīng)用常用二維梳狀函數(shù)表示點光源陣列或小孔陣列的透過率函數(shù)。(1)抽樣，把連續(xù)函數(shù)變成離散函數(shù)1、一些常用函數(shù)*11）寬邊帽函數(shù)(Somb

function)應(yīng)用可用來表示圓形光瞳的相干脈沖響應(yīng)（對應(yīng)somb)；圓孔光瞳的非相干脈沖響應(yīng)以及圓孔的夫瑯和費衍射圖樣（對應(yīng)somb2)。定義1、一些常用函數(shù)圓形光瞳的相干脈沖響應(yīng)圓孔光瞳的非相干脈沖響應(yīng)以及圓孔的夫瑯和費衍射圖樣1、一些常用函數(shù)需要特別說明的是，上面提到的常用函數(shù)有的本身就是二維函數(shù)，而那些只給出一維形式的函數(shù)也具有二維形式，這里不再贅述，只給出這些常用二維函數(shù)的圖形化表示。二維矩形函數(shù)1、一些常用函數(shù)二維三角形函數(shù)

1、一些常用函數(shù)二維sinc函數(shù)1、一些常用函數(shù)二維高斯函數(shù)光柵的復(fù)振幅透過率2、卷積和相關(guān)1）卷積卷積的一維定義卷積運算f(x)

h(x)定義了一個新的函數(shù)g(x)，它是值隨x而變化。二維定義卷積的幾何解釋：利用圖解有助于理解卷積運算的真實含義；以一維函數(shù)卷積為例2、卷積和相關(guān)h()f()2.將h()

反轉(zhuǎn)（折疊）得h(-)1.將自變量x換成積分變量，繪出函數(shù)曲線：在以為橫軸的圖上畫出f()和h()3.h(-)平移x0值,得h(-(-x0))=h(x0

-)4.將f()和h(x0-)相乘得一新函數(shù)f()

h(x0

-

)，此新函數(shù)圖象與

軸之包圍的面積便是函數(shù)f(x)*h(x)在x0點的函數(shù)值.5.對于不同的參量x值，相應(yīng)的面積就不相同，并且是x的函數(shù)．這個函數(shù)就是g(x)=f(x)*h(x)4.將f()和h(x0-)相乘得一新函數(shù)f()

h(x0

-

)，此新函數(shù)圖象與

軸之包圍的面積便是函數(shù)f(x)*h(x)在x0點的函數(shù)值.2012-2-17應(yīng)用：1、掃描2、相干成像：復(fù)振幅Ut=U0＊h(h為脈沖響應(yīng))3、非相干成像：光強It=I0＊hI(hI為點擴散函數(shù))另一例子折疊位移相乘、積分2、卷積和相關(guān)卷積運算的兩個效應(yīng)(1)展寬效應(yīng)假如函數(shù)只在一個有限區(qū)間內(nèi)不為零，這個區(qū)間可稱為函數(shù)的寬度．一般說來，卷積函數(shù)的寬度等于被卷函數(shù)寬度之和．(2)平滑效應(yīng)被卷函數(shù)經(jīng)過卷積運算，其細微結(jié)構(gòu)在一定程度上被消除，函數(shù)本身起伏振蕩變得平緩圓滑.被卷函數(shù)的細微結(jié)構(gòu)被消除，圓滑化，信息高頻分量丟失，有模糊效應(yīng)。平滑效應(yīng)的原因：面積（積分）計算。寬度無限窄但面積為1的三角函數(shù)(1/a)Tri(x/a)，→δ函數(shù)特殊情況下：有些函數(shù)之間的卷積，既無展寬效應(yīng)，也無平滑效應(yīng)。2、卷積和相關(guān)2、卷積和相關(guān)卷積的性質(zhì)交換律分配律結(jié)合律平移不變性若 參與卷積的兩個函數(shù)發(fā)生平移，卷積結(jié)果也僅發(fā)生平移，平移量等于兩者平移量之和。卷積結(jié)果的幅值和形式不變。2、卷積和相關(guān)線性性質(zhì)(Distributive)—疊加性和均勻性2、卷積和相關(guān)定標(biāo)性質(zhì)若

則注意：

當(dāng)兩個函數(shù)的坐標(biāo)放大或縮小同樣倍數(shù)時，其卷積的坐標(biāo)也放大或縮小相同的倍數(shù)，但卷積的幅值將縮小或放大相同的倍數(shù)。注意：在卷積運算的縮記符號表達式中不分青紅皂白地代換，可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。即：2、卷積和相關(guān)函數(shù)的卷積性質(zhì)（1）任意函數(shù)與函數(shù)的卷積是其本身（2）任意函數(shù)與發(fā)生某一平移的函數(shù)的卷積，則是該函數(shù)平移到脈沖函數(shù)平移到的空間位置。卷積的一維定義二維定義2、卷積和相關(guān)2）相關(guān)相關(guān)運算包括互相關(guān)和自相關(guān)運算兩種

f(x,y)和g(x,y)的互相關(guān)為與卷積運算比較差別在于：相關(guān)運算函數(shù)g取復(fù)共軛g*，但不需要折疊，而位移、相乘和積分三個步驟是同樣的。其中：x,y,,均為實變量，f,g可實可復(fù)；*表示復(fù)共軛，僅對復(fù)函數(shù)才有意義?！?或)表示相關(guān)運算討論光學(xué)系統(tǒng)傳遞函數(shù)時非常有用的公式f(x)★g(x)＝f(x)g*(-x)

互相關(guān)與卷積的關(guān)系思考題：互相關(guān)運算是否滿足交換律、結(jié)合律？互相關(guān)的物理意義：以x，y

為自變量的互相關(guān)函數(shù)rfg(x,y)，描述f(a-x,b-y)和g(a,b)兩者之間的相關(guān)性。對任一給定的x，y來說，rfg(x,y)的數(shù)值可以用來估計這種關(guān)聯(lián)性的強弱。當(dāng)f(a-x,b-y)＝kg(a,b)時，可以合理地認為此時的f(a-x,b-y)與g(a,b)之間完全相關(guān)．實際上，也正是這時rfg(x,y)有最大值．互相關(guān)運算的含義互相關(guān)是兩個信號之間存在多少相似性的量度，兩個完全不同的、毫無關(guān)系的信號，對所有位置，它們互相關(guān)的值應(yīng)為零。假如兩個信號因為某種物理上的聯(lián)系在一些部位存在相似性，在相應(yīng)位置上就存在非零的互相關(guān)值。在x=x0處出現(xiàn)相關(guān)峰值2、卷積和相關(guān)自相關(guān)以x，y

為自變量的自相關(guān)函數(shù)rff(x,y)，描述函數(shù)f(-x,-y)與f(,)之間的相關(guān)性．由于f(-x,-y)是由f(,)通過平移x，y距離而形成的，它們之間的相關(guān)性，就反映了函數(shù)f(,)變化的快慢．自相關(guān)的物理意義：2、卷積和相關(guān)自相關(guān)運算的含義自相關(guān)函數(shù)是自變量相差某一值時，函數(shù)值間相關(guān)的量度；當(dāng)函數(shù)相對本身有平移時，就改變了位移為零時具有的逐點相似性，自相關(guān)的模越小。但是只要信號本身在不同部位存在相似性，相應(yīng)部位還會產(chǎn)生不為零的自相關(guān)值。2、卷積和相關(guān)相關(guān)運算的性質(zhì)：1）互相關(guān)運算一般不具有可交換性顯然,當(dāng)f,g均為實函數(shù)時,有：2）自相關(guān)函數(shù)具有厄密對稱性，即2、卷積和相關(guān)一個復(fù)函數(shù)，若實部是偶的而虛部是奇的，則稱之為厄米的，相反的情況則稱為反厄米的。Hermitianfunction當(dāng)f(x,y)是實函數(shù)時，有實函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是實偶函數(shù)。對稱分布。3）2、卷積和相關(guān)其中:僅當(dāng)f(x,y)=k·g(x,y)時，(k為復(fù)常數(shù))，才可能取等號。若證明需用到施瓦茲不等式。該性質(zhì)的重要性在于它反映了互相關(guān)運算的意義和作用，即：互相關(guān)函數(shù)rfg

(x,y)反映了f

(,)和g

(

+x,+y)之間的相關(guān)性，|rfg(x,y)|的數(shù)值反映了在給定點(x,y)處這種關(guān)聯(lián)性的強弱，顯然，當(dāng)f(x,y)=k·g(x,y)，即二者完全相關(guān)時，|rfg(x,y)|取最大值。對于自相關(guān)，則有說明：自相關(guān)函數(shù)在原點的模最大，且為正值。對于自相關(guān)，則有2、卷積和相關(guān)自相關(guān)運算常常用于信號檢測，圖像識別?！熬矸e和相關(guān)”小結(jié)卷積和相關(guān)分別是兩種運算關(guān)系（或過程）；都是含參量的無窮積分，與FT、線性系統(tǒng)密切相關(guān)。都是兩個函數(shù)通過某種運算方式得到另外一函數(shù)。一個函數(shù)是輸入函數(shù)（待觀測量、輸入信號），一個函數(shù)描述觀測方式或觀測儀器的特征（或作用特點），另外一個函數(shù)就是輸出函數(shù)（信號），即觀測得到的結(jié)果?！澳撤N運算方式”：就是觀測方式或觀測儀器對輸入函數(shù)作用的數(shù)學(xué)描述。卷積運算：可用來表示一個觀測系統(tǒng)或一個觀測儀器對輸入信號的作用過程，等等。相關(guān)運算：常用于比較兩個函數(shù)的關(guān)聯(lián)性，相似程度，用于信號檢測 在傅里葉光學(xué)中：用頻率的分布和變化來描述光學(xué)圖像。因此有必要先介紹一下空間頻率和空間頻譜的基本概念。3、空間頻率及空間頻譜注意：與電信號的比較。1）空間頻率域(spatialfrequencydomain)3、空間頻率及空間頻譜一幅圖像的像元值在空間上的變化，即以空間位置r

為自變量描述圖像的特征；在空間域中研究將圖像看作分解為具有不同空間頻率、振幅和相位的簡諧函數(shù)的線性疊加,變換即以空間頻率為自變量描述圖像的特征。在空間頻率域中研究3、空間頻率及空間頻譜在傅里葉光學(xué)中： 圖像中緩慢變化的背景

比較低的“空間頻率”成分構(gòu)成；以空間頻率為自變量描述圖像的特征。 圖像中急劇變化的細節(jié)

比較高的“空間頻率”成分構(gòu)成。2)空間頻譜圖像中各種空間頻率成分的組成和分布稱為空間頻譜。這種對圖像的空間頻率特征進行分解、處理和分析稱為空間頻率域處理或波數(shù)域處理。和時間域與頻率域可互相轉(zhuǎn)換相似，空間域與空間頻率域也可互相轉(zhuǎn)換。3、空間頻率及空間頻譜在空間頻率域中可以引用已經(jīng)很成熟的頻率域技術(shù),處理的一般步驟為：①對圖像施行二維離散傅立葉變換或小波變換,將圖像由圖像空間轉(zhuǎn)換到頻域空間。②在空間頻率域中對圖像的頻譜作分析處理,以改變圖像的頻率特征。即設(shè)計不同的數(shù)字濾波器,對圖像的頻譜進行濾波。頻率域處理主要用于與圖像空間頻率有關(guān)的處理中。如圖像恢復(fù)、圖像重建、輻射變換、邊緣增強、圖像銳化、圖像平滑、噪聲壓制、頻譜分析、紋理分析等處理和分析中。須注意,空間頻率(波數(shù))的單位為米

l或(毫米)1等。3、空間頻率及空間頻譜3、空間頻率及空間頻譜 這里要特別強調(diào)，傅里葉分析的方法在“信號與處理”、“通信系統(tǒng)”等課程中已介紹過，這里將不再贅述。

區(qū)別：只是在通信理論中處理的是一維時間變化電信號，而在傅里葉光學(xué)中要處理的是二維空間變化圖像信息。即在傅里葉光學(xué)中，我們研究的是隨空間位置變化的圖像信息，對應(yīng)的頻率則稱為“空間頻率”，對應(yīng)的頻譜則稱為“空間頻譜”。3、空間頻率及空間頻譜一幅圖像必然是各處明暗色彩不同，這是一種光的強度和顏色按空間的分布。這種空間分布的特征可以用空間頻率來表明。用傅里葉分析的方法求出一幅圖象的明暗所組成的各個空間頻率及相應(yīng)的“振幅”，也就是“空間頻譜”。明暗具有空間周期性的圖像的頻譜中各空間頻率（包括fx

和fy）具有分立的值，而非周期性圖像的頻譜中的頻率值是連續(xù)的。3、空間頻率及空間頻譜頻譜中相應(yīng)較大空間周期的成分是“低頻”成分，相應(yīng)于較小空間周期的成分是“高頻”成分。圖像的粗略結(jié)構(gòu)具有較低的空間頻率，細微結(jié)構(gòu)具有較高的空間頻率。一幅圖像的特征就這樣可以用它的頻譜來表示，這頻譜中所有的頻率成分和相應(yīng)的振幅就是這幅圖像所包含的光學(xué)信息（加上彩色，信息量還要增加很多）。3、空間頻率及空間頻譜空間周期：Tx

=d空間頻率：fx

=1/d空間周期：Tx

=dx

,Ty=dy空間頻率：fx

=1/dx,

fy

=1/dy3）舉例：明暗空間周期性變化的圖像如何實現(xiàn)圖像的頻譜？3、空間頻率及空間頻譜4）可以用適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ页鲆环鶊D像所包含的光學(xué)信息，即其頻譜。這個方法就是夫瑯和費衍射。如圖所示裝置，當(dāng)柵縫水平的光柵AB被由單色點光源S

通過透鏡L1

形成的平行光照射時，其衍射第m

級亮紋出現(xiàn)在±的方向上，其中，n是整個空間的介質(zhì)折射率。在屏上記錄下來的衍射圖樣就是圖像的空間頻譜，不同級次對應(yīng)不同空間頻率的信息。一套夫瑯和費衍射裝置就是一套圖像傅里葉（空間）頻譜分析器，2012-2-204、傅里葉級數(shù)(FourierSeries)

19世紀(jì)初，傅里葉在向巴黎科學(xué)院提交的關(guān)于熱傳導(dǎo)的著名論文中首次提出了傅里葉級數(shù)的概念；經(jīng)過不斷發(fā)展，在今天，傅里葉分析的方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于物理及工程學(xué)科的各個領(lǐng)域。1）傅里葉級數(shù)的思想就是用一正交函數(shù)系中各函數(shù)的線性組合來表示某一函數(shù)。常用的正交函數(shù)系包括三角函數(shù)系和復(fù)指數(shù)函數(shù)系。因此，對于某一周期性函數(shù)g(x)，周期是，頻率為=1/，如果滿足狄里赫利條件，則該函數(shù)可表示為三角傅里葉級數(shù)和復(fù)指數(shù)傅里葉級數(shù)的形式。周期函數(shù)g(x)，周期是，頻率為=1/。若滿足狄里赫里條件，則可展成：三角傅里葉級數(shù)其中其中傅立葉系數(shù)為，這是離散求和的形式(對應(yīng)的是周期函數(shù))4、傅里葉級數(shù)狄里赫里條件：在一個周期內(nèi)僅有有限個極值點和第一類間斷點(在該間斷點附近，函數(shù)值有限，其左、右極限存在，無無窮大間斷點).4、傅里葉級數(shù)指數(shù)傅里葉級數(shù)其中傅里葉系數(shù)：兩種表達形式之間的聯(lián)系4、傅里葉級數(shù) 傅里葉系數(shù)Cn是頻率nf的函數(shù)，稱為頻譜函數(shù)。一般Cn是復(fù)函數(shù)，它包括振幅頻譜和相位頻譜。等頻率分量，頻率取值是離散的，所以只有離散譜。

由于周期性函數(shù)只包含*所謂的研究頻譜就是研究Cn

與nf

之間的關(guān)系。如果其中，An稱為振幅頻譜，n稱為相位頻譜。4、傅里葉級數(shù)離散求和的形式,表明:（1）一個隨時間或空間變化的周期函數(shù)（信號）g(x),可以看作是許多具有不同頻率的基元簡諧波信號的疊加。各簡諧波分量的頻率為nf，

是離散的;取值為0,±f,±2f,±3f,…;n=0為直流分量，±f為基頻，其余為高次諧波分量。（2）exp(j2πnfx)是其中的某一簡諧波成分；系數(shù)cn或(an,bn)是該簡諧波成分的權(quán)重，它是頻率nf的函數(shù)，稱之為的傅立葉頻譜(簡稱頻譜)--------FourierSpectrum.4、傅里葉級數(shù)舉例：如下圖所示的周期為=1/f0的矩形波函數(shù)，在一個周期內(nèi)，函數(shù)解析式為（1）展開為三角傅里葉級數(shù)形式為4、傅里葉級數(shù)矩形波的傅里葉綜合4、傅里葉級數(shù)（2）展開為指數(shù)傅里葉級數(shù)形式對應(yīng)的頻譜為5、傅里葉變換1）對非周期函數(shù)同樣可以作傅里葉分析，只是此時其頻率取值不再是離散的，而是連續(xù)的。根據(jù)傅里葉級數(shù)的思想，可把函數(shù)看作復(fù)指數(shù)函數(shù)在整個連續(xù)的頻率區(qū)間上的積分和。2）傅里葉變換定義及存在條件其中，G(f

)稱為g(x)的傅里葉變換或頻譜。G(f

)是g(x)在頻率域的表示形式，其作用類似于傅里葉系數(shù)Cn，即作為各種頻率成分的權(quán)重因子，描述各復(fù)指數(shù)分量的相對幅值和相移。如果G(f

)是復(fù)函數(shù)，則有則稱A(f)為g(x)的振幅頻譜，(f)為g(x)的相位頻譜。若g(x)為非周期函數(shù)，在x的整個區(qū)間內(nèi)滿足狄里赫里條件,則g(x)可用疊加積分表示為：5、傅里葉變換傅里葉變換函數(shù)g(x)和它的頻譜G(f

)

構(gòu)成一個傅立葉變換對，表示為：5、傅里葉變換是連續(xù)求和，即疊加積分；表明:(1)一個隨時間或空間變化的非周期函數(shù)（信號），可以看作是許多不同頻率的基元簡諧波信號的疊加積分。各簡諧波分量的頻率為f，頻率的取值是連續(xù)分布的。(2)exp(j2πufx)是其中某一簡諧波成分；G(f

)是該簡諧波成分的權(quán)重，它是頻率f的函數(shù)，稱之為的傅立葉頻譜（FourierSpectrum），簡稱頻譜。(3)在電信號處理、通信中，一般是1D時間信號，經(jīng)常用到一維傅立葉級數(shù)和傅立葉變換。在光學(xué)中，多數(shù)情況下研究的對象是2D或3D圖像處理或成像，一般是二維或三維空間分布（可表示為二維或三維空間函數(shù)）。5、傅里葉變換將1D的FT定義推廣到二維形式，有思考題：在什么情況下傅里葉積分才有意義？（1）g(x,y)在整個積分區(qū)域內(nèi)絕對可積；（2）在任一區(qū)域內(nèi)，g(x,y)必須只有有限個間斷點和有限個極大和極小值；（3）g(x,y)必須沒有無窮大間斷點狄里赫里條件2D的FT5、傅里葉變換 若g(x,y)為非周期函數(shù)，在整個無限xy平面上滿足狄里赫里條件和絕對可積條件,則g(x,y)可用疊加積分表示為：2D的FT其中（g(x,y)的二維傅里葉變換為），傅里葉變換的存在條件的說明：1、作為時間或空間函數(shù)而實際存在的物理量其傅里葉變換總是存在的。2、應(yīng)用問題中遇到的一些理想化的函數(shù)可以定義廣義傅里葉變換。式中，(x,y)是空域坐標(biāo)，

(f

x,f

y)是空間頻域坐標(biāo)，f

x和f

y分別是x和y方向的空間頻率。g(x,y)可實可復(fù)；G(f

x,f

y)是g(x,y)的空間頻譜，也可實可復(fù)，由g(x,y)的特性決定。 函數(shù)g(x,y)和它的頻譜G(f

x,f

y)

構(gòu)成一個傅立葉變換對，表示為：5、傅里葉變換同一對象（事物）分別在不同域中的描述。5、傅里葉變換3）廣義傅里葉變換某些函數(shù)并不滿足傅里葉積分的條件，若希望用傅里葉分析討論它們，必須將傅里葉變換定義進行推廣，即進行廣義傅里葉變換。所謂的廣義傅里葉變換就是將函數(shù)看作某個可變換函數(shù)所組成的序列的極限，對序列中每一函數(shù)進行變換，組成一個新的變換式序列，這個新序列的極限就是原來函數(shù)的廣義傅里葉變換。舉例：求函數(shù)g(x,y)=1的傅里葉變換顯然該函數(shù)不滿足傅里葉變換的條件，但它可以定義為矩形函數(shù)序列的極限，即5、傅里葉變換不難求出該矩形函數(shù)的傅里葉變換為根據(jù)廣義傅里葉變換的定義，g(x,y)=1的傅里葉變換為5、傅里葉變換4）虛、實、奇、偶函數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)空域g(x,y)頻域

G(f

x,f

y)空域g(x,y)頻域

G(f

x,f

y)實函數(shù)厄米型函數(shù)虛值偶函數(shù)虛值偶函數(shù)虛函數(shù)反厄米型函數(shù)*虛值奇函數(shù)實值奇函數(shù)實值偶函數(shù)實值偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)實值奇函數(shù)虛值奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)*:若實部為奇函數(shù)，虛部為偶函數(shù)，則函數(shù)是反厄米型函數(shù)。

5、傅里葉變換5）傅里葉變換定理若假設(shè)：(1)線性定理——線性性質(zhì)（均勻性，疊加性）即：兩個（或多個）函數(shù)之加權(quán)和的FT等于各自的FT的相同的加權(quán)和。和的FT等于FT的和————疊加性幅值按同樣的比例縮放————均勻性同時具有疊加性和均勻性————線性性質(zhì)性5、傅里葉變換(2)對稱性質(zhì)(3)迭次FT5、傅里葉變換(4)相似性定理——坐標(biāo)縮放性即：空域(x,y)中坐標(biāo)的“伸展”，導(dǎo)致頻域(f

x,f

y

)中坐標(biāo)的壓縮，加上頻譜的總體幅度的一個變化。光學(xué)上，空域中空間坐標(biāo)的放大或縮小，導(dǎo)致空間頻域中的空間頻譜坐標(biāo)縮小或放大。如：孔徑夫瑯和費衍射。5、傅里葉變換(5)平移定理空域中的平移造成頻域中頻譜的線性相移。光場復(fù)振幅不具有平移不變性。但強度具有平移不變性。例如：孔徑的夫瑯和費衍射（加透鏡）。在光學(xué)實驗中的光柵衍射，任意縫的衍射強度的分布都是相同的。5、傅里葉變換5、傅里葉變換(6)巴塞伐定理

(Parseval定理)在應(yīng)用問題中，等號兩邊的積分都可以表示某種能量。該定理表明，對能量計算既可以在空域中進行也可在頻域中進行，兩者等價。在物理意義上，該定理是能量守恒的體現(xiàn)，所以也稱為能量守恒定理。若g(x,y)表示一個實際的物理信號，G(f

x,f

y)2通常稱為信號的功率譜（或能量譜）。5、傅里葉變換（7）卷積定理**(ConvolutionTheorem)即兩個函數(shù)卷積的FT等于它們的FT之乘積。

兩個函數(shù)乘積的FT等于它們的FT的卷積。若g(x,y)和h(x,y)表示兩幅圖像，卷積定理即表示：兩圖像卷積的頻譜等于兩圖像頻譜之積；兩圖像乘積的頻譜等于兩圖像頻譜之卷積。5、傅里葉變換卷積定理在FT理論及應(yīng)用中非常重要：對于一個復(fù)雜函數(shù)，其FT難求，若它可表示成幾個簡單函數(shù)的卷積，而這些簡單函數(shù)的FT易求，則可用卷積定理。反之，當(dāng)兩個函數(shù)或圖像的卷積難求時，可先求得各自的FT，乘積后，再求IFT,即可得兩者之卷積。5、傅里葉變換例如：數(shù)字圖像處理或數(shù)字信號處理中有快速FT與快速IFT算法和程序；光學(xué)上可用FT透鏡實現(xiàn)FT和IFT功能。5、傅里葉變換5、傅里葉變換(8)相關(guān)定理(CorrelationTheorem)互相關(guān)定理(Cross-correlationTheorem)通常把G*(fx,fy)·H(fx,fy)稱為f(x,y)和g(x,y)的互譜能量密度,簡稱為互譜密度?；ハ嚓P(guān)定理表明：兩個函數(shù)的互相關(guān)與其互譜密度構(gòu)成傅里葉變換對。★5、傅里葉變換自相關(guān)定理(Auto-correlationTheorem)稱為的

g(x,y)的能譜密度。說明：相關(guān)定理常用來求兩個函數(shù)或圖像的相關(guān)。當(dāng)難以直接求兩個函數(shù)或圖像的相關(guān)時，可先求得各自的FT，將第一個函數(shù)的FT取復(fù)共軛，乘積后，再求IFT,即可得兩者之相關(guān)。即：FT-1[G*(u)·H(u)]=g(x)★h(x)相關(guān)定理常常用于信號檢測、圖像識別。根據(jù)相關(guān)的物理意義和特性。相關(guān)函數(shù)具有中心峰值分布。當(dāng)函數(shù)是實函數(shù)時,其自相關(guān)具有中心對稱的峰值分布。5、傅里葉變換5、傅里葉變換(9)

傅里葉積分定理(IntegralTheorem)利用這些性質(zhì)和定理,只要知道不多幾個函數(shù)的FT,就能夠容易地求出許