第六節(jié)可降階的高階微分方程

本節(jié)介紹幾種特殊的高階方程，它們的共同特點(diǎn)是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q可將其化成較低階的方程來(lái)求解。

前面介紹了五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程為數(shù)相當(dāng)有限，特別是高階方程，除去一些特殊情況可用降階法求解，一般都沒有初等解法，以二階方程為例展開討論重點(diǎn)討論能將二階導(dǎo)數(shù)解出的情況

如果我們?cè)O(shè)法作變量代換把它從二階降至一階，就有可能應(yīng)用前節(jié)中所介紹的方法來(lái)求解一、型特點(diǎn)：右端不含僅是x

的函數(shù)解法：將作為新的未知函數(shù)降階令有變量可分離的一階方程積分即再積分對(duì)n階方程同理令積分得

如此連續(xù)積分n

次即得原方程的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解例1解例2解代入原方程解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為練習(xí)

解方程解令二、型特點(diǎn)：右端不含y解法：降階令代入原方程得若已求得其通解為回代得變量可分離的一階方程積分得解方程解即例3例4解方程解令分離變量得即由由故三、型特點(diǎn)：右端不含

x降階解法：令由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得代入原方程得這是一個(gè)關(guān)于

y

，p

的一階方程若已求得它的通解為變量可分離的一階方程積分得即得原方程的通解一般情況特點(diǎn)：解法：求得其解為原方程通解為例5解代入原方程得原方程通解為例6.解初值問(wèn)題解:

令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得練習(xí)解方程解令若即積分得即或若則包含在通解中如一方程既屬于不含

x

型又屬于不含

y

型則一般而言若兩邊可消去

p作為不含

x型（類型三）來(lái)解較簡(jiǎn)單若兩邊不可消去

p作為不含

y

型（類型二）來(lái)解較簡(jiǎn)單注作業(yè)P2921(5),(7),(10);2(3),(6);3.一階微分方程習(xí)題課1、五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階微分方程的解法(1)可分離變量的微分方程解法分離變量法(2)齊次型方程解法作變量代換一、主要內(nèi)容

可化為齊次的方程解法化為齊次方程．（其中h和k是待定的常數(shù)）(3)一階線性微分方程齊次．非齊次.解法齊次方程的通解為（使用分離變量法）非齊次微分方程的通解為（常數(shù)變易法）(4)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.解法需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程．(5)全微分方程形如其中注意：解法應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān).通解為

用直接湊全微分的方法.

可化為全微分方程形如2.各類方程的內(nèi)在聯(lián)系三種基本類型變量可分離一階線性全微分方程

其余類型的方程可借助于變量代換或積分因子化成基本類型三種基本類型代表三種典型解法分離變量法常數(shù)變易法全微分法變量代換是解微分方程的重要思想和重要方法解法1

積分因子法.原方程變形為取積分因子故通解為此外,y=0也是方程的解.例.解微分方程：解法2

化為齊次方程.原方程變形為積分得將代入,得通解此外,y=0也是方程的解.解法3

化為線性方程.原方程變形為其通解為即此外,y=0也是方程的解.例解1整理得A常數(shù)變易法:B公式法:解2整理得A用曲線積分法:B湊微分法:例.

判斷下列方程的類型，并求出方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解方程兩邊同除以x

即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為方法1

這是一個(gè)齊次方程.方法2

化為微分形式故這是一個(gè)全微分方程.(5)將方程改寫為(貝努里方程)1、(本小題6分)的通解。求微分方程2、(本小題7分)的通解。求微分方程4、(本大