必修5綜合測試時間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷(選擇題，共60分)題號123456789101112答案一、選擇題(每小題5分，共60分)1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C＝eq\f(π,3)，a＝2，b＝1，則c等于()A.eq\r(5) B.eq\r(3)C.eq\r(7) D．1解析：c＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)＝eq\r(3).答案：B2．下列結(jié)論正確的是()A．若ac>bc，則a>bB．若a8>b8，則a>bC．若a>b，c<0，則ac<bcD．若eq\r(a)<eq\r(b)，則a>b解析：A中，若c<0，則a<b，所以A不正確；B中，(－1)8＝1>08＝0，但是－1<0，所以B不正確；D中，有a<b，所以D不正確．很明顯C是不等式的性質(zhì)，則C正確．答案：C3．已知{an}是等差數(shù)列，a10＝10，其前10項和S10＝70，則其公差d等于()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝10，,10a1＋45d＝70，))解得d＝eq\f(2,3).答案：D4．已知△ABC中，a＝4，b＝4eq\r(3)，A＝30°，則角B的度數(shù)等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°解析：由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(4\r(3),4)sin30°＝eq\f(\r(3),2).又a<b，則A<B.所以B＝60°或120°.答案：D5．在△ABC中，若sinC＝2cosA·sinB，則此三角形必為()A．等腰三角形 B．正三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：方法1：sinC＝2cosAsinB?sin(A＋B)＝2cosAsinB?sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB?sinAcosB－cosAsinB＝0?sin(A－B)＝0?A＝B.方法2：∵sinC＝2cosAsinB，∴c＝2eq\f(b2＋c2－a2,2bc)·b.∴a＝b，即△ABC為等腰三角形．答案：A6．在銳角三角形中，下列正確的是()A．sinA>cosB B．sinA<cosBC．sinA＝cosB D．以上都有可能解析：在銳角三角形中，有A＋B＝π－C>eq\f(π,2)，故A>eq\f(π,2)－B，sinA>sin(eq\f(π,2)－B)＝cosB，故A正確．答案：A7．在R上定義運算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實數(shù)x的取值范圍為(A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)解析：根據(jù)定義x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2<x<1，所以所求的實數(shù)x的取值范圍為(－2,1)．答案：B8．設(shè){an}是等差數(shù)列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則()A．S4<S5B．S4＝S5C．S6<S5D．S6＝S解析：設(shè)公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝－6，,a1＋7d＝6，))解得d＝2，a1＝－8，則a3＝－4，a4＝－2，a5＝0，a6＝2，則S4＝S5.答案：B9．設(shè)x，y∈R，a>1，b>1.若ax＝by＝3，a＋b＝2eq\r(3)，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值為()A．2 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(1,2)解析：x＝loga3，y＝logb3，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,loga3)＋eq\f(1,logb3)＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3(eq\f(a＋b,2))2＝1，當且僅當a＝b＝eq\r(3)時取等號，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值為1.答案：C10．當x>0時，不等式x2－mx＋9>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，6) B．(－∞，6]C．[6，＋∞) D．(6，＋∞)解析：由題意得，當x>0時，mx<x2＋9，即m<x＋eq\f(9,x)恒成立．設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(9,x)(x>0)，則有x＋eq\f(9,x)≥2eq\r(x×\f(9,x))＝6，當且僅當x＝eq\f(9,x)，即x＝3時，等號成立．則實數(shù)m的取值范圍是m<6.答案：A11．已知a、b、c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)，則()A．T>0 B．T<0C．T＝0 D．以上都有可能解析：由a＋b＋c＝0，abc>0得a、b、c中必有一正二負．不妨設(shè)a>0，b<0，c<0，則T＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(bc＋ac＋ab,abc)＝eq\f(c(a＋b)＋ab,abc)＝eq\f(ab－c2,abc).∵abc>0，ab<0，c2>0，∴ab－c2<0.∴T<0.答案：B12．設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，,y≥0，))若目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為12，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值為()A.eq\f(25,6) B.eq\f(8,3)C.eq\f(11,3) D．4解析：圖1不等式表示的平面區(qū)域如圖1所示陰影部分，當直線y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)過直線x－y＋2＝0與直線3x－y－6＝0的交點A(4,6)時，目標函數(shù)z＝ax＋by取得最大值12，則4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以eq\f(2a＋3b,6)＝1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝(eq\f(2,a)＋eq\f(3,b))×eq\f(2a＋3b,6)＝eq\f(13,6)＋(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))≥eq\f(13,6)＋2＝eq\f(25,6)，當且僅當a＝b＝eq\f(6,5)時取等號，所以eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值為eq\f(25,6).答案：A第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(每小題5分，共20分)13．已知a∈R＋，且a≠1，又M＝eq\f(a＋1,2)，N＝eq\r(a)，P＝eq\f(2a,a＋1)，則M，N，P的大小關(guān)系是__________．解析：利用基本不等式求解．答案：M>N>P14．在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝eq\f(15,8)，a2a3＝－eq\f(9,8)，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＝________.解析：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＝eq\f(a1＋a4,a1a4)＋eq\f(a2＋a3,a2a3)＝eq\f(a1＋a2＋a3＋a4,a2a3)＝eq\f(\f(15,8),－\f(9,8))＝－eq\f(5,3)(∵a1a4＝a2a3)．答案：－eq\f(5,3)15．建筑物CD的高為h，在頂部C測得地面上兩點A、B的俯角分別為60°、30°，又測得∠ADB＝60°，則AB的長為________．解析：圖2如圖2所示，由條件知，∠CAD＝60°，∠CBD＝30°，∠ADB＝60°，∴AD＝eq\f(1,\r(3))h，BD＝eq\r(3)h.在△ABD中，由余弦定理可得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos60°，將AD＝eq\f(1,\r(3))h，BD＝eq\r(3)h，代入得AB＝eq\f(\r(21),3)h.答案：eq\f(\r(21),3)h16①若a>b>0，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；②若a>b>0，則a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)；③若a>b>0，則eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)；④若a>0，b>0，且2a＋b＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值為9.其中正確________．()解析：①中a>b>0，eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，所以①不正確；②中，(a－eq\f(1,a))－(b－eq\f(1,b))＝a－b＋eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝a－b＋eq\f(a－b,ab)＝(a－b)(1＋eq\f(1,ab))>0，所以②正確；③中，eq\f(2a＋b,a＋2b)－eq\f(a,b)＝eq\f((2a＋b)b－a(a＋2b),(a＋2b)b)＝eq\f((b－a)(b＋a),(a＋2b)b)，由于b－a<0，b＋a>0，(a＋2b)b>0，所以eq\f(2a＋b,a＋2b)<eq\f(a,b)，所以③不正確；④中，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2(2a＋b),a)＋eq\f(2a＋b,b)＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)×\f(2a,b))＝9，當且僅當a＝b＝eq\f(1,3)時，等號成立，所以④正確．答案：②④三、解答題(寫出必要的計算步驟，只寫最后結(jié)果不得分，共70分)17．(本小題10分)△ABC中，BC＝7，AB＝3，且eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(3,5).(1)求AC；(2)求角A.解：(1)由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(3,5).∴AC＝eq\f(5×3,3)＝5.(2)由余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(9＋25－49,2×3×5)＝－eq\f(1,2).又0°<A<180°，∴A＝120°.18．(本小題12分)在等比數(shù)列{an}中，a1·a2·a3＝27，a2＋a4＝30.求：(1)首項a1和公比q；(2)前6項的和S6.解：(1)在等比數(shù)列中，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1·a1q·a1q2＝27，,a1q＋a1q3＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,q＝－3.))(2)當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3))時，S6＝eq\f(1×(1－36),1－3)＝364；當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,q＝－3))時，S6＝eq\f((－1)×[1－(－3)6],1＋3)＝182.∴S6的值為364或182.19．(本小題12分)在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sinA＋sinC＝eq\r(3)sinB，求角A、B、C的度數(shù)．解：∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(ac,2ac)＝eq\f(1,2)，又0°<B<180°，∴B＝60°.∴A＋C＝120°.∴sinA＋sinC＝eq\f(3,2)，即sinA＋sin(120°－A)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(1,2)cosA＝eq\f(\r(3),2)，即sin(A＋30°)＝eq\f(\r(3),2).∵0°<A<120°，∴30°<A＋30°<150°.∴A＋30°＝60°或120°.∴A＝30°或90°；當A＝30°時，C＝90°.當A＝90°時，C＝30°.綜上，A＝30°，B＝60°，C＝90°或A＝90°，B＝60°，C＝30°.20．(本小題12分)某工廠修建一個長方體形無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米，池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．設(shè)池底長方形長為x(1)求底面積并用含x的表達式表示池壁面積S；(2)怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低造價是多少？解：(1)設(shè)水池的底面積為S1，池壁面積為S，則有S1＝eq\f(4800,3)＝1600(平方米)，則池底長方形寬為eq\f(1600,x)米，所以S＝6x＋6×eq\f(1600,x)＝6(x＋eq\f(1600,x))(x>0)．(2)設(shè)總造價為y，則y＝150×1600＋120×6(x＋eq\f(1600,x))≥240000＋57600＝297600，當且僅當x＝eq\f(1600,x)，即x＝40時取等號，即x＝40時，總造價最低為297600元．21．(本小題12分)某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需耗一級子棉2噸、二級子棉1噸；生產(chǎn)乙種棉紗需耗一級子棉1噸、二級子棉2噸．每噸甲種棉紗的利潤是600元，每噸乙種棉紗的利潤是900元，工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計劃中要求消耗一級子棉不超過300噸、二級子棉不超過250噸．甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確到噸)，能使利潤總額最大？解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤總額為z元，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤300，,x＋2y≤250，,x≥0，,y≥0，))z＝600x＋900y.圖3作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域(如右圖3)，即可行域．作直線l：600x＋900y＝0，即直線l：2x＋3y＝0，把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時z＝600x＋900y取最大值．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝300，,x＋2y＝250，))得M的坐標為